韋氏擺的彈性力學分析：圓柱螺旋彈簧模型的特色推導與驗證

劉天恒，曹博星，張福林

(天津大學 理學院，天津 300350)

韋氏擺又稱威爾伯福斯擺，由豎直懸掛的圓柱螺旋彈簧和固連在彈簧末端的物塊組成.物塊有兩個廣義坐標：在豎直方向偏離平衡位置的位移z，繞豎直軸偏離平衡位置的角位移φ，如圖1所示.系統振動時，若系統參量處于一定范圍，可以明顯地觀察到物塊的平動動能和轉動動能發生周期性轉化.

圖1 韋氏擺示意圖[3]

韋氏擺是中學、大學物理教學中經典的演示實驗，目前，文獻[1]、[2]給出了系統唯象的拉格朗日函數模型，描述了耦合的線性特征，測量了唯象系數和耦合現象的拍頻周期，基本驗證了唯象理論的正確性.

但是，前述模型的唯象參數并非是通過系統的物理模型推導得出.因此，本文建立了圓柱螺旋彈簧的彈性力學模型，分析了彈簧鋼材料參數(楊氏模量，剪切模量)和系統幾何參量(彈簧線徑，軸半徑，物塊質量等)對彈性勢能的影響，給出了圓柱螺旋彈簧彈性勢能的解析解，得到了由基本參量描述的唯象參數.本文的彈性力學分析可以簡潔且精確地描述圓柱螺旋彈簧的力學性質，同時，其方法也可以推廣應用于其他均質彈簧的計算.

1 唯象模型

本節分析韋氏擺的唯象模型，在小振動的情況下，系統的拉格朗日函數可表示為[1]

(1)

其中K是彈簧的勁度系數，D是彈簧的扭轉系數，λ是系統的能量與兩個廣義坐標的耦合相關的系數，m、J是與系統動能相關的唯象系數，它們分別是系統豎直方……