軌道角動量算符與矢量算符及標(biāo)量算符對易關(guān)系的嚴(yán)格證明

秦緒明，康東彪,2，郝紅軍，趙冬秋，張希威

(1. 安陽師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院，河南 安陽 455000；2. 浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)大學(xué) 智能制造學(xué)院，浙江 金華 322100)

兩個力學(xué)量算符之間的對易關(guān)系決定了這兩個力學(xué)量能否同時取確定值，以及它們不確定度之間的關(guān)系，因此計算對易關(guān)系是量子力學(xué)的重要課題之一[1]. 角動量算符是量子力學(xué)中的一個重要算符[2]，人們經(jīng)常要計算角動量算符與其它算符之間的對易關(guān)系. 楊秀德等人[3]對常見的坐標(biāo)算符、動量算符、角動量算符與角動量算符之間的對易關(guān)系進(jìn)行了計算，并由此總結(jié)出了角動量算符與矢量算符的一個普遍的對易關(guān)系. 該對易關(guān)系是十分重要的，但通常的教材中并沒有給出嚴(yán)格的證明. 由于角動量算符與空間旋轉(zhuǎn)有關(guān)，本文利用矢量算符的旋轉(zhuǎn)特性，嚴(yán)格的證明了角動量算符與矢量算符的對易關(guān)系；同時，也論證了角動量算符與標(biāo)量算符的對易關(guān)系；然后，我們列舉了幾個矢量算符和標(biāo)量算符，驗證了它們與角動量算符的對易關(guān)系；最后，我們討論了矢量算符和標(biāo)量算符的定義問題. 本工作有益于深入理解角動量算符、矢量算符和標(biāo)量算符. 本文只討論軌道角動量算符，所提角動量算符皆指軌道角動量算符.

1 空間旋轉(zhuǎn)下矢量算符和標(biāo)量算符的性質(zhì)

1.1 矢量算符在空間旋轉(zhuǎn)下的性質(zhì)

(1)

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Rβ(θ)eα=eα′

(4)

圖1 空間旋轉(zhuǎn)下矢量算符的性質(zhì)示意圖

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最后，將Ψ′順時針旋轉(zhuǎn)θ角就可得

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根據(jù)式(2)和式(6)，再由Φ是任……