義務(wù)教育數(shù)學(xué)課標(biāo)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中實例的變化、價值及啟示

文∣張定強 申韓麗

一、引言

2001年教育部頒布了《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿)》(以下簡稱“2001版課標(biāo)”)，2011年頒布了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱“2011版課標(biāo)”)。2022年4月，頒布了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱“2022版課標(biāo)”)。三版“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”的頒布，明晰了當(dāng)代數(shù)學(xué)課程改革的基本路徑。課標(biāo)對教師而言是解決“為何教”“教什么”“怎么教”“教到什么程度”的教育教學(xué)重大問題的綱領(lǐng)性文件，對學(xué)生而言是解決“為何學(xué)”“學(xué)什么”“怎么學(xué)”“學(xué)到什么程度”的重大學(xué)習(xí)問題的指導(dǎo)性文件。作為課標(biāo)建構(gòu)中的重要組成部分，“課程內(nèi)容中的實例”承擔(dān)著重要的教育教學(xué)功能，對課標(biāo)主體內(nèi)容有重要的解釋作用。本文選取三版數(shù)學(xué)課標(biāo)初中部分“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的實例作為研究對象，從量與質(zhì)的角度進(jìn)行剖析，深入挖掘不同版本課標(biāo)在此領(lǐng)域中實例的變化及價值所在，進(jìn)一步探析實例對數(shù)學(xué)教育教學(xué)的啟示。

二、實例的變化分析

“數(shù)與代數(shù)”是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域，相應(yīng)的實例也占有重要的地位，而不同版本中的實例有的發(fā)生了變化。

(一)實例的分布概況

三版課標(biāo)在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的主題設(shè)置為“數(shù)與式”“方程與不等式”“函數(shù)”。

表1 三版數(shù)學(xué)課標(biāo)初中部分“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?qū)嵗姆植?/p>

在2001版課標(biāo)中，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域設(shè)計了11個實例，相對集中在“數(shù)與式”“函數(shù)”主題上，涉及內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中的10個具體目標(biāo)，是對具體目標(biāo)的解釋、示范、引領(lǐng)，但在體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和方法、啟迪學(xué)生思維、突出代數(shù)思維方面存在不足。

在2011版課標(biāo)中，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域也設(shè)計了11個實例，其中“數(shù)與式”主題有4個，“方程與不等式”主題有3個，“函數(shù)”主題有4個，分別精確對應(yīng)課程內(nèi)容中的11個具體目標(biāo)。較之2001版課標(biāo)，強化了“方程與不等式”主題的實例，并通過具體案例，突顯了“四基”與“四能”。

在2022版課標(biāo)中，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域設(shè)計了9個實例，其中“數(shù)與式”主題有3個，“方程與不等式”主題有1個，“函數(shù)”主題有5個。較之前兩版課標(biāo)，在實例減少的情況下加強了“函數(shù)”領(lǐng)域中的實例，說明函數(shù)的理解與掌握在初中階段十分重要和關(guān)鍵，注重以下三個方面：一是注重數(shù)學(xué)文化的滲透，如實例64“負(fù)數(shù)的引入”，讓學(xué)生體會古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；二是注重數(shù)學(xué)符號推理，如例66、例67，在論證的過程中，讓學(xué)生提升符號意識，養(yǎng)成利用符號分析論證問題的習(xí)慣，感悟符號表達(dá)對于數(shù)學(xué)發(fā)展的作用；三是注重學(xué)生“幾何直觀”素養(yǎng)的培養(yǎng)，如例68—例70，不失時機地滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生感悟如何借助幾何直觀分析代數(shù)問題。

(二)實例的變與不變

三版數(shù)學(xué)課標(biāo)在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中，實例的具體變化如表2所示。

表2 三版數(shù)學(xué)課標(biāo)初中部分“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?qū)嵗y(tǒng)計

從表2可以看出，三版課標(biāo)在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域均有的實例為簡單近似計算，因為數(shù)字化時代對運算能力的要求不斷增強，近似計算的應(yīng)用培養(yǎng)也越發(fā)重要。同樣共有的實例還有通過圖象分析函數(shù)關(guān)系，通過數(shù)與形的結(jié)合，建構(gòu)函數(shù)表達(dá)式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。增加的實例有負(fù)數(shù)的引入、代數(shù)推理、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、得到函數(shù)表達(dá)式，這種變化的一個明顯特點是數(shù)學(xué)文化的融入和代數(shù)思維的突顯。

