初中數學《銳角三角函數》第一節教學設計

閔丹丹

一、內容分析

本節課是北師大版數學九年級下冊第一章第一節，是本章節的起始課，包含章節起始內容。教師在教學時必須突出章節的核心知識或核心研究方法，必須能幫助學生自主構建知識結構與認知結構。數學章節起始課既要體現數學教育的本質，同時也要充分體現教育的社會目標并符合教育規律。

學生經過觀察生活中梯子傾斜程度不同的現象，探索、發現直角三角形的邊角之間的關系。在這個學習的過程中，發展學生觀察、分析、發現問題的能力。從生活中的現象抽象到幾何圖形，并有目的、有方向地進行計算，體會數形結合的思想，感受問題轉化的思想，學會問題轉化的解決思路。在本節課還會用到以前學過的一些關于直角三角形的知識，學生將進一步體會數學知識之間的聯系，也為進一步學習其它數學知識奠定基礎。

引入正切的概念，會在直角三角形中計算某個銳角的正切函數值。理解正切的意義，會應用正切的含義解決生活中的實際問題：哪個梯子更陡。同時引入坡度的概念，讓學生理解正切也經常用來描述山坡的坡度。在坡度的學習過程中，學生要認識坡角，學會找坡角，理解坡度即為坡角的正切函數值。在本節課的學習過程中，學生感受到數學與生活的聯系“數學來源于生活又應用于生活”，激發學生學習數學的興趣，提高學習積極性。

《義務教育數學課程標準（2021年版）》對三角函數知識的要求是：利用相似的直角三角形，探究并認識銳角三角函數（sinA，cosA，tanA），知道30°、45°、60°角的三角函數值;會使用計算器由銳角求它的三角函數值，由三角函數值求它的對應銳角;能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題。考慮到三角函數在高中將繼續延伸學習，也是中考必考熱點和難點，所以在本章的學習過程中需要安排部分內容供學有余力的學生進行探索學習，也可用課外自主探究。

教學重點：1.會計算直角三角形中某銳角的正切函數值;2.利用正切函數值解決生活中的問題;3.理解坡度與正切的關系。教學難點：理解梯子的傾斜程度與tanA之間的關系。

二、學情分析

學生對直角三角形的邊角關系有了初步的了解，能夠對生活中的問題用數學的方法進行探索活動，但是不能準確描述問題并找到解決問題的方法。學生對于基礎概念的掌握較好，但是將概念運用到生活中去還需要多練習。學生處于初三下學期，對于分析問題、解決問題的能力相比初三上學期有較大提高。該年齡段的學生希望得到同學們的關注，渴望教師和家長的尊重和理解。所以，教師在課堂上應當給學生更多的展示機會，培養學生組織小組成員合作完成任務的能力和與人溝通的能力。

三、教學目標

1.知識和技能：（1）理解正切的概念，感受正切與現實生活的聯系;（2）了解坡度、坡角等概念，并能用正切進行簡單的計算。2.能力與素養：經歷探索刻畫梯子的傾斜程度的過程，逐步學會利用數形結合、從特殊到一般、轉化等數學思想。學會分析問題和解決問題，感受數學與生活的聯系。

四、教學過程設計

首先從梯子的傾斜程度談起，引出第一個三角函數——正切。因為正切是生活中用得最多的三角函數概念，如，刻畫物體的傾斜程度、山的坡度等。本節課分為課前學習、課堂活動、課后延伸三個環節。課前學習后要完成5個小測題，教師根據小測情況進行二次備課。在課堂活動中，教師采用小組合作學習的方式，探索數學問題;課堂上采用上板書寫的方式展示出學生學習的問題并及時有針對性地進行點評與講解，做到課堂的高效學習。課堂最后5分鐘為課后小測時間，學生完成5個與課前小測相呼應的5道題，檢測學習效果，教師根據小測情況進行下節課的備課。學校采用閱卷軟件進行掃描，可以快速得到小測數據，讓教師在分析學生情況時更準確。教學流程：三階段（課前、課中、課后）和八環節。

（一）環節一：課前學習，引發思考

引發思考：梯子的傾斜程度用什么辦法來判斷更好呢？

教師活動：課前作業評價，進行獎勵，對學情進行分析，提出學生薄弱的知識點，并提出本節課的學習要求。

學生活動：學生認真聽課前學習評價，了解本節課將要解決的主要問題。借鑒做得好的同學的做法，提高下次預習的質量。

設計意圖：在教師點評前，學生明白自己的課前學習情況，帶著收獲和疑惑走進課堂，目標更明確。

（二）環節二：課堂交流，凸顯問題

通過課前學習，學生已經初步掌握判斷梯子是否更陡需要數據作為依據，不能僅憑直觀感受，但是數據如何使用尚不清楚，方法也多種多樣，沒有形成最佳方案。

教師活動：引導學生交流討論哪個梯子更陡，具體是怎樣判斷的，有幾種判斷方法。

學生活動：小組交流每個人的方法，討論這個方法的合理性，小組長匯總整個小組的方法，做好發言準備。學生在討論時正確表述自己的發現與認識。

設計意圖：一題多解，發散學生思維，總結尋找旋轉角的辦法。學會和人溝通，在溝通中大膽表述自己的意見，在不同意見中總結最佳方案。

（三）環節三：引入概念，獲取新知

基于上面多種方法的展示，得到統一認識，判斷梯子的傾斜程度可以用直角三角形中邊的比值來確定，但是上題中展示的梯子傾斜程度都不同。此時，展示傾斜程度相同時，邊的比值又有什么變化？并且，教師此時引入本節課新知概念：正切。在學生展示并且有了初步結論后，教師用幾何畫板演示，當∠A變與不變時，讓學生觀察對邊與鄰邊比值的變化，觀察梯子傾斜程度的變化，利用多媒體動畫讓學生加深印象。

