最概然分布的少粒子修正是必要的嗎？

侯吉旋

(東南大學 物理學院，江蘇 南京 211189)

對于處于平衡態的孤立系統，微觀狀態最多的分布稱為最概然分布.由于最概然分布所包含的微觀狀態數遠多于其他分布所包含的微觀狀態數，于是可以通過計算最概然分布來求得系統的平衡態性質，這種方法稱為最概然近似.一般統計物理教材在推導平衡態分布(包括玻耳茲曼分布、玻色分布和費米分布)的時候都要用到斯特令近似[1,2]：

lnn!≈nlnn-n

(1)

盡管利用最概然近似求平衡態分布的推導過程較簡單，但存在極大的缺陷.因為系統中能級l上的粒子數al很可能不滿足斯特令近似的要求，粒子數al甚至可能遠小于1，強行使用斯特令近似在數學上無法自圓其說.例如若要經典玻耳茲曼統計適用于稀薄氣體，必須保證稀薄性假設(al<<ωl)[2]，其中ωl為能級l的簡并度.文獻[2]做了估計，氦氣在標準狀態下al/ωl≈4×10-6, 這已遠超出式(1)適用范圍.

有不少學者嘗試使用精度更高的斯特令公式

(2)

來重新推導平衡態分布，以期得到在少粒子條件下更貼近實驗測量的結果[3,4].文獻[3]指出，若系統的粒子數少于100，少粒子修正將使得系統的熱容量發生十分顯著的變化.盡管利用斯特令近似式(1)的推導存在缺陷，但也有學者認為教材中原本得到的平衡態分布就是精確的，用精度更高的的斯特令公式(2)去推導是不必要而且錯誤的[5].

隨著納米技術的發展，少粒子系統越來越得到科學界與工業界的重視.統計物理中的平衡態分布是否需要進行少粒子修正將是人們不得不面對的問題.為了回答這個問題，本文將利用一個統……