聚焦面積本質促進“量感”培育
——核心素養背景下的“平行四邊形的面積”教學改進

姚紅霞，李永勝

（東豐縣教師進修學校，吉林東豐136300）

一、問題的提出

“平行四邊形的面積”是小學數學比較經典的課例，各版本教材的編排大體相同，一般包括數方格比較面積、猜想公式、圖形轉化、公式推導等基本環節，其中蘊含的轉化思想為后繼學習圖形面積公式、體積公式積累了一定的操作經驗，因而歷來受到廣大教師的重視，在各級公開課、賽課中出現率較高。

在核心素養背景下重新審視這節課，“平行四邊形的面積”一課承載了哪些數學素養？這些素養應該以何種方式呈現在教學之中？“數方格”的數學價值體現在哪里？如何讓圖形轉化成為學生的學習需求？怎樣讓學生深刻理解公式并加以運用？圍繞著這些問題，筆者開展了相關的行動研究和課例研究，以期促進核心素養目標的達成。

二、核心素養背景下的教材理解與目標定位

（一）教材理解（以人教版教材為例）

1.問題情境。比較兩個花壇的面積，一個是長方形，一個是平行四邊形，由此引出對于平行四邊形面積的學習。

2.數方格求面積。把兩個圖形放在方格紙上（見圖1），每個方格為1m2，但平行四邊形出現了不滿一格的情況，因此教材提示“不滿一格的都按半格計算”。這樣的編排一方面可以直接回答情境中的問題，得出面積相等的結論；另一方面也體現了面積的數學本質——用面積單位測量出的具體數值，即圖形的面積是面積單位累加的結果。［1］

圖1 “數方格”比較面積

在平行四邊形中，將不滿一格的按半格計算，減輕了思考的難度，通過簡單的計算可以“數”出平行四邊形的面積，但這樣的規定使得“數方格”變成了估算，并不能得到精確的面積數。［2］教師在教學實踐中可以引導學生在“數得準”上多加思考，鼓勵學生嘗試將“不滿一格”的通過平移“拼整格”，形成幾行完整的面積單位（見圖2），通過“每行面積單位數量行數”清晰地“看出”平行四邊形的面積［3］，這樣更有利于量感的培養。另外，“拼整格”活動也為后面的圖形轉化提供操作經驗。實事上，將平行四邊形轉化成長方形本身就是一個“拼整格”活動，只有保證面積單位數量不變，才能確保“等積變形”。

圖2 拼整格

3.猜想公式。將兩個圖形的相關數據填寫在表格中（見表1），并借此猜測平行四邊形的面積計算公式。表格中的兩行數據規律性極強，很容易猜想出平行四邊形的面積用“底×高”計算。

表1 猜想面積公式

從落實核心素養的角度看，如果把“量感”作為核心目標，那么猜想公式就應該回歸到圖形本身，從“數面積單位”的角度提出猜想。觀察“拼整格”后的圖形不難發現：每行面積單位的數量是平行四邊形的長，面積單位的行數是平行四邊形的底。

4.圖形轉化與公式推導。以小組合作的方式將平行四邊形轉化成長方形，并通過觀察圖形轉化前后的等量關系推導出計算公式。

有了前面“拼整格”“數得準”的經驗，再讓學生在“數得快”上深入思考，減少平移的次數，直接沿著高平移，就能一次性拼成整格，同時也完成了圖形的轉化。這也回應了為什么要把平行四邊形轉化成長方形而不是別的圖形的問題——面積單位是正方形，面積單位有規律地排列就一定是由正方形構成的組合圖形，而長方形是最普通的一種。

公式的推導過程是典型的邏輯推理，是培育學生推理意識的較好素材。

（二）目標定位

基于核心素養對小學數學教學的要求以及對教材理解，可知“平行四邊形面積”一課蘊含了對發展量感、培養推理意識、提高應用意識等數學素養的培養目標。因此，在數學素養視域下，其教學目標應做如下的定位：

1.經歷數方格求平行四邊形面積的過程，體會面積的本質——面積單位的累加，初步滲透圖形轉化思想，建立量感；

2.能夠有理有據地猜測平行四邊形面積公式，經歷探索平行四邊形面積計算公式的過程，培養推理意識；

3.掌握平行四邊形面積公式的計算方法，能在現實背景下解決相關問題，促進數學學習的應用意識，進一步提高解決實際問題的能力。

（三）教學重、難點的確定

在傳統教學中，一般把本課的教學重點設定為“運用轉化法推導平行四邊形面積公式，能運用公式計算圖形面積”。在數學素養體系下，上述的知識與技能目標仍是不可缺少的，但數學核心素養應成為更上位的目標，要在重、難點中加以體現。

