初等數論融入課程思政的教學路徑研究

□蔣紅梅

一、引言

習近平總書記在全國高校思想政治工作會議[1]和學校思想政治理論課教師座談會[2]的講話不僅強調教育是思政課的責任，也是各類課程的責任，并提出思想教育的總體要求，要求每位教師樹立“立德樹人”[1]意識，結合課程教學有機融入思想政治教育元素，使“各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協同效應”[1]，充分發揮每門課的育人功能，每位教師的育人職能，達到學生“增強中國特色社會主義道路自信、理論自信、制度自信、文化自信，厚植愛國主義情懷”[2]的要求，實現“教育強則國家強”[1]的強國夢。各高校積極響應習近平總書記的號召，如火如荼地開展“課程思政”的教學改革研究，但高校的課程教學中因學科不同，課程思政實施的難度也不同。

初等數論課程是高等院校數學與應用數學專業的復合選修課程，一般開設在大學三年級，主要研究整數的性質和方程的整數解，是研究整數性質的一門很古老的數學分支。初等數論課程中蘊含著豐富的數學故事、數學思想與數學文化，與中小學數學內容有一定聯系，比如帶余數的除法、質數與合數、最大公因數、整數的整除特征、勾股數、百雞問題等。初等數論屬于自然科學中的數學課程，數學基礎類課程關于課程思政的教學改革較多，比如高等數學、數學分析、線性代數等，數學復合課程在課程思政方面的教學研究較少，以初等數論為例，雖有教學改革見諸文獻[3～7]，但課程思政方面的研究尚未深入。在初等數論課程中融入課程思政，要結合專業培養方案明確培養什么人，還要結合課程教學目標和教學內容，積累思政素材，尋找思政課程與初等數論課程的結合點。由于筆者學校選修初等數論課程的學生是從事中小學教師，因此本文主要從融入的內容、層次及方式三個方面研究初等數論課程教學中融入課程思政的教學路徑。

二、初等數論課程思政融入內容

通過研讀教材和深入挖掘思政內容，從數學與哲學、數學與美學、數學與史學、數學與文學四個方面系統整理初等數論課程中蘊含的思政教育資源及其核心內容。

(一)結合數學與哲學，挖掘思政元素。數學是研究數量關系、空間結構、運算等內容的一門基礎理論學科，遵循客觀，講究嚴謹，應用廣泛。而哲學是世界觀和方法論的統一，任何學科的發展都離不開哲學的指導，數學也不例外，因此數學的知識、發展歷史、推理等都體現了唯物論和辯證法的哲學思想。初等數論是一門十分重要的數學課程，蘊含著豐富的哲學思想，體現了對立與統一、普遍聯系原理、否定與肯定、質量互變規律。

有限和無限是物質世界中的一對矛盾，是物質運動中表現的辯證關系，二者既對立又統一，無限可由有限構成，有限也可由無限構成。在初等數論中，正整數集是一個有無限個正整數元素的集合，引入同余的概念后，可以將余數相同的數放在一起，這樣就產生了剩余類，剩余類是一個集合，剩余類中任一數是它同類的數的剩余，都可以作為這個剩余類的代表。模m的剩余類是有限的，共有m個，但每一個剩余類中的元素是無限的，體現有限的剩余類又是由無限個元素組成。按模m的剩余類分類，正整數集可以分成m個剩余類，有限的模m的剩余類就構成有無限個元素的正整數集,體現無限由有限構成。

普遍聯系原理認為整體是由部分構成，離開了部分，整體就不復存在；部分是整體中的部分，部分離開整體就沒有了價值。在初等數論中，正整數集由m個模m的剩余類構成，從模m的每一個剩余類中取一個元素組成模m的一個完全剩余系，模m的完全剩余系是正整數集的部分元素，模m的完全剩余系是不唯一的，兩兩對模m不同余的m個整數都可作為模m的一個完全剩余系。比如，0,1,…,m-1；1,…,m-1,m；0,m+1,…,am+a,…,(m-1)m+m-1均是模m的完全剩余系，均是正整數集的部分元素，但每一組數均是從模m的每一個剩余類中取一個元素組成。因此，通過模m的一個完全剩余系可以進一步地深入研究正整數集的性質，模m的一個完全剩余系離開了正整數集，它也只是一組有限的整數，而無價值。