教師活動：1.問題：從梯子的傾斜程度這樣的實際問題轉化為幾何圖形進行探索。引導學生觀察，當直角三角形某銳角不變時，對邊與鄰邊的比值如何變化。要求學生先獨立完成問題①②③，再進行小組交流，交流后小組派代表向全班同學展示本小組的結論。

2.布置小組合作任務和要求：（1）討論：2號學生回答第①問;3號學生回答第②問;1號學生回答第③問;4號學生做好筆記，說出結論。（2）展示：選出討論發言最流利的學生代表小組向全班進行展示。

3.引入新知：如果銳角A確定，那么∠A的對邊與鄰邊的比便隨之確定，這個比叫做∠A的正切，記作tanA。教師需要板書此概念，并且讓學生認識直角三角形ABC中，∠A的對邊與∠A的鄰邊。

4.重難點突破：在學生完成討論和展示后，教師再拋出問題：梯子的傾斜程度與tanA有關系嗎？

學生活動：觀察圖形，求出比值，得出結論。認識并理解正切的概念，如果銳角確定，那么角的對邊與鄰邊的比值也隨之確定，這個比值叫作角的正切。學生在合作中進行分工，在交流中學會溝通。

設計意圖：學生從對生活中的實例分析轉化到幾何圖形的分析，發展學生的轉化思想，滲透學生對概念的理解。用幾何畫板演示動畫，既能幫助學生加深理解正切涵義：當銳角變化，tanA的值也隨之變化，tanA的值越大，梯子越陡;也能激發學生的學習興趣。學生學會與人合作交流，向全班展示，滿足初中生渴望被關注的心理需要，讓學生更有自信。學生經過前面的探索過程，發現tanA的值越大，梯子越陡，從而突破本節課的重難點內容。

（四）環節四：例題演示，形成規范

教師活動：教師給出1道例題，圖中兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡？可以讓學生思考后進行口答，讓個別學生在黑板上展示書寫過程，教師給出規范步驟，學生通過自我糾正形成規范作答。

學生活動：學生在講學稿上完成題目。教師指定6個小組中的一位成員在小黑板上書寫解題過程，其他小組成員可以在小黑板上用紅色粉筆進行批改。

設計意圖：當堂練習暴露出學生在學習過程中存在的問題，有針對性的點評，在課堂上實現高效率，是學生對上一個活動結論的直接應用，在黑板上展示能夠在課堂上檢測學生的掌握情況。根據當堂暴露出的問題和學情，教師能夠即時調整教法。

（五）環節五：鞏固訓練，形成技能

此環節重點在于訓練學生對tanA的計算。

教師活動：給出6個直角三角形的圖形，圖中給出2條邊的長度，求某個銳角的正切值。先搶答，再上板展示書寫過程，最后總結正切值的范圍，注意求正切值時邊的比值順序。

學生活動：學生思考、求解、搶答，對正切函數值求法技能的鞏固訓練。

設計意圖：搶答環節增加學習的趣味性;快速答題讓學生集中注意力;上板書寫求解的過程，鞏固加深理解。

（六）環節六：變式訓練，固化技能

教師活動：由梯子的傾斜程度類比到山坡、斜坡的傾斜程度。區分坡度與坡角，給出圖形，讓學生求坡度。

學生活動：認識坡度的概念。注意坡度與坡角的區別和聯系。在練習中鞏固概念，練習計算tanA的技能。

設計意圖：利用圖形展示坡度、坡角，讓學生明白坡度就是坡角的正切值，坡度越大，坡面越陡，訓練tanA的計算技能。

（七）環節七：拓展應用，綜合提升

教師活動：給出一道題目考查綜合應用能力，鼓勵學生勇攀學習高峰。

學生活動：思考問題，聯系所學，應用知識解決問題，從而收獲成功的喜悅。

設計意圖：考查學生對綜合應用問題的解決能力，讓學生注重知識的應用。學以致用，培養學生實踐能力。

（八）環節八：反思小結，課后延伸

教師活動：教師對學生整節課的課堂表現以及知識點的掌握進行點評獎勵，師生共同回顧知識流程，提升對知識點的理解。對全體學生進行課后小測，結合課前小測進行數據分析，反思本節課教學過程有哪些環節是高效的，哪些環節還可以改進。同時向學生布置必做題和選做題。

學生活動：學生對本節課從知識、情感、方法的收獲等方面進行小結。

設計意圖：師生共同回顧全課，有助學生對所學知識進行整體的架構，更好地全面掌握。除了獲得知識內容，更重要的是培養學生解決問題的能力和自信，在學習中收獲成就感。課后學習任務體現分層教學，讓學有余力的學生能夠有更大的發展空間，選做題選自中考真題，為以后的學習作好鋪墊。

責任編輯? 吳華娣