例析“飛機投彈”問題的變化

■楊愛平 陳 宏

“飛機投彈”問題因涉及的物理情景常有創新,求解方法靈活多變,而成為很多同學感到困難的問題之一。下面就“飛機投彈”問題進行多維探究,多角度變化,總結解題規律,供同學們參考。

課本原題:(人教版必修第二冊P17)如圖1所示,某同學利用無人機玩“投彈”游戲。無人機以v0=2m/s的速度水平向右勻速飛行,在某時刻釋放了一個小球。此時無人機到水平地面的距離h=20m,空氣阻力忽略不計,g取10m/s2。

圖1

(1)求小球下落的時間。

(2)求小球釋放點與落地點之間的水平距離。

分析:忽略空氣阻力,小球脫離無人機后做平拋運動,它在豎直方向上的分運動是自由落體運動,根據自由落體運動的特點可以求出下落的時間,根據勻速直線運動的規律可以求出小球釋放點與落地點之間的水平距離。(解題過程略)

變化1:由“靜止目標”變為“運動目標”。如圖2所示,飛機離地面的高度H=500m,水平飛行速度v1=100m/s,地面上有一輛同向行駛的速度v2=20m/s的汽車,飛機欲投彈擊中汽車,則飛機應在距離汽車多遠處投彈?(g取10m/s2)

圖2

變化2:由“落點在水平面上”變為“落點在豎直面上”。我國空軍某部在一次實戰軍事演習中,一架轟炸機進行投彈訓練。飛機以恒定速度沿著與豎直峭壁平面垂直的方向向著豎直峭壁水平飛行,先釋放炸彈甲,飛行時間T后再釋放炸彈乙。已知炸彈甲和乙均擊中豎直峭壁上的目標,擊中點間的距離為H。不計空氣阻力,重力加速度為g。下列說法中正確的是( )。

A.炸彈甲擊中目標時間T后炸彈乙才擊中目標

B.炸彈甲和乙同時擊中目標

C.炸彈甲離開飛機到擊中目標所用的時間為

D.炸彈乙離開飛機到擊中目標所用的時間為

答案:B

變化3:由“落點在水平面上”變為“落點在斜面上”。如圖3所示,戰機在斜坡上方進行投彈演練。戰機水平勻速飛行,每隔相等時間釋放一顆炸彈,第一顆炸彈落在a點,第二顆炸彈落在b點。斜坡上a、b、c、d四點共線,且ab=bc=cd,不計空氣阻力。第三顆炸彈將落在( )。

圖3

A.b、c兩點之間 B.c點

C.c、d兩點之間 D.d點

解法1:用平拋運動規律求解。如圖4所示,假設第二顆炸彈的軌跡經過A、b兩點,第三顆炸彈的軌跡經過P、Q兩點。a、A、B、P、C五點在同一水平線上,設aA=AP=x0,ab=bc=l,斜面的傾角為θ,三顆炸彈到達a點所在水平線的豎直分速度為vy,水平分速度為v0,以第二顆炸彈為研究對象,炸彈從A點運動到b點,在水平方向上有x1=lcosθ-x0=v0t1,在豎直方向上有;以第三顆炸彈為研究對象,炸彈從P點運動到Q點,在水平方向上有x2=2lcosθ-2x0=v0t2,在豎直方向上有。聯立以上四式可得t2=2t1,y2＞2y1。因此Q點在c點的下方,即第三顆炸彈將落在b、c兩點之間。

圖4

解法2:用幾何作圖法求解。如圖5所示,從b點作水平線與第三顆炸彈的軌跡交于e點,連接c1e并延長交斜面于c′點。因為飛機在水平方向上做勻速直線運動,所以將第二顆炸彈的拋物線軌跡水平向右平移,則將與第三顆炸彈的拋物線軌跡重合。連接bb1、cc1,則必有bb1∥cc1,因為ab1=b1c1,所以b1b是△ac1c′的中位線,即ab=bc′,又有ab=bc,說明c′與c是同一點。由圖中可以看出,第三顆炸彈的軌跡在c點左側,即第三顆炸彈將落在b、c兩點之間。

圖5

答案:A

變化4:由“飛機勻速飛行”變為“飛機勻加速飛行”。如圖6所示,在距水平地面高為H的上空有一架飛機在進行投彈訓練,飛機沿水平方向做勻加速直線運動。當飛機飛經觀察點B正上方A點時投下第一顆炸彈,當炸彈落在觀察點B正前方L處的C點時,飛機投下第二顆炸彈,第二顆炸彈最終落在觀察點B正前方3L處的D點。不計空氣阻力,重力加速度為g。求:

圖6

(1)飛機第一次投彈時的速度大小。

(2)兩次投彈時間間隔內飛機的位移。

(3)飛機的加速度大小。

(2)設兩次投彈時間間隔飛機的位移為x,則3L-x=(v1+at)t,x=v1t+,解得x=。

(3)飛機第一次投彈時的速度大小v1=,經過時間t=,飛機的位移x=,因此時間t中間時刻飛機的瞬時速度大小,飛機的加速度大小。

1.如圖7 所示,在某次空中投彈的軍事演習中,戰斗機以恒定速度沿水平方向飛行,先后釋放兩顆炸彈,分別擊中山坡上的M點和N點。飛機釋放兩顆炸彈的時間間隔為Δt1,在Δt1時間內飛機飛行的距離為s1,炸彈擊中M、N兩點的時間間隔為Δt2,M、N兩點間的水平距離為s2。不計空氣阻力。下列判斷正確的是( )。

圖7

A.Δt1＞Δt2,s1＞s2

B.Δt1＞Δt2,s1＜s2

C.Δt1＜Δt2,s1＞s2

D.Δt1＜Δt2,s1＜s2

2.如圖8 所示,距離水平地面高為h的飛機沿水平方向做勻加速直線運動,從飛機上以相對地面的速度v0依次從a、b、c三點沿水平方向拋出甲、乙、丙三個物體,拋出的時間間隔均為T,三個物體分別落在水平地面上的A、B、C三點。若AB=l1,AC=l2,不計空氣阻力,則下列說法中正確的是( )。

圖8

A.三個物體在空中運動時間的大小關系為t甲＜t乙＜t丙

B.飛機的加速度為

C.物體乙離開飛機時的初速度為

D.三個物體在空中時總在一條豎直線上

參考答案:1.A 2.C