哲學中，否定與肯定既對立又統一，任何事物肯定自己就是否定自己是其它事物，否定某個事物，就是肯定與它對立的某個事物。在初等數論中，定理的證明過程蘊含了豐富的否定與肯定的思想。例如:采用反證法證明定理“質數的個數是無窮的”[8]時，首先否定結論，假設正整數中只有有限個質數，設質數為p1,p2…pk.令p1,p2…pk+1=N，則N>1.由定理1[8]知N有一質因數p.這里p≠pi，i=1,2,…k.否則p|p1p2…pk，又因為p|N,因此p|1，這是不可能的，與p是質數矛盾。故p是前面k個質數以外的質數，因此質數的個數是無窮的。這就是一個由否定到肯定的典型例子。

哲學中的質量互變規律認為，量變和質變是事物發展變化的兩種基本形式，量變是質變的必要準備，質變是量變的必然結果，量變引起質變，在新質的基礎上，質變的發生將會引起新的量變，體現了事物漸進性和飛躍性的統一。初等數論中蘊含著豐富的量變與質變的哲學思想。例如，在求解多元一次不定方程

通過初等數論中的剩余類、完全剩余系、定理證明、求解多元一次不定方程等挖掘思想政治元素，把哲學觀點引入教學，對學生開展辨證唯物主義思想教育，為學生樹立正確的世界觀奠定基礎。

(二)結合數學與美學，挖掘思政元素。數學可以用簡潔的、漂亮的定理和公式等描述世界的本質，揭示自然界和人類社會內在的規律。在初等數論中，連分數是重要的研究內容，與黃金比、斐波拉契數列、黃金分割等存在緊密聯系，無論從形式還是內涵都擁有無窮的魅力，可以激發學生探索真理的欲望。例如，連分數是一個分母上有無窮多個“1”的繁分數，形如

其形式簡單，結構優美，規律可循，連分數的近似值逐次為

黃金比是黃金矩形的寬長之比，黃金比經過反復迭代后可化為連分數，即

因此，黃金比的值可以寫成連分數的近似值構成的數列，即

(三)結合數學與史學，挖掘思政元素。

1.介紹我國數學家的卓越貢獻，增強學生的愛國主義精神和文化自信。中國是四大文明古國之一，歷史文化悠久，在數學領域上貢獻卓越，成就輝煌，通過介紹我國科學家的突出貢獻，發掘其中蘊含的家國情懷，增強學生的愛國精神，增強中國文化的自豪感和認同感。例如，在講解一次同余方程組時引入公元3世紀前我國的《孫子算經》的“物不知數”問題，并介紹我國數學家孫子求解一次同余方程組的方法，再介紹南宋時期數學家秦九韶在他的《數書九章》中提出了“物不知數”問題的一般求解方法——“大衍求一術”，此法與孫子的算法完全一致，在國外文獻稱此定理為“中國剩余定理”。《數書九章》中提出的“中國剩余定理”比高斯所用的同類方法早約500年，展示中國古代數學的輝煌成就，由此增強學生的民族自豪感和愛國主義精神，激勵學生為實現中國夢而努力學習，通過課堂教學培育和弘揚社會主義核心價值觀——“愛國”。

例如，講緒論時，介紹我國近代著名數學家華羅庚、柯召、閔嗣鶴、陳景潤等在數論方面的成就，一方面介紹我國數學家華羅庚先生放棄美國的優厚待遇，投身祖國的懷抱，一生致力于數學研究和發展，為建設祖國付出了畢生精力，體現了科學家們的家國情懷；另一方面介紹著名數學家陳景潤在哥德巴赫猜想問題上證明了“1+2=3”的理論，取得國際領先的成果，震驚了國際數學界，這是我國數學史上一個光輝的里程碑，也是中國對世界數學研究做出的巨大貢獻，至今陳氏定理仍是解析數論的名作，從而增強學生們的文化自信。

2.介紹數論的發展歷程，鼓勵學生質疑創新，激發鍥而不舍的鉆研精神。數論是研究整數性質的一門很古老的數學分支,數論分為初等數論、解析數論、代數數論、幾何數論。通過介紹數論的發展史，結合科學家們的人文精神進行思政教育。比如，古希臘時代，歐幾里得的《幾何原本》中已出現初等數論的大部分內容，包括算術基本定理、素數有無窮多個、輾轉相除法等重要結論；丟番圖的《算術》中討論了300多個數論問題。我國古代在數論方面亦有杰出之貢獻，比如《周髀算經》記載了西周人商高的“勾三股四玄五”論斷，給出商高方程的一組解，《九章算術》給出了另外四組解；《孫子算經》中提出“物不知數”問題及一次同余方程組的解法。近代，初等數論的發展離不開無數中外數學家的終生奮斗，例如費馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德、高斯、華羅庚、閔嗣鶴、陳景潤、嚴士健等，輝煌成就的背后是科學家們執著追求真理的道路上不怕困難、全心鉆研、勤奮工作、敢于創新精神的集中體現。歷史上，數學的發展有順利也有曲折，每一次數學危機將引發數學的思想解放，大大推動數學科學的發展。為了解決數學問題，不少數學家質疑存疑、敢于創新，無論是數論理論的發現還是猜想的證明都飽含著無數數學家的一生心血，從而培養學生敢于質疑、甘于奉獻的精神。