教學重點：進一步理解面積的本質，發展有關平行四邊形面積的量感。

教學難點：積累圖形轉化的數學經驗，從面積單位角度理解圖形轉化的原理。

三、核心素養背景下的“平行四邊形的面積”教學改進

（一）創設情境，引領學習

1.學校組織公益勞動，要給兩個花池除草，把長方形的分給了五（1）班，把平行四邊形的分給了五（2）班，現在兩個班級的同學想比較一下哪個花池大？同學們，你能幫他們解決這個問題嗎？

生1：這兩個花池看起來相差不多，我們可以量一量、算一算。

師：你說的是量長度、算面積吧，可是我們不會計算平行四邊形的面積呀！

師：大家想過用面積單位來量嗎？

生2：我們可以直接用1㎡的正方形來量，看看哪個花池擺的正方形多，哪個面積就大。

師：我們把這兩個花池按比例縮小，畫在紙上，咱們就來量一量、數一數！

【設計意圖：引導學生運用面積單位的本質——含有面積單位的多少來解決面積比較問題。】

（二）數方格，提出猜想

1.初步感知，拼成整格

（1）初次嘗試，自主數格

為了方便大家比較面積，老師在兩個圖形上印了方格（見圖1），1小格代表1㎡，現在你們能數出這兩個圖形的面積各是多少嗎？請同學們獨立完成，看看誰數得又準又快。

學生自主學習后匯報。

生1：我數出了長方形一行有6 格，有4 行，一共有24 格，所以它的面積是24㎡。但是平行四邊形有不滿一格的，我數不準。

生2：我把不滿一格的按半格算，平行四邊形整格的有20 個，不滿一格的有8 個，20+82=24，所以平行四邊形的面積就是24㎡。

（2）再次探究，滲透轉化

一個小格就是一個面積單位，圖形里有幾個小格，它的面積就是幾。我們用“數單位”的方法求面積，雖然慢一點，但思路是正確的，可是像上面同學那樣，把不滿一格的按半格算，這是估算結果。你們有辦法“數得準”嗎？同桌之間先交流一下想法，在方格紙上畫一畫、數一數。

同桌交流后匯報。

生1：我把平行四邊形左下角的大半格平移到右下角的小半格處，正好是一格，每個不滿一格的都可以這樣平移，這樣就數得準了，合起來一共有24個整格（見圖3）。

圖3 數格子-1

生2：我把平行四邊形左下角的小三角形平移到右下角處，正好是2格；把左上角的小三角形移到右上角也是2格，這樣就數得準了，合起來一共有24個整格（見圖4）。

圖4 數格子-2

生3：我把平行四邊形左邊的大三角形平移到右邊，全變成了整格，數起來更快了（見圖5）。

圖5 數格子-3

【設計意圖：“數方格”的本質是用面積單位來度量圖形的面積，有利于學生形成量感；“數得準”暗含了圖形轉化，只有把不滿一格的拼成整格才能得到準確的面積，“拼整格”是圖形的局部轉化，為整個圖形的轉化積累了操作經驗。】

2.解決問題，提出猜想

（1）再數方格，感知算法

師：我們的同學非常有智慧，只用幾筆就解決了平行四邊形里不滿一格的問題，現在你們能很快數出它的面積嗎？能比較兩個花池的大小了吧！

生1：原來有20 個整格，又平移出了4 個整格，一共是24格。

生2：“拼整格”后，有4 個長條，每個長條有6格，面積就是24㎡。

生3：我數的方法更簡單，看最后一個（指圖5），一行有6格，有4行，面積就是24㎡。

師：現在能比較出兩個花池的面積了嗎？

生：都是24㎡，兩個花池的面積相等。

【設計意圖：再次數方格，體現了量感的價值所在，從一行有幾個小格到有這樣的幾行，再到一共包含了多少格，體現的是“數面積單位數量”是多少，是面積計算的基本原理。】

（2）猜想平行四邊形的面積計算公式

我們用數方格——也就是“量面積”的方法解決了花池面積問題，如果我們要計算一個平行四邊形廣場、一塊平行四邊形農田的面積，還能用面積單位來量嗎？我們要找到一個便捷的計算方法。

