“三學”課堂中強化學生數學思維的教學實踐
——以《二次函數》第一課時為例

包 麗

（南通市啟秀中學 江蘇 南通 226000）

1.教學目標

1.1 創設情境，引導學生分析并建立兩個變量之間的二次函數關系，通過類比歸納出二次函數有關概念。

1.2 引導學生研究、分析函數y=ax2的解析式、兩個變量的對應值表，結合“描點法”畫圖象，幫助學生深刻認識二次函數圖象特征和函性質，讓學生充分體驗“數形結合”的思想方法。

2.教學重點與難點

二次函數y=ax2的圖象特征及性質。

3.教學過程

3.1 利用實例，分析變量間的關系，幫助學生自主生成二次函數的定義及有關概念

3.1.1 引例

（1）汽車油箱中原有汽油50升，如果行駛中每小時用油5升，求油箱中的油量y與行駛時間x的關系.y=-5x+50.

（2）正方體的棱長為x，表面積為y，求y與x的關系.y=6x2.

（3）n個球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽.比賽的場次m與球隊數n有什么關系？，即.

（4）某工廠今年的產量是20件，預計今后兩年每年的增長率為x，那么兩年后這種產品產量y與x有什么關系？y=20(1+x)2，即y=20x2+40x+20.

3.1.2 二次函數定義和有關概念

第一個函數是一次函數，由此復習回顧一次函數的定義及有關知識。引導學生觀察后三個函數有什么共同特點。學生思考可以發現：這三個函數都是用自變量的二次式表示的，并猜想像這樣的函數叫做二次函數。由此得到二次函數的定義。學生由一次函數的知識遷移得到二次函數的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的函數叫做二次函數。其中a，b，c分別是函數解析式的二次項系數，一次項系數和常數項。教師引導學生發現這兩種函數都是形式定義。

設計意圖：這部分充分利用教材中三個二次函數模型，添加了一個一次函數模型，目的是抓住本節的研究重點，避免分散學生的注意力，這樣更有利于培養學生抓住關鍵問題、關鍵環節的思維習慣。這一教學環節的研究重點是引導學生順利找到變量間的關系，回憶函數及一次函數的定義，并由一次函數的基本概念遷移到二次函數的基本概念。利用這幾個引例，學生可以自主生成新知，提高學習效率，最終激發學生學習的興趣和熱情，培養學生數學建模能力。

3.2 通過對二次函數y=ax2解析式特征和變量對應值表的分析、描點畫圖,建構二次函數y=ax2的圖象特征和性質

根據定義，教師引導學生思考a為什么不等于0，b、c是否可以等于0,從而強化二次函數的定義。教師提出當b、c同時為0時，二次函數即y=ax2，a可以取0以外的任意實數，最簡單的就是a=0的情形。研究問題可以從最簡單的情形開始，因此研究二次函數也可以從最簡單的y=x2入手。

3.2.1 分析y=x2的解析式

（1）自變量x的取值范圍是什么？x為任意實數.

（2）函數值y的取值范圍是什么？非負實數.

（3）從函數解析式的特征來看，猜想函數的圖象有什么特征？如果學生有困難，教師可以給出提示：圖象一定過哪個點？圖象大致在什么位置？（圖象過原點，除了原點以外，圖象都在x軸上方.）

3.2.2 分析變量對應值表

從變量對應值表的特點猜想圖象的特征.（對稱性）

學生的猜想是否正確，二次函數圖象是什么，需要學生通過描點畫圖來觀察驗證。

3.2.3 描點畫圖

描點畫圖得出一條曲線.這條曲線和投籃時球所經過的路線類似，所以就叫做拋物線.實際上，二次函數的圖象都是拋物線.學生通過觀察圖象分析函數y=x2的圖象特征與性質.教師引導學生從拋物線的開口方向、對稱軸、拋物線的頂點、函數的最值、函數的增減性等方面進行研究、總結。

隨后學生再在同一平面直角坐標系中畫函數y=-x2的圖象，并把它與y=x2的圖象進行比較。學生畫圖后可以發現：函數y=-x2的圖象開口向下，對稱軸也是y軸，拋物線的頂點是（0，0），函數y=-x2的圖象與y=x2的圖象關于x軸對稱。

3.2.4 總結概括函數的性質

從開口、對稱軸、頂點、最值、增減性等方面列表總結。

設計意圖：從特殊到一般，引導學生從函數解析式、兩變量的對應值表分析、猜想函數的圖象與性質，培養學生直觀想象能力.再利用“描點法”畫圖驗證猜想，幫助學生自主建構二次函數y=ax2的函數圖象與性質.課程設計充分體現從“數”到“形”，再從“形”到“數”的過程，有利于幫助學生強化“數形結合”的思想，從而提升學生的數學抽象及直觀想象能力。

3.3 練、議，深化對二次函數定義、圖象及其性質的認識

3.3.1 說出下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點、最值及增減性：

y=3x2；y=-3x2；；.