需要說明的是還有一個潛在的共有實例——“溫度的計量”，2001版課標(biāo)中它出現(xiàn)在課程實施建議中，與2011版課標(biāo)例57、2022版課標(biāo)例70的功能一致，都是引導(dǎo)學(xué)生建立兩種溫標(biāo)下的一次函數(shù)表達(dá)式，只不過提問方式不同；2011版課標(biāo)提出了四個具體的問題；而2022版課標(biāo)的問題更具開放性，讓學(xué)生分析兩種溫標(biāo)計量值的對應(yīng)關(guān)系，感悟如何借助幾何圖象分析代數(shù)問題。

(三)實例的匹配度

課標(biāo)中實例的匹配度直接影響實例的質(zhì)量，影響著數(shù)學(xué)教育工作者準(zhǔn)確理解課標(biāo)目標(biāo)、內(nèi)容、學(xué)業(yè)質(zhì)量的核心要義，也影響著數(shù)學(xué)教材建設(shè)和師生的教與學(xué)。為了更好地理解實例在三版課標(biāo)中的重要地位與價值，我們對三版課標(biāo)中初中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?qū)嵗钠ヅ涠冗M(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)2001版課標(biāo)中的具體目標(biāo)與實例內(nèi)容及相應(yīng)知識點的匹配度稍低，實例相對比較簡單。可能是初次研制課標(biāo)，實例的示范功能不足，大多數(shù)實例沒有“說明”，即實例設(shè)置的目的、情境、分析及拓展。2001版課標(biāo)中例1的估算比較簡單，小學(xué)階段學(xué)生已經(jīng)掌握，放在初中階段不太適宜；例3、例4與例5所對應(yīng)的具體目標(biāo)有重復(fù)之嫌；例8放在“函數(shù)”中不是很適宜，適合放在“數(shù)與式”中，能讓學(xué)生很好地理解代數(shù)式。2011版課標(biāo)是在2001版課標(biāo)基礎(chǔ)上修訂完善的，豐富和完善了實例的內(nèi)容，實例的“說明”解釋更加具體，對理解實例與課程目標(biāo)、內(nèi)容要求及具體的知識點匹配度更高。2022版課標(biāo)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?qū)嵗c課程目標(biāo)、知識點對比如表3所示。

表3 2022版課標(biāo)初中部分“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?qū)嵗c課程目標(biāo)、知識點對比

(續(xù)表)

2022版課標(biāo)對2011版課標(biāo)的實例進(jìn)一步優(yōu)化，實例與課程目標(biāo)、課程內(nèi)容的匹配度達(dá)到了新的高度，對廣大數(shù)學(xué)教師進(jìn)一步掌握和理解課標(biāo)的要求提供了新的分析；實例中的“說明”更加清晰與全面，透過實例這一視角對課標(biāo)中所倡導(dǎo)的課程性質(zhì)、課程理念的理解更加到位，對“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的課程目標(biāo)、課程內(nèi)容、學(xué)業(yè)質(zhì)量以及課程實施能更加清晰準(zhǔn)確地掌握，實例可以助推教師更好地開展數(shù)學(xué)教與學(xué)。

三、實例的價值分析

實例在數(shù)學(xué)教育中具有十分重要的價值。從育人的導(dǎo)向?qū)徱暎瑢嵗⒆阌诹⒌聵淙耍粡墓δ艿陌l(fā)揮審視，實例服務(wù)于課程建設(shè)；從現(xiàn)實的要求審視，實例引導(dǎo)教學(xué)發(fā)展。