請同學們觀察“拼整格”得到的圖形（見圖3~圖5），你覺得平行四邊形的面積和哪個圖形有關？能猜測一下平行四邊形的面積計算公式嗎？說出你的依據。

生1：我們在數格子的過程中把平行四邊形轉化成了一個或幾個小長方形，我想平行四邊形的面積一定和長方形的面積有關。

生2：在“拼整格”時，我們直接把平行四邊形拼成了長方形，我也覺得平行四邊形的面積一定和長方形的面積有關。

生3：長方形的面積是底乘高，平行四邊形的面積也可能是相鄰的兩條邊相乘。

生4：我不同意他（指生2）的想法，平移小格時，平行四邊形短邊（與底相鄰的邊）已經不存在了，不能用不存在的邊來計算。

生5：平移小格后，平行四邊形變成了長方形，我猜測平行四邊形的面積是底乘高。

生6：“拼整格”后的方格數就是用底乘高算出來的，我也覺得平行四邊形的面積是底乘高。

【設計意圖：有理有據地猜想體現了思維嚴謹的數學；由數方格猜想面積公式，體現了由“理”到“法”的過程，是學生量感形成的一次飛躍；同時提示了平行四邊形轉化成長方形的學理依據。】

（三）圖形轉化，推導公式

1.動手操作，合作探究

出示小組探究要求：（1）圖形轉化，利用手中的學具，把平行四邊形轉化成長方形；（2）推導公式，根據長方形面積公式，推導出平行四邊形的面積公式。（注：為了便于發現圖形轉化前后的等量關系，每組都配備了兩個同樣的平行四邊形，只割補其中的一個，另一個保持不變。）

2.展示交流，推導公式

組1：我們組從平行四邊形的一個頂點沿高剪開，形成一個三角形和一個梯形，可以拼成一個長方形（見圖6）。長方形的面積等于長乘寬，長方形的長和平行四邊形的底相等，長方形的寬和平行四邊形的高相等，因此平行四邊形的面積等于底乘高。

圖6 圖形轉化-1

組2：我們沿平行四邊形的任意一條高剪開，得到了兩個梯形，可以拼成一個長方形（見圖7）。根據轉化前后底和長相等、高和寬相等，我們也發現了平行四邊形的面積等于底乘高。

圖7 圖形轉化-2

組3：我們組從平行四邊形的兩個頂點沿高剪開，形成兩個三角形和一個長方形，這三個圖形也正好能拼成一個長方形（見圖8）。雖然轉化起來有點麻煩，但面積也是不變的，長方形的長和寬也正好與平行四邊形的底和高相等，仍然可以推導出平行四邊形的面積等于底乘高。

圖8 圖形轉化-3

3.小結

師：大家做得真好，用不同的方法把平行四邊形轉化成了長方形，轉化前后的面積不變。我們已經知道了長方形面積等于長乘寬；圖形轉化后，我們又發現了長與底、寬與高是相等的；那么我們就可以用“底”取代“長”、用“高”取代“寬”，這樣我們就推導出了平行四邊的面積計算公式。

平行四邊的面積計算公式也可以用字母表示為S=ah。

【設計意圖：讓學生經歷圖形轉化的過程，感知面積的不變與圖形形狀上的變化，并由此推導出面積計算公式；發揮幾何直觀的作用，運用等量代換思想有條理地敘述推理過程，培養推理意識。】

（四）緊扣本質，深化理解

1.測量并計算平行四邊形框架面積，在變化中理解面積的本質。

老師為每個小組準備了平行四邊形框架，它們的鄰邊長都是20cm 和15cm，請你測量所需數據，計算出平行四邊形框架的面積。

（1）學生獨立完成后，組織全班交流。

生1：我發現邊長15cm 是多余條件，我又測量了它的高是12cm，框架面積是20×12=240（cm2）。

生2：我也沒用到15cm 的邊，測量的高是9cm，框架面積是20×9=180（cm2）。

生3：我手上的框架和他們的都不一樣，它的高是7cm，框架面積是20×7=140（cm2）。

生4：我們的框架比較特殊，正好是長方形，不需要測量，直接計算，面積是20×15=300（cm2）

（2）探索面積變化規律。

師：我給大家提供的框架邊長是相同的，可是面積卻各不相同，這是什么原因呢？我們把這些框架疊在一起（圖9），看看你有什么發現。

圖9 變化的長方形框架

生1：框架被拉得越高，面積就越大，當拉成長方形的時候面積最大。

生2：框架被拉高，它的高就增加了，底不變，面積自然就變大了。但這個面積不能無限大，把它拉成長方形的時候，面積是最大的。

生3：我發現平行四邊形的面積與底和高有關，任何一個量增大或減小，面積就會隨著增大或減小。

生4：我發現了框架邊長不變，意味著周長都相等，但周長相等的平行四邊形面積不一定相等。

師小結：同學們善于觀察、勤于思考，發現了這么多有價值的數學規律。正如大家所說的那樣，平行四邊形在底不變的情況下，面積隨著高的變化而發生改變，且與周長無關，當成為長方形時，面積最大。

