基于Levenberg-Marquardt優化算法的雙路電纜溫度預測

陸宇升，李 筠，楊海馬，劉 瑾，Barkoum Betra Felix

（1.上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200082；2.上海工程技術大學 電子電氣工程學院，上海 201600）

0 引言

在常規電纜控溫試驗中，溫度恒定是試驗首要任務，電纜電流的變化量是影響電纜溫度的主要因素。當電流按一定規律調節時，最終電纜的溫度會保持在一個恒定溫度附近抖動。如果電纜通過的電流過大，則會導致溫度持續升高，造成實際溫度超過電纜所能承受的最大值，導致電纜加速老化甚至損壞，嚴重者會引發火災等后果[1-3]。因此，預測電纜暫態溫度變化對電纜控溫試驗的安全以及成本控制變得十分重要。

一般地，如果僅考慮暫態過程的電纜溫度計算，主要手段是運用有限元法、邊界元法、有限容積法等數值計算方法以及仿真分析[4-5]中的公式，通過MGS-LGBM算法[6]以及深度神經網絡[7]進行評估。例如文獻[8]中通過對電纜各層建立熱路模型，再去計算每層的理論溫度；文獻[9]中用ANSYS有限元軟件對電纜中間接頭的溫度場進行仿真計算；文獻中[10]提出用CNN-GRU神經網絡對電力系統的負荷數據進行預測。但是在實際試驗中，往往求出來的離散暫態溫度計算值之間并無直接的聯系，這就需要將這些離散值擬合成隨時間變化的預測曲線。擬合這些離散數據值的過程就需要用到相關算法和模型函數。如果僅僅計算出這些離散數據點而不分析離散數據點隨時間的變化關系，那么在試驗預測中這些計算值將變得毫無意義。通過算法擬合后的曲線可以作為預測電纜溫度變化的模型。

基于上述分析，本文通過文獻[11]中給出的用Runge-Kutta法求解微分方程組的思想來計算電纜暫態溫度并得到離散分布的溫度值，最后用Levenberg-Marquardt優化算法[12-13]對離散溫度值進行非線性擬合，快速得到試驗溫度的模型曲線，從而極大減少了用傳統方式求解預測曲線的計算量；同理可求得第二回路的暫態溫度計算曲線。當繪制出的測量曲線偏離預測曲線時，則說明該試驗的溫度控制存在失控的風險，此時應該及時檢查該試驗系統的相關參數并評估系統的準確性和安全性，從而避免試驗失敗以及燒壞電纜的危險；若試驗系統的測量曲線大致符合計算曲線模型，則說明試驗溫度安全可控，從而證明了該計算曲線的預測作用。

1 建立電纜加熱等效模型

建立試驗電纜的熱路等效模型。電纜內部各層結構如圖1所示。圖1中，1為線芯，是電纜發熱的主要部位；2為電纜內部連接管；3是半導體通電區域；4是內絕緣套；5是外絕緣套；6是半導體導電管；7是屏蔽網；8是內保護套；9是外保護套。

圖1 單芯電纜結構圖Fig.1 Cross sectional structure of single core cable

當電纜線芯通電時，會產生發熱量。這是影響電纜溫度變化的主要因素，因此可視為電流源W。電纜內部產生的熱損耗可分為2部分，一個是電纜內部線芯所產生的發熱量，設為熱容Q1；另一個是電纜線芯部分到電纜表面之間產生的發熱量，設為熱容Q2。同時，電纜在發熱過程中會產生熱阻。熱阻的主要來源也可以分為2個部分，其中一個是電纜內部線芯到電纜表面間所產生的熱阻R1，另一個是電纜表面到外界環境之間所產生的熱阻R2。設電纜的線芯溫度為T1，電纜表面溫度為T2，外界環境溫度為T0。通過電路各元件的關系建立電纜加熱簡化的等效模型，如圖2所示。在忽略電纜線芯的熱容和損耗，不考慮絕緣層電阻的情況下，電纜線芯發熱量W=kI2，k為發熱系數，I2為導體線芯通過的電流。