(一)立足立德樹人

立德樹人是教育工作的根本任務(wù)，也是實例承擔(dān)的根本任務(wù)，2022版課標(biāo)中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?qū)Υ诉M(jìn)行了系統(tǒng)的設(shè)計，突顯了實例的育人導(dǎo)向。經(jīng)過專家精挑細(xì)選、前后斟酌、深思熟慮的實例，不僅有精確對標(biāo)具體目標(biāo)，解釋具體目標(biāo)的效用，更是具有通過例說的方式詮釋數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)本真之功效。如2022版課標(biāo)實例64(負(fù)數(shù)的引入)，借助歷史資料說明人們最初引入負(fù)數(shù)的目的，感悟負(fù)數(shù)的本質(zhì)特征。此實例在說明中，展示了負(fù)數(shù)概念出現(xiàn)的歷史脈絡(luò)，《九章算術(shù)》中三元一次方程組建立和求解中負(fù)數(shù)的出現(xiàn)以及負(fù)數(shù)意義的解釋，透過此實例可以讓學(xué)生體會我國古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)。了解優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，增強學(xué)生的民族自豪感和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱忱，對學(xué)生正確的價值觀培育、數(shù)學(xué)素養(yǎng)落地有重要的作用。

(二)服務(wù)課程建設(shè)

實例主要出現(xiàn)在內(nèi)容要求上，表征在附錄中。“數(shù)與代數(shù)”實例已經(jīng)深深地融入綜合與實踐領(lǐng)域、學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)之中，全方位地服務(wù)于課程建設(shè)，如2022版課標(biāo)例89，從跨學(xué)科的視角，提出體育運動與健康或安全有關(guān)問題，是“函數(shù)”主題的項目化學(xué)習(xí)。如例92讓學(xué)生探究疊放杯子的總高度變化規(guī)律，旨在建立函數(shù)，讓學(xué)生學(xué)會運用函數(shù)的知識表示杯子總高度隨杯子數(shù)量的變化規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光和數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界。實例大多基于生活實踐和學(xué)習(xí)探索情境，有示范功能，利于教材編寫者在例題、習(xí)題的選用方面借鑒。如2022版課標(biāo)例66代數(shù)推理，作為新增實例，可以突破只有在圖形與幾何領(lǐng)域有推理或證明的誤區(qū)[1]，強調(diào)代數(shù)推理同幾何推理一樣重要，讓學(xué)生從“推理意識”循序漸進(jìn)地向“推理能力”過渡[2]；指明在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，教科書建設(shè)要關(guān)注代數(shù)推理能力。

(三)引導(dǎo)教學(xué)發(fā)展

實例嵌在內(nèi)容要求中，旨在對應(yīng)目標(biāo)的實現(xiàn)；實現(xiàn)途徑在于教學(xué)。教師無論在備課還是上課、考試評價階段，要關(guān)注內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求、教學(xué)提示，高度關(guān)注實例的教學(xué)價值，深入剖析發(fā)現(xiàn)實例所具有的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性。如三版課標(biāo)均有的實例“通過函數(shù)圖象分析函數(shù)關(guān)系”，基于生活實踐問題情境“父母一起出去散步再回家所用時間不同”創(chuàng)設(shè)，旨在加深學(xué)生對函數(shù)的理解，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力。又如2022版課標(biāo)例69“得到函數(shù)表達(dá)式”，創(chuàng)設(shè)了一個學(xué)習(xí)探索問題情境，旨在讓學(xué)生探索用代數(shù)式表達(dá)幾何結(jié)論，利用代數(shù)與幾何知識解決三角形面積問題，綜合性相對較強。這樣的實例在2022版課標(biāo)中較多，其目的是導(dǎo)引教學(xué)改革，促進(jìn)教學(xué)進(jìn)步，特別是實例的分析說明比較具體，可操作性強。實例對教學(xué)過程中的例題分析、拓展，習(xí)題編排、考試命題等具有重要的引領(lǐng)和啟示作用。

四、實例的教學(xué)啟示

“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的實例在變遷中不斷豐富和發(fā)展，以其獨特的教育教學(xué)價值融入數(shù)學(xué)教育全程，啟示我們在教學(xué)改革與評價中充分發(fā)揮其功能，實現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)。