設計意圖：練習是檢驗學生學習效果的重要手段，能深化學生對新知的理解和吸收。第1題加深學生對函數圖象與性質的理解，訓練學生的數形結合思想。 第2題涵蓋了本堂課的所有知識內容。教師還可以根據學生情況增加本題難度，將（4）中的條件x1〉x2〉0去掉，直接讓學生討論得出答案，這樣能引導學生充分理解二次函數的增減性。設置這組練習的目的是訓練學生舉一反三的能力。

3.4 師生共同總結

3.4.1 本節課研究了什么內容？

3.4.2 如何分析得到函數y=ax2（a≠0）的函數圖象及其性質？

3.4.3 通過這堂課，掌握了哪些研究問題的方法，有什么收獲？

設計意圖：引導學生歸納總結本節課的知識要點及思想方法。這是學生對本節課知識點的再認識過程，通過總結能幫助學生進一步掌握知識，進一步提高數學思維能力，從而提升學習能力.在這個過程中，教師要著重重視提升學生“從一般到特殊”研究知識的能力，以及“從特殊到一般”解決問題的能力。

3.5 作業布置

3.5.1 必做題

（1）一個長方形的長是寬的2倍，寫出這個長方形的面積與寬之間的函數關系式.

（2）畫出函數y=4x2與的圖象并說出拋物線的開口方向、對稱軸及頂點

3.5.2 選做題

在同一直角坐標系中，畫出二次函數y=x2+1與y=x2-1的圖象，并思考這兩個函數的圖象與拋物線y=x2有什么關系？

設計意圖：必做題用于復習本課內容，并進一步培養學生的模型觀念、數學抽象能力。選做題可以作為學生掌握本課內容基礎上的提升，進一步培養學生應用意識和創新能力。這樣的分層作業，在尊重學生的個體差異基礎上，讓不同的人有不同的收獲。

實踐反思：

最新版《數學課程標準》指出，數學課程要培養的核心素養包括三個方面：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界。在教學中，教師要挖掘教材的相關要素，依托“三學”課堂，訓練學生的數學思維。

（1）注重效率，學材再建構，培養學生逐步找到思考問題、分析問題、解決問題的方法、策略和路徑，逐步習慣用數學的思維思考現實世界

“三學”課堂主張“學材再建構”，知識內容要源于教材，高于教材，活化教材。因此本節課的教學內容與教材有一定幅度的調整。人教版教材第一課時是二次函數的基本概念，第二課時是二次函數y=ax2的圖象與性質。其實，此階段學生已經有學習變量與函數、一次函數、二次三項式及一元二次方程等的經驗，只需要簡單復習舊知就可以幫助學生順利進行知識遷移。因此，筆者將兩小節內容進行統籌涉及，重新整合相應的教學目標。同時，通過選取一個一次函數模型問題及教材中的引例揭示來兩變量之間的關系，突出教學重點，幫助學生為知識遷移做好準備。在這個過程中，教師重點要關注學生思考問題、分析問題、解決問題的方法、策略和路徑。

（2）基于主體，學法三結合,培養學生逐步形成觀察事物、探究結論、研究問題的方法和歸納表達的能力，逐步習慣用數學的眼光觀察現實世界

“學法三結合”貫穿本課全過程，在個人學習、小組學習、全班學習中，幫助學生自主生成二次函數的定義及有關概念。在研究二次函數的圖象與性質時，教師要注重培養學生探索新知識的科學思維：從解析式的特征開始觀察，猜想函數圖象的特征，再實際操作畫圖驗證，最后歸納總結出二次函數的定義。在課堂教學中，教師注重培養學生觀察、研究、歸納等能力，而不是直接告知結論.同時，教師引導學生認識到這樣的學習研究方法在其他類型知識學習中也可以參考使用，從而實現提升學生的學力教育目標。這種基于學生為主體的“學法三結合”，就是讓學生在教與學的過程中用數學的眼光觀察世界，逐步養成學生養成從數學的角度觀察世界的習慣。

（3）加強引導，學程重生成，培養學生在思辨中總結歸納,提升學生對科學知識的熱情和積極的態度，逐步習慣用數學的語言表達現實世界

這堂課的重點和難點都是二次函數 的圖象特征及性質.為了抓住重點突破難點，筆者精心設計了三個教學層次：首先，從最簡單的二次函數y=ax2入手，在教師的引導下學生研究了函數解析式、兩變量的對應值表；然后，學生自己嘗試畫出函數圖象，總結函數y=x2的圖象特征和性質；最后，分別畫出a=-1，a=2，a=的函數圖象，再由圖象總結概括二次函數y=ax2的圖象特征及性質。整個教學過程充分體現“學程重生成”。教師精心創設問題情境，留給學生思考的空間，教學過程充分揭示獲取知識的思維過程，從而優化學生的思維品質.教學中，學生不是被動的接受知識，而是在自主探究、親自實踐、合作交流的氛圍中解決自己的困惑，并將學習的困惑及研究的成果用數學的語言表達出來，與同學分享。學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者、合作者。“三學”課堂不僅能使學生感受到合作學習的快樂，更能培養學生學習的熱情和積極的態度，從而幫助學生逐步養成用數學的語言表達現實世界的習慣，充分發展學生的學力。

學生數學思維的養成是一個長期的目標，貫穿于學生數學學習的全過程。“三學”課堂致力于“學材再建構，學法三結合，學程重生成”，正是促進學生數學思維發展的課堂。基于“三學”課堂的教學活動，能更有效地促進學生掌握基本知識基本技能，體會和運用數學的思想方法，從而培養學生良好的思維習慣，幫助學生形成積極的情感態度和價值觀，最終提升學生的數學素養。