深化“新常規” 彰顯“深思維”

楊晴宇

［摘 要］低學段的學生在生活中對空間與幾何知識僅有初步的感受。通過復習立體圖形的知識，幫助學生利用“新常規”溝通平面圖形與立體圖形之間的關系，使他們進一步完善對幾何圖形的建構，進而從多角度“再認識”立體圖形，最終在合作交流中深化思維。

［關鍵詞］立體圖形；復習教學；數學思維

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）35-0037-04

“圖形與幾何”復習課牽扯到的知識點既多又雜。為了摸清學生的思維起點，筆者做了一個前測，了解到有85%以上的學生能掌握復習課的知識點。若在課堂上一一再現這些知識點的話，勢必會占用大量的時間，但若僅僅將知識點簡單再現，就會使教學浮于表面。那么，如何處理好“有限時間”與“大量知識點”、“知識點”與“知識網”、“基礎”與“提升”、“低階思維”與“高階思維”的關系，這是需要教師好好思考的。

于是，筆者在設計“立體圖形的認識（總復習）”時，充分考慮用好“新常規”，從預習導航、課堂支持、反思提升三方面考慮，做了調整，以提升學生辨析、推理、描述等能力。

一、把握核心，強化“再認識”

精心選擇內容，加強對核心知識的深度理解，可以避免表面教學、表層教學、表演教學。教師應精心設計復習課，對于一般的內容點到即可，而對于核心內容則要詳細展現，多角度深化學生對它的認識。為此，筆者設計本節課時，抽取學生畫的不同層次的、具有代表性的思維導圖，及時調整教學設計并有針對性地對教學進行預案。

【教學設計片段1】

（課前，筆者讓學生利用思維導圖，回顧并整理已學過的立體圖形的特征。）

師：我們學習了長方體、正方體、圓柱、圓錐這些立體圖形，現在我們就圍繞這些立體圖形來上一節總復習課。

（如圖1所示，筆者呈現學生的思維導圖作品，類型有知識樹、列表、畫圖。學生上臺匯報，接著進行集體評價。）

【設計意圖】讓學生在課前獨立整理立體圖形的特征，把對基本知識點的回憶提前，課堂上直接省略這一步，以節約時間。而學生通過制作思維導圖，有效整合了分散的知識點。

【教學后記】由于課前時間充裕，學生獨立梳理的知識點較為完善。學生由點狀思維、中心思維逐步向發展性思維轉變。大部分學生采用了表格的形式從點、線、面的數量和特征來整理，有的學生用結構圖來整理，還有的學生用知識樹、魚骨圖等進行梳理。課堂上學生自信地結合自制的思維導圖，向大家做了介紹，其余學生在聽他人匯報的同時再次回顧了知識點，對自己有遺漏或欠缺的地方，利用課后時間做了修正。此環節，可以較好地解決“有限時間”與“大量知識點”的矛盾，培養了學生的總結性思維。

二、建立聯系，建構“知識網”

教材上所呈現的復習內容是對各圖形知識點的一一羅列，如果仔細分析，不外乎是從三視圖、展開圖、圖形運動三個角度開展的，如果把這節課的立足點定位在溝通平面圖形與立體圖形之間的關系，那么這節復習課就能真正實現學生對幾何圖形的“再認識”，幫助學生建構更完善的幾何圖形知識結構。學生真正意義上的“深思維”，需要建立在教師的深度教、引導的基礎之上，發展學生“深思維”不是一味地讓學生自主探討，而是讓他們在教師引導下對知識進行“層進式”“沉浸式”和“高階思維式”的持續探討。