(一)學(xué)懂弄通課標(biāo)實例的應(yīng)有之義

課標(biāo)中的實例有其內(nèi)在的編排邏輯，獨特的結(jié)構(gòu)特點以及特殊的教育功能，需要數(shù)學(xué)教育工作者深入挖掘。教師要結(jié)合數(shù)學(xué)課標(biāo)中的課程性質(zhì)、課程理念、課程目標(biāo)、課程內(nèi)容、學(xué)業(yè)質(zhì)量、課程實施統(tǒng)整性進(jìn)行思考和學(xué)習(xí)，了解每一個實例在課標(biāo)中的地位與作用。實例體現(xiàn)了課程性質(zhì)和課程理念，表征課程目標(biāo)和體現(xiàn)課程內(nèi)容，滲透“三會”的達(dá)成度和素養(yǎng)的落地方法，因此理解和掌握“數(shù)與代數(shù)”中的實例必須聯(lián)系當(dāng)前的教學(xué)實際和學(xué)生的學(xué)情，結(jié)合所教內(nèi)容深鉆細(xì)研每一個實例的意境。如2011版課標(biāo)小學(xué)第二學(xué)段(四至六年級)課標(biāo)內(nèi)容“在具體的情境中能用字母表示數(shù)”，而在2022版課標(biāo)第三學(xué)段(五至六年級)表述為“在具體情境中，探索用字母表示事物的關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律的方法，感悟用字母表示的一般性”，相應(yīng)地在后面的實例中增加了例19(用字母表示數(shù)量關(guān)系或規(guī)律)和例23(用字母表示數(shù)量關(guān)系)。事實上，學(xué)生學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”時，思維由具象思維變成了抽象思維。2011版課標(biāo)初中教材及輔導(dǎo)書在表征這個知識點時用的是“餐桌拼接坐人”的例子，而2022版課標(biāo)表示該知識點的是例19，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程[3]。該實例有利于培養(yǎng)學(xué)生對經(jīng)驗的感悟，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，為初中階段方程的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

(二)教學(xué)改革中有效融入實例

實例的價值在于有效的使用，而使用的現(xiàn)實場域就是教學(xué)。因此，要在讀懂課標(biāo)的基礎(chǔ)上，對標(biāo)找差距，確定教學(xué)改革的方向，在尊重教學(xué)實際的基礎(chǔ)上，將實例與教學(xué)內(nèi)容相融合，真正將實例有效地融入教學(xué)中，充分發(fā)揮實例的功能。如2022版課標(biāo)把2011版課標(biāo)中的選學(xué)內(nèi)容“了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”調(diào)整為必學(xué)內(nèi)容，且增添了例67，通過這個實例表征“了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的內(nèi)容要求，目的是讓“學(xué)生感悟符號表達(dá)對于數(shù)學(xué)發(fā)展的作用，積累用數(shù)學(xué)符號進(jìn)行一般性推理的經(jīng)驗”。這也積極回應(yīng)了一線教師對“韋達(dá)定理”由選學(xué)變?yōu)楸貙W(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實訴求，為一線教師進(jìn)行根與系數(shù)的教學(xué)提供參考。實例中蘊含著以核心概念為主線的結(jié)構(gòu)化內(nèi)容，能從整體上幫助我們深刻理解主題的內(nèi)容和方法，將一元二次方程的四種解法、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)納入一個教學(xué)單元中進(jìn)行橫向?qū)Ρ龋w會2022版課標(biāo)中課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的要義，重視單元整體教學(xué)設(shè)計，找到教學(xué)改革的著力點。[4]

(三)考試與評價中科學(xué)運用實例

2022版課標(biāo)中的學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)對學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到的學(xué)業(yè)成就表現(xiàn)特征進(jìn)行了整體刻畫，是衡量數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的標(biāo)尺。而要回應(yīng)課標(biāo)中確定的目標(biāo)、衡量實例選擇的內(nèi)容、檢視經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程是否達(dá)到了目標(biāo)要求，基本的舉措是考試與評價，考試與評價要依學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)來設(shè)計。實例在考試與評價中發(fā)揮著重要的示范引領(lǐng)作用，如2001版課標(biāo)評價建議中的“選哪家旅行社去旅游更優(yōu)惠”，主要考查一次函數(shù)、不等式解法等相關(guān)知識內(nèi)容。2011版課標(biāo)評價建議中“用長為50厘米的細(xì)繩圍成一個邊長為整厘米的長方形，怎樣才能使面積達(dá)到最大”，與2022版課標(biāo)例71“二次函數(shù)的最大值或最小值”的意境相似，只要我們善于挖掘?qū)嵗械挠藘r值，科學(xué)合理地在考試與評價中運用實例，就能助力數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量的不斷提升。