惠更斯原理與空間維度

楊師杰

(北京師范大學 物理學系，廣東 珠海 519087)

惠更斯原理是指波面上的每一點都可視作子波源,子波的波速與頻率等于原來的波速和頻率,子波波面的包絡構成次級波的波面. 惠更斯原理可以解釋光的直線傳播、反射、折射等,甚至還可解釋晶體的雙折射現象.運用惠更斯原理可以證明光密介質比光疏介質中光波的傳播速度小,這個結論與牛頓的微粒說結論正好相反,在歷史上曾為確立光的波動觀念起過積極作用.

菲涅耳在惠更斯原理的基礎上，提出子波之間相干疊加,由此發展成為惠更斯-菲涅耳原理. 本文的目標是從數學上探討這個原理究竟是否成立,以及在何種程度上它們是合理的.通過直接求解不同維度空間的波動方程, 我們揭示惠更斯原理僅適用于一維和三維空間, 對于二維空間則不適用[1]. 我們還討論了這個結論的可能后果.

1 三維空間波的傳播

一維無限長的波動方程的解稱作達朗貝爾公式：

u=f1(x+at)+f2(x-at)

其中f1、f2是與初始狀態有關的待定函數.它表明初始的波分解為2個獨立的子波,分別沿正負兩個方向勻速傳播,且波形始終保持不變.其物理意義是任何一點的運動,只由此前t時刻、距離為at的點的運動狀態決定, 因此一維空間波的傳播符合惠更斯原理.

下面考察機械波在三維無界空間的傳播.波動方程為

將方程和初始條件都作三維傅里葉變換,得到

其中k=|k|，解得像函數：

先對第2項作三維傅里葉逆變換, 有[2]

最后一……