【設計意圖：經歷有選擇地測量長度、計算面積的過程，模擬現實問題，提高學生解決實際問題的能力；從變化的角度深入理解面積的含義，進一步培養學生的量感，滲透函數思想。】

2.從圖形轉化角度理解“底高對應”問題。

計算下圖的面積（見圖10），小麗用7×4.5 計算，小華用7×6計算，誰算得對？說說你的依據。

圖10 底高對應-1

學生獨立思考后得出結論：小麗算得對，小華的計算沒有用對應的底和高相乘。

師追問：計算面積，為什么一定要“底高對應”呢？道理在哪兒？

生：思考，不語。

師：讓我們再退回到圖形轉化，把平行四邊形轉化為長方形（見圖11），想一想平行四邊形“底高對應”的依據到底是什么。

圖11 底高對應-2

生恍然大悟：對應的底和高是轉化后長方形的長和寬，另一條不對應的高只是長方形內部的一條線。

【設計意圖：“底高對應”不是數學實事，而是基于面積公式推導的一個推論，學生需要再次回到圖形轉化中感知其數學依據，建立良好的數學思維品質。】

（五）全課總結，方法遷移

1.通過這節課的學習你有哪些收獲？

2.我們還要學習其他平面圖形的面積，你有好的學習建議嗎？

【設計意圖：將面積本質、圖形轉化、公式推導等核心問題形成概念，用于指導以后的學習。】

四、思考與結論

（一）關注數學本質，建立知識間的關聯

“平行四邊形的面積”改進教學凝聚了國內多位教育名家和一線教師的智慧，將“數方格”作為課堂教學的核心內容貫穿全課，“數方格”的過程就是用面積單位測量圖形面積的過程。這樣的思路正是針對面積的本質屬性而設計的，學生從“不滿一格”到“拼整格”，再到“數整格”“算整格”，進而推導出平行四邊形的面積公式，體現了面積單位在平面圖形面積中的重要地位——面積是面積單位的累加。正是這樣一個最基本的原理，卻能夠溝通所有的平面圖形面積。后續學習的三角形面積、梯形面積，同樣也可以在方格紙中實現圖形轉化，完成公式的推導。［4］如果我們把面積公式看作“法”，那么“數方格”就是形成“法”的最基本的“理”。學生依托這樣的“理”就可以建構整個平面圖形的面積的知識架構，進而實現“結構地教，關聯地學”。

（二）落實數學核心素養，培養思維關鍵能力

“為素養而教”已經成為業界共識，本課的數學核心素養目標主要體現在“量感”，量感主要是指對事物的可測量屬性以及大小關系的直覺感知。［5］學生量感的形成不是一朝一夕的功課，而是日積月累的感悟。從一維空間——長度到二維空間——面積，再到三維空間——體積，都應該像“數方格”一樣（長度是“數線段”，體積是“數方塊”），從學生的認知起點開始，從知識的邏輯起點開始，先教給學生最基本的“理”，再逐漸推導出方便快捷的“法”，這是核心素養體系下教學的一般規律。只有強化了素養目標的落實，學生才能獲得受益終身的關鍵能力，才能更好地探索未知世界、應對未來學習與生活的挑戰。

（三）改進課堂教學，促進整體化教學

實施整體化教學是落實核心素養的必由之路，以自然單元或核心知識為主線的“單元整體教學”也必然以課堂教學的方式呈現在學生面前，選取典型課例探索其教學規律，研究其改進策略是實施整體化教學的必然選擇。［6］“平行四邊形的面積”一課在發展量感、培養推理意識、促進數學應用意識等方面具有典型性，這一課時內容的改進意義在于為圖形的測量（不僅是面積的測量，也包括長度和體積的測量）整體教學改進提供實證案例，加強單元內部的關聯，建構基于單元的核心概念。而這一目的也是在核心素養背景下開展課例研究的最終價值所在。