【教學設計片段2】

師（出示有同一個頂點的三條線段，其中兩兩相互垂直，線段略）：這個立體圖形有部分線段被遮住了，猜猜它是什么？

生1：若三條線段是相等的，以三條線段為棱畫圖，就是一個正方體；若其中一條線段與另外兩條長度不同，以三條線段為棱畫圖，就是一個長方體。

師：從這個過程中，你能看出正方體和長方體之間有什么聯系嗎？為什么說正方體是特殊的長方體？

生2：正方體具有長方體所有的特征，可以用集合圖來表示正方體是特殊的長方體。

【設計意圖】長方體的長、寬、高極其重要，一旦它們確定了，就能確定其6個面的形狀，同時也能確定其形狀；反之，長方體的形狀發生變化，那么它的長、寬、高也一定發生變化，它們三者是相輔相成的。利用這一特點，再通過動畫演示，能讓學生直觀感受長方體與正方體之間的聯系，初步感受線、面、體間的關系，為深化學生的思維添加基石。

【教學后記】在實際教學過程中，根據三條線段的位置、長度關系來猜圖形，學生一猜即中，因為他們有了初步的空間觀念。俗話說眼見為實，筆者利用動畫演示長方體到正方體的變化，可使學生將正方體記憶為長、寬、高都相等的長方體，避免了生搬硬套的理解和記憶。

【教學設計片段3】

練習1：有一個長方體，圖2的左邊分別是從它前面和上面看到的圖形，那么右邊哪個圖形是從它右面看到的？

師：說說你是怎樣想的？

生：根據從前面、上面看到的圖形，可以確定長方體的長、寬、高，進而確定長方體的形狀。

練習2：根據已知的兩個面（如圖3），你能確定長方體的形狀嗎？

師：練習2中，這兩個分別是怎樣的長方體？它的長是幾，寬是幾，高是幾？

師：要知道怎樣的兩個面才能確定長方體的形狀？為什么？

生（小結）：只有知道相鄰的兩個面，才能確定長方體的長、寬、高，進而確定它的形狀。

【設計意圖】練習2中，筆者設計的兩道題分別是已知相鄰兩個面和已知相對兩個面，能否確定長方體的形狀，讓學生在腦海中“刻畫”圖形，最終明白只有確定了長方體的長、寬、高，才能知道其形狀，得出的結論才是精準的，從而更好地發展學生的空間觀念。如此，讓學生再次感受到線、面、體間的關系，使思維從具象向抽象過渡，構建全面的知識網。

【教學后記】在教學過程中，要讓學生真正參與學習的過程。如已知兩個相鄰的面，學生能推出長方體的長、寬、高，進而確定長方體的形狀。已知兩個相對的面，是無法確定長方體的形狀的，這也是學生的學習難點。在這過程中，筆者及時利用動畫演示，幫助有困難的學生，讓學生的思維逐步得到提升，真正做到讓學習可見、讓思維發展。

【教學設計片段4】

（任務1）

師：除了從三視圖的角度可以溝通平面圖形和立體圖形之間的聯系，還可以從什么角度來溝通它們之間的聯系呢？

師（出示圖4）：判斷下列圖形哪些是正方體的展開圖。

生1：前面兩個是，最后一個不是。

師：最后一個為什么不是？

生2：最后一個找不到3組相對的面。

生3：有3組相對的面才能折疊成正方體。

（任務2）

師（出示圖5）：下列圖形是長方體的展開圖嗎？如果是，在頭腦中想象折疊的過程；如果不是，怎么改才能折成長方體？

生4：由平面圖形折疊成立體圖形，不僅要找出3組相對的面，還要考慮面與面之間的大小關系。

（任務3）

師（出示圖6）：下面左邊4個正方體中，有一個是用右邊的圖形折疊而成的。先猜一猜是哪一個，再折一折。

（四個選項都有學生選，讓選擇①、③、④錯誤選項的學生分別說說自己的想法。）

師：他們說的對嗎？如果在腦中想象折疊過程有困難，還可以怎么做？

生5：動手折一折來驗證。

師（引導學生小結）：把立體圖形展開就得到平面圖形，反之，將一個平面圖形折疊，也可以得到立體圖形（如圖7）。

【設計意圖】探究平面圖形和立體圖形之間的聯系，教材上的安排是先復習長方體的展開圖，再復習正方體的展開圖。然而事實上，正方體的展開圖比長方體的展開圖簡單些，筆者對教學內容進行調整并設計3個任務，讓學生圍繞展開圖進行研究，讓學習更具思考價值和思維廣度。