圖2 電纜加熱等效模型簡化圖Fig.2 Simplified for heated equivalent model

設在一定時間段t內，只考慮電纜線芯內部電流的變化，根據基爾霍夫電流定律可得加熱電纜所對應的熱流方程為：

設電纜線芯溫度T1=x1，電纜表皮溫度T2=x2，電纜溫度輸出為y，則有：

采用Runge-Kutta法求解公式（2）的微分方程組，得出：

求得電纜溫度值為yn=x1n+x2n，則時間與電纜溫度值所對應關系可表示為[tn,yn]。

2 基于 Levenberg-Marquardt優化算法求解擬合參數

當計算得出電纜溫度的離散值后，需要用該算法對這些溫度值進行非線性擬合并生成電纜溫度計算曲線模型。通過文獻[14-15]可以發現：該算法能夠讓目標曲線模型對未知參數在其鄰域內進行線性近似操作，再通過多次迭代運算得到目標變化曲線函數。

由上節得出n組電纜溫度計算數據為，構造函數f(x)=y-x(t)。設參數矩陣為X=[x1,x2,x3,…,xn]T，可構建最小二乘問題：

上式中的F(X)為：

將f(X)一階泰勒展開并去掉高階項，然后代入到F(X)中得：

對（7）式求h的偏導數并設為0可得：

令JTJ=A，Jf=g，則有g=-(A+μI)h。其他情況利用cost增益可以得出：

如果滿足F′(X)=g(X)=0，且||g∞||＜ε1，則迭代終止；若計算超過最大迭代次數，或者x變化步長距離無窮小，滿足||h||=||x2-x1||＜ε2(||x||+ε2)條件，迭代亦終止。

3 試驗預測結果及分析

為了滿足電纜溫度控制試驗的需要，開發了雙路電纜控溫試驗系統。該系統可按照IEC標準的要求，對電力電纜進行溫度控制試驗[16-17]。如圖3所示，雙路電纜控溫試驗系統主要用于控制電纜試樣導體線芯的電流。該成套系統分別由微機控制臺，電氣控制箱、微調電源柜、單相感應式調壓器、短路變壓器、大電流互感器及各種電纜線、連接銅排組成。

圖3 雙路電纜溫控試驗系統組成Fig.3 Composition diagram of two-way cable temperature control test system

該系統的輸入電壓為380 V的交流電，頻率為50 Hz；電流互感器調到0～3 000 A的檔位，讓輸出電流在0到3 000 A之間；系統總額定容量為60 kV。對A，B路電纜以及電流互感器分別安裝電流傳感器。由試驗測得，該系統的電流測量精度約為±2%。本試驗準備對A路和B路電纜分別加熱到92 ℃和90 ℃，并使用二分法調節電流，實現對電纜溫度恒定的控制。A、B 2路的主參數設置如表1所示。

表1 試驗主參數設定值Tab.1 Set values of main test parameters

該試驗中采用YJLW02 290/500 kV型號的單芯電纜，測溫點選擇為室外的電纜部分。該型號電纜的物理參數如表2所示。

表2 YJLW02 290/500 kV電纜參數Tab.2 YJLW02 290/500 kV parameters

為了維持溫度恒定在某一數值附近，必須對電流按一定的規律并依據電纜溫度的變化進行不斷調節，可使用二分調節法。當溫度高于設定值且溫度具備上升趨勢，此時電流折半遞減；當溫度小于設定值且溫度有上升趨勢，或者溫度大于設定值但具有下降趨勢時，此時電流保持不變；當溫度低于設定值且溫度有下降趨勢時，此時電流折半遞增。設實時溫度為T，溫度設定值為T0，溫度的斜率為T′，最小調節電流Ia設置為150 A，最大電流Imax為3 000 A，最小電流Imin為2 000 A，電流調節動態值設為Ik(k≥1,k∈N*)，初始電流值I1為2 000 A，則實時電流調節值Ik+1為：

2路電流溫度控制同步進行，每路循環一次用時為24 h；整體循環1次，共計時間為48 h。未通電時，電纜的電流值為0。給電纜施加電流，電流以二分調節法的方式升高，電流升高至最大值保持5 h左右時，此時A電纜路電纜達到92 ℃。此后每隔1 min進行一次測量溫度記錄，調節時間將維持3 h左右，得到A路電纜溫度測量值變化曲線。

對于A路電纜計算曲線，需要根據前兩節的內容描點并繪圖，觀察后發現該曲線模型為正弦阻尼，再依據第2節的算法編寫擬合程序，得到A路電纜溫度計算值曲線。A路溫度測量、計算曲線以及電流調節曲線如圖4所示。

圖4 A路溫度測量和計算曲線以及電流調節曲線Fig.4 Temperature measurement curve, calculated temperature curve and current regulation curve of circuit A

