泰勒公式在一類高考試題中的應用方法探究

黃淑珍

人民教育出版社高中數學必修第一冊三角函數課后作業拓廣探索部分題26給出了泰勒公式，提到“這些公式還被編入計算工具，當計算工具計算足夠多的項就可以確保顯示值的精確性。比如，計算前三項，可以得到cos0.3≈0.9553375”。泰勒公式用函數逼近的思路求解近似值。

泰勒公式在高等數學中是一個非常重要的定理，計算函數數列極限、中值問題、不等式證明、近似計算和函數的無窮級數展開，都需要使用泰勒公式，所以在高中數學學習中拓廣探索泰勒公式，讓學生初步理解并掌握其應用能更好地進行高中與大學知識銜接。泰勒公式的逼近思想在計算機、建筑設計、保險精算、風險評估等領域也有重要作用，了解和探索泰勒公式，能讓學生更好地理解和應用數學來解決實際問題，感受數學學科的魅力。

一、 常見的泰勒公式

泰勒公式，也叫泰勒展開式，是一個用函數在某個點的信息來描述它附近取值的公式，如果函數滿足一定的條件，泰勒公式可以用函數在某個點的各階導數值當作系數來構建一個多項式用于近似表達這個函數，主要是用于求某一個復雜函數在某點的函數值。高中數學中更多的是使用泰勒公式在x0=0時的特殊形式。

二、 應用泰勒公式比較函數值大小

2022年高考結束，輿論都在討論“史上最難”的數學試題，其中選擇第7題考倒了不少學生，下面提供2022年高考題的兩種解法對比：

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A.a

C.c

小結：此解法中，a，c大小比較是關鍵，需要二次求導，在考場緊張的時間中學生難以精心計算。

小結：運用泰勒展開式，近似取值到小數點后三位即可比較大小，相對解法一運算量小。

無獨有偶，在2023屆廣州市高三年級階段訓練中也有這樣一道題，在這提供三種解法對比。

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A.a

C.a

小結：上述解法需要熟悉構造函數證明常見不等式，在考場短時間內完成，計算量還是挺大的。

小結：上述解法是利用泰勒公式計算近似值，過程簡單明了。需要對新教材內容中高等數學背景的知識點進行適當拓展。

小結：客觀題解答中，通過構造函數連續求導，判斷單調性，可以基本判斷大小，只是要考慮x=0.1是否足夠小，在所需單調區間內還得具體判斷，對客觀題來說，結合具體選項，選出正確答案也不失為省時高效的好解法。

泰勒公式的應用挺廣泛，并不是首次出現在高考題和各地模擬試題中，在新教材作業題出現后，我們回顧往年高考題會發現泰勒公式的應用還是多次出現的。

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A.a

C.b

小結：a，b大小容易比較，排除A，D選項后，可用泰勒公式計算a，c大小即可。

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A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

泰勒公式用函數逼近的思想來求近似值，我們聯想起二項式定理也可以求解近似值題目，而(1+x)α的泰勒公式中取了特殊值，余項是0就是二項式定理的形式，可見泰勒公式比二項式定理更具有一般性。當遇到指數對數不容易取值時，以上方法能夠轉變成無窮級數，代入具體數值即可比較大小，對比構造函數證明，泰勒公式更容易被學生接受。泰勒公式在考試題命制中作用是架起了超越函數與初等函數之間的橋梁，讓高等數學問題找到了初等解法，也讓高中數學與高等數學之間有了更多的銜接。

三、 由泰勒公式得到的常用不等式

利用泰勒公式，我們截取前幾項，就可以得到導數應用中常見的不等式。如：

(10)α≤0或α≥1，(1+x)α≥1+αx(x>-1)；0<α<1，(1+x)α≤1+αx(x>-1)；

【例5】(2013年陜西高考數學試題，22)已知函數f(x)=ex，x∈R。

【例6】(2014年陜西高考數學試題，21)設函數f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導函數。(3)設n∈N+，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明。

可見泰勒公式能將復雜函數近似表示為簡單的多項式，在分析和研究數學問題時起到化繁為簡的作用。泰勒公式和常見不等式是需要記憶的，我們在高考復習過程中，歸納好題型，遇到能使用泰勒公式的題目時多鞏固加強記憶，熟練后就可以得心應手了。

四、 結語

2021年和2022年的高考題中，不少題源自新舊教材變化內容及新教材拓廣探索題目，如2022年高考試題中第7題出現泰勒公式的應用，第20題概率統計解答題可運用貝葉斯公式。新高考注重在學科知識網絡的交匯點和跨學科知識的綜合點設計試題，注重創新試題設計，緊密聯系社會生產實踐、生活實際與科學研究的應用型試題增加，將學科的基本思想與方法、原理融合于試題之中，注重考查學生利用所學知識分析和解決實際問題。在新課程新教材“雙新”背景下，新高考備考更需要研究新教材內容如章節編排、欄目設置、課后習題、概念闡述等，研究新舊教材差異，從新舊教材變化中設置情景命題，提高高考備考效果。