雙函數中任意性與存在性問題探究

■袁滿成

函數中的任意性與存在性問題,是高中數學的重要內容,滲透著化歸與轉化、數形結合、函數與方程等數學思想,一直是高考命題的熱點,也是同學們學習的難點。這類問題既有單一函數的任意性與存在性問題,也有雙函數中的任意性與存在性問題,同時變量也涉及單變量與雙變量。下面就雙函數中的任意性與存在性問題進行探究,意在拋磚引玉。

一、雙函數、單變量的任意性與存在性問題

雙函數、單變量的任意性與存在性問題,需要優先考慮分離參數法,并轉化為最值(或臨界值)進行研究,但要注意利用的最值(或臨界值)正好是相反的。當分離參數構造所得函數的最值不好求時,可以利用作差、分類討論的方法進行解決。

例1已知函數f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t-2),其中a＞0且a≠1,t∈R。當0＜a＜1,且x∈時,f(x)≥g(x)恒成立,求實數t的取值范圍。

評析:若f(x)≥a或g(x)≤a恒成立,只需滿足f(x)min≥a或g(x)max≤a,求出函數f(x)的最小值或函數g(x)的最大值即可解決問題。

例2已知函數h(x)=2x-1,g(x)=m(x2-1),問是否存在實數m,使得不等式h(x)＞g(x)對任意的x∈[-2,2]恒成立。

解:假設存在實數m,使得不等式h(x)＞g(x)對任意的x∈[-2,2]恒成立。令函數f(x)=h(x)-g(x)=2x-1-m(x2-1)=-mx2+2x+m-1,x∈[-2,2],要使不等式h(x)＞g(x)對任意x∈[-2,2]恒成立,即f(x)＞0對x∈[-2,2]恒成立。當m=0 時,f(x)=2x-1,在-2≤x≤上,f(x)≤0,在＜x≤2 上,f(x)＞0,可知不滿足題意;當m≠0時,函數f(x)只需滿足據此代入化簡整理得所以m∈?。故不存在實數m,使得不等式h(x)＞g(x)對任意的x∈[-2,2]恒成立。

評析:對于不適合分離參數的不等式,常用分類討論法,結合函數的單調性或最值,求得參數的取值范圍。

二、雙函數、雙變量的任意性與存在性問題

雙函數、雙變量的任意性與存在性問題,通常是將含有全稱量詞和存在量詞的條件“等價轉化”為兩個函數值域之間的關系(或兩個函數最值之間的關系)進行研究。

例3已知函數f(x)=+x,函數g(x)=ln(x+1)-a,若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),求實數a的取值范圍。

解:因為f(x),g(x)在[0,2]上都是增函數,所以f(x)的值域A=[0,4],g(x)的值域B=[-a,ln3-a]。若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),則f(x)max＞g(x)min,即4＞-a,所以a＞-4。故實數a的取值范圍是(-4,+∞)。

評析:對任意的x1∈A,任意的x2∈B,使得f(x1)≤g(x2),則f(x)max≤g(x)min。對任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)≤g(x2),則f(x)max≤g(x)max。對任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)≥g(x2),則f(x)min≥g(x)min。

例4已知函數f(x)=2x+ax2(a＞0),函數g(x)=x2-4x+1。若對任意x1∈[-1,2],總存在x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2),則實數a的取值范圍是____。

解:函數g(x)=x2-4x+1=(x-2)2-3,因為x2∈[-1,2],所以函數g(x)的值域為B=[-3,6]。

任意x1∈[-1,2],總存在x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2),可設函數f(x)的值域為A。因為B=[-3,6],所以A?B。因為2x＞0,ax2≥0,所以f(x)=2x+ax2＞0在[-1,2]上恒成立。因為f(x)在[0,2]上單調遞增,所以f(x)的最大值為f(2)=4+4a,所以4+4a≤6,可得a≤。又a＞0,所以實數a的取值范圍是。

評析:對任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)=g(x2),則f(x)的值域是g(x)值域的子集,即f(A)?g(B)。

1.已知函數f(x)=|ax-1|+|x+1|,g(x)=x+2。若對?x∈[1,2],不等式f(x)≤g(x)恒成立,求實數a的取值范圍。

提示:當x∈[1,2]時,不等式f(x)≤g(x)恒成立,即|ax-1|≤1對?x∈[1,2]恒成立。當a=0時,顯然成立;當a＞0時,由|ax-1|≤1,可得0≤x≤,要使|ax-1|≤1對?x∈[1,2]恒成立,則≥2,可得a≤1,所以0＜a≤1;當a＜0 時,由|ax-1|≤1,可得≤x≤0,顯然對?x∈[1,2],|ax-1|≤1不成立。綜上可得,a的取值范圍為[0,1]。

或者,構造函數h(x)=|ax-1|,x∈[1,2],則解得0≤a≤1。故實數a∈[0,1]。

2.已知函數f(x)=ln(x2+1),g(x)=-m,若對?x1∈[0,3],?x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),則實數m的取值范圍是____。

提示:當x∈[0,3]時,f(x)min=f(0)=0,當x∈[1,2]時,g(x)min=g(2)=-m。?x1∈[0,3],?x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)可等價轉化為f(x)min≥g(x)min,所以0≥-m,即m≥,故實數m的取值范圍是。

3.已知函數f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a＞0),對任意的x1∈[-1,2],存在x2∈[-1,2],使得g(x1)=f(x2),則a的取值范圍是____。

提示:由x∈[-1,2],f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a＞0),可得f(x)的值域為[-1,3],g(x)的值域是[-a+2,2a+2]。因為對任意的x1∈[-1,2],存在x2∈[-1,2],使得g(x1)=f(x2),所以f(x)的值域包含g(x)的值域,即[-a+2,2a+2]?[-1,3],則-1≤-a+2＜2a+2≤3,解得0＜a≤,即a∈。