聚焦含參數的一元二次不等式問題

■趙 軍

含有參數的一元二次不等式問題的常見題型主要有四種:求解集問題、求相關系數問題、恒成立問題以及有解問題。掌握常見題型與解題方法,對同學們解答含參數的一元二次不等式問題有一定幫助。

一、正向求解集

例1解關于實數x的不等式:ax2+(a-3)x-3＞0。

解:原不等式化為(ax-3)(x+1)＞0。當a=0時,不等式的解集為{x|x＜-1}。

練習1:解關于實數x的不等式:x2-(a+1)x+a＜0。

提示:由x2-(a+1)x+a=0得(x-a)·(x-1)=0,所以x1=a,x2=1。

故當a＞1時,解集為{x|1＜x＜a};當a=1 時,解集為?;當a＜1 時,解集為{x|a＜x＜1}。

二、逆向求系數

例2若關于x的不等式ax2+bx-1＞0的解集是{x|1＜x＜2},則不等式bx2+ax-1＜0的解集是( )。

解:由題意可知,1和2是關于x的方程ax2+bx-1=0的兩個實根。由根與系數的關系得解得

練習2:已知不等式ax2+bx+2＞0 的解集為{x|-1＜x＜2},則不等式2x2+bx+a＜0的解集為( )。

提示:因為不等式ax2+bx+2＞0的解集為{x|-1＜x＜2},所以方程ax2+bx+2=0的兩根為-1,2,且a＜0,所以-1+2=,-2=,解得a=-1,b=1。所以不等式2x2+bx+a＜0可化為2x2+x-1＜0,由此解得-1＜x＜。故不等式2x2+bx+a＜0的解集為。應選A。

三、恒成立問題

例3設函數f(x)=mx2-mx-1。

(1)若對于一切實數x,f(x)＜0 恒成立,求實數m的取值范圍。

(2)若對于x∈[1,3],f(x)＜-m+5恒成立,求實數m的取值范圍。

解:(1)要使mx2-mx-1＜0 恒成立,當m=0時,顯然-1＜0 成立;當m≠0 時,由解得-4＜m＜0。故實數m的取值范圍是(-4,0]。

(2)由f(x)＜-m+5,可得mx2-mx-1＜-m+5,即m(x2-x+1)-6＜0恒成立。因為x2-x+1=＞0,所以m＜。又因為函數y=在[1,3]上的最小值為,所以只需滿足m＜,即實數m的取值范圍是。

練習3:已知函數f(x)=x2-+1。?a∈[1,2],f(x)≥0恒成立,求實數x的取值范圍。

提示:由題意可得,?a∈[1,2],f(x)≥0恒成立。

當x≤0 時,a∈[1,2],顯然f(x)=+1≥1＞0恒成立,符合題意。當x＞0 時,由f(x)≥0 恒成立,可得a+恒成立,令函數g(a)=a+,只需滿足g(a)max≤x+。當a∈[1,2]時,,所以,解得x∈。

綜上可得,x∈。

四、有解問題

例4若關于x的不等式x2-4x-2-a＞0在區間(1,4)內有解,則實數a的取值范圍是( )。

A.(-∞,-2) B.(-∞,-2]

C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)

解:原不等式等價于存在x∈(1,4),使a＜x2-4x-2成立,即a＜(x2-4x-2)max。

設函數y=x2-4x-2=(x-2)2-6,當x∈(1,4)時,y∈[-6,-2),所以a＜-2。應選A。

練習4:若不等式x2-2x-m＜0在x∈上有解,則實數m的取值范圍是( )。

A.[-1,+∞) B.(-1,+∞)

提示:因為不等式x2-2x-m＜0 在上有解,所以不等式m＞x2-2x在x∈上有解。令函數t=x2-2x=(x-1)2-1,則tmin=-1,所以m＞-1。故實數m的取值范圍是(-1,+∞)。應選B。