當進行到8 h時，此時A路溫度控制環節結束，進入16 h冷卻降溫環節；當A路電纜溫度恢復到環境溫度時，B路電纜控溫試驗開始。與 A路電纜控溫步驟相同，大約進行5 h時，B路電纜升至90 ℃。此后記錄數據繪出B路電纜溫度測量值變化曲線。對于B路電纜計算曲線，需要根據其電纜溫度計算值并進行曲線擬合，得到B路電纜溫度計算值曲線。B路溫度測量和計算曲線以及電流調節曲線如圖5所示。

圖5 B路溫度測量和計算曲線以及電流調節曲線Fig.5 Temperature measurement curve, calculated temperature curve and current regulation curve of circuit B

設A路電纜計算曲線為TA(x)，B路電纜計算曲線為TB(x)，則A路和B路電纜溫度計算曲線簡化式為：

式中：A1=92.12029±0.0235,B1=2.98368±2.4387,C1=169.76314±64.48105,D1=-3 1.59223±8.27248,E1=33.926 24±0.7169；A2=90.10737±0.01529,B2=2.469 74±1.27511,C2=177.387 54±44.9463,D2=-27.788±6.157 75,E2=32.00809±0.500 09（表示方式為：參數=值±標準誤差）。

由于正弦阻尼衰減曲線在第一個波峰達到溫度上升的最高值，第一個波谷則達到溫度下降的最低值；因此預測溫度曲線最值的波動范圍在第一個波峰處和第一個波谷處取得。設A路預測溫度曲線溫度上升的最大值為TA1，A路預測溫度曲線溫度下降的最小值為TA2，A路實際溫度上升的最大值為TA′1，A路實際溫度下降的最小值為TA′2。對公式（11）中函數TA(x)求導，x定義域為[5,8]。函數TA(x)第一個波峰處在x≈5.396時取得，TA1≈92.562；函數TA(x)第一個波谷處在x≈5.96時取得，TA2≈91.759。在第323 min左右，預測曲線顯示會出現上升溫度的最大值為92.562 ℃；在第358 min左右，預測曲線顯示會出現下降溫度的最小值為91.759 ℃。觀察圖4可以發現，實際溫度上升的最大值在第 320 min時出現，上升的最高溫度為TA′1約為 92.6 ℃；實際溫度下降的最小值在第365 min時出現，下降的最低溫度為TA′2約為91.7 ℃。該數據說明A路計算曲線可以在短時間內有效預測到實際溫度的最值，從而避免A路電纜溫度升高失控的風險。同理也可驗證B路預測溫度最大值與實際溫度最大值之間的關系。試驗結果表明，B路計算曲線也能在短時間內有效預測到實際溫度的最值。

由圖6和圖7可以發現，雙路電纜溫度的絕對誤差值大多都在0.2 ℃之內。該結果說明試驗系統控溫有效且精準，也證明了計算曲線模型能對溫度變化趨勢進行有效預測，說明了 Levenberg-Marquardt優化算法在溫度預測非線性擬合方面應用有效，其極低的誤差值滿足工程要求。

圖6 A路電纜絕對誤差值分布圖Fig.6 Distribution plot of absolute error value of cable circuit A

圖7 B路電纜絕對誤差值分布圖Fig.7 Distribution plot of absolute error value of cable circuit B

4 結論

本文通過Levenberg-Marquardt優化算法在調節電流以二分法方式變化的前提下，實現對雙路電纜溫控試驗的溫控調節部分進行有效預測，將暫態溫度的離散計算值通過該算法擬合得出完整的計算曲線。該方法相較于經典數值方式有如下優點：

（1）當電纜電流快速下降時，電纜溫度并未立刻響應降溫，這說明電纜溫度變化具有遲滯性。引入二分法后發現響應變快，這說明了二分算法的有效性和精準性。

（2）通過 Levenberg-Marquardt優化算法對離散計算值進行非線性擬合，可以有效建立雙路電纜溫度計算曲線模型，從而解決了用傳統數值方式直接求解溫度變化曲線的難題。

本文所述的電纜暫態溫度預測方法還存在一些不足。在通過Levenberg-Marquardt優化算法建立電纜溫度計算曲線模型之前，還需要對相關時間點的溫度用Runge-Kutta法進行手動計算。若離散計算值分布雜亂無規律，則此時使用Levenberg-Marquardt優化算法可能不會準確建立電纜溫度計算曲線模型。由于電纜所試驗條件的局限，該算法針對極端環境下的電纜溫度預測的有效性需要進一步試驗并驗證。