任務1通過正方體展開圖，讓學生感受到只要確定3組相對的面，就能折疊出正方體。任務2通過長方體展開圖，讓學生進一步意識到，在折疊時不僅要考慮相對的面，還要考慮面與面之間的大小關系，這樣，又回到探究長方體的棱的相關問題，使學生在思考的過程中能夠鞏固對長方體和正方體特征的認識。任務3主要讓學生根據正方體的展開圖，通過想象與推理找到與展開圖相對應的正方體，具有一定的挑戰性和趣味性。

在教學時，教師除了要為每個學生提供足夠的研究時間和空間，還應鼓勵學生在想象的基礎上動手操作，這照顧到空間想象能力較弱的學生，有助于他們加深對展開圖與立體圖形對應關系的認識，發展空間觀念和推理能力。

【教學后記】任務1的3個圖形，由易到難，要求學生既要能根據展開圖想象將其還原成正方體，又要判斷出6個面的相對關系。任務2不僅要求學生要確定3組相對的面，還要考慮面與面之間的大小關系，再通過調整面的大小，使之可以折疊成長方體。任務3為教材上的思考題，學生可通過推理或排除的方法找到正確選項，可訓練學生觀察、分析、推理、表達等能力。這樣的教學設計，使學生通過逐級訓練，逐層推進地學習，提升空間想象能力，拓展思維深度。

三、豐富變化，促進“再生長”

精編綜合性練習題，具有以簡約的素材承載眾多的知識點的特點，可有效激發學生的批判性思維和創造性思維。教師在教學中構建有深層認知意義的情境，為學生靈活解決實際問題、發展空間想象能力、培養合理的聯想能力起到重要作用。

【教學設計片段5】

師（出示圖8）：下面兩條線段可以形成什么平面圖形？這個平面圖形再通過運動能得到什么立體圖形？圈出這個立體圖形可能是什么物品。

生1：可以形成三角形，三角形通過旋轉可以得到圓錐。

師：是怎樣的圓錐呢？

生1：底面半徑為12 cm，高為24 cm的圓錐，可能是生日帽。

師（做出旋轉手勢）：通過不同方式的旋轉還能得到怎樣的圓錐？

生2：能得到底面半徑為24 cm，高為12 cm的圓錐，可能是斗笠。

師：還能形成什么平面圖形？

生3：長方形，通過旋轉得到底面半徑為12 cm，高為24 cm的圓柱，可能是積木桶，也可能是花瓶。

生4：通過旋轉還可以得到底面半徑為24 cm，高為12 cm的圓柱，可能是蒲團。

師（小結）：在研究形的問題時，不能忘記數，只有數形結合，描述立體圖形才會更精準。

【設計意圖】此題的設計，又一次引發學生思考，讓學生感受從線可以想到面、體，形成從一維到二維，再到三維的認知體驗。

學生通過把三角形和長方形以不同的邊為軸旋轉一周，得到不同的圓錐和圓柱，進一步加深對圓錐和圓柱特征的認識。這樣的設計同時啟發學生關注數據信息，注意數形結合，只有將圖形的認識和實際結合起來，描述才會更精準。

【教學后記】此題的訓練很好地構建了圓柱、圓錐的“知識點”與“知識網”之間的聯系，同時也協調了“低階思維”與“高階思維”的關系。線→面→體的想象與生活實物緊密聯系，進一步溝通了空間幾何中一維、二維、三維之間的聯系，讓學生的想象、推理能力達到新高度。這樣的課堂設計，讓學生有獨立思考的時間、有合作交流的空間、有探究發表的機會，使得學生的思維在交流中得以彰顯。此環節溝通了線段與平面圖形的聯系、平面圖形與立體圖形之間的聯系、立體圖形與立體圖形之間的聯系、立體圖形各要素之間的聯系。

綜上所述，在數學教學中，教師應于溫故中知新，于聯系中整合，于交流中彰顯思維深度！

（責編 覃小慧）