例如，在介紹素數時，不僅要介紹素數的性質，還要介紹關于素數的重要猜想，從2,300多年前歐幾里得的《幾何原本》給出了“素數有無窮多個”的證明，到1937年證明了“每個大于7的奇數是三個奇素數之和”的猜想，而對于“每個大于4的偶數是兩個奇素數之和”這一著名的“哥德巴赫猜想”，雖然著名數學家陳景潤、王元、潘承洞等在哥德巴赫猜想問題上取得國際領先的成果，但仍然未完全證明。素數幾千年的發展歷程告訴我們，任何事情不一定做了就成功，有時需要經歷長期甚至幾代人的不斷努力才有可能實現，在這個過程中只有不忘初心，方得始終，激發學生鍥而不舍的鉆研精神。

3.介紹數論問題的解決過程，鼓勵學生腳踏實地，增強探索真理的科學精神。在解決數論問題的方法中常常蘊含一些人生哲理。比如，求解多元一次不定方程時，必須先學會求解二元一次不定方程，再求解多元一次不定方程，將求解多元一次不定方程轉化為求解二元一次不定方程組，將未知問題轉化為可以解決的問題。合數模的高次同余式的求解是比較難的知識，將合數模的高次同余式轉化為兩兩互質的模的同余式，問題就迎刃而解。由此引導學生在以后的生活和職場上，遇到難題要懂得變通，做人做事一定要腳踏實地，不斷總結經驗，切勿眼高手低，投機取巧，不然將功虧一簣。

比如，介紹合數分解成質因數的積時，一個很大的正整數a很難較快地找到素數b和c使到a=b×c，這樣的困難卻給密碼通訊提供了思路。在造密碼時可以把a公開，但b、c對外保密，只有“我方”了解。“敵方”只知道a和密文，就無法了解密文的意思。網絡信息安全中的RSA加密就和素數的這個應用息息相關，由此引導學生思考問題不能局限于眼前，現在看似沒什么用的研究將來可能大有用處，現在學的有些理論看似與專業沒有太多的直接聯系，但一些理論的潛在價值在于人類的挖掘，引導用心學習，增強大膽探索真理的科學精神。

(四)結合數學與文學，挖掘思政元素。中國詩詞源遠流長，文化內涵豐富，既寄情思物又可表達數學問題，體現中國文化的博大精深,增強學生的文化自信。比如，在講解孫子定理時介紹我國的數學命題以詩詞形式呈現，比如“物不知數”問題：今有物而不知其數，三三數之剩二；五五數之剩三；七七數之剩二，問物幾何？答：二十又三[8].我國明代數學家程大位在1593年的《算法統宗》一書中用歌訣形式給出了其解法:“三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝.七子團圓正月半,除百零五便得知.”[9]詩詞簡潔明了，解答過程表述清楚。用數學語言表述為：x≡2(mod3),x≡3(mod5),x≡2(mod7)，根據孫子定理知：

比如，介紹不定方程時可以引入我國北魏時期數學家張丘建的“百雞術”：“雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一。百錢買百雞，問雞翁母雛各幾何？”[10]，在《張丘建算經》中給出了此問題的解答。“百雞術”是世界著名的不定方程問題，三世紀初的希臘數學家丟番圖也研究此類方程，不定方程也稱為丟番圖方程。由此讓學生了解中國數學在國際數學的發展中的不朽成績，增強學生的民族自豪感。

三、初等數論課程思政的融入層次

教師在教學中開展課程思政時，不僅涉及教學內容，也涉及到教師本人，教師是思政教育的關鍵。初等數論融入課程思政時需要從教學內容、教師這2個層次考慮。一方面，通過初等數論課程中的數學家的故事、數論概念、定理的證明、數論的解題方法等方面從哲學理論、科學精神、人文精神、人生哲學、社會主義核心價值觀、文化自信、教師職業道德等方面進行課程思政；另一方面，教師本身就是學生思想的引領者和知識的傳播者，教師不僅要通過課堂平臺傳道授業，更要通過教師的言談舉止、儀表儀態、人格魅力無形地影響學生，事事以身作則，處處言傳身教，培養學生的專業意識、職業道德、教學設計、邏輯思維、語言表達、信息處理等基本能力，增強學生對教師職業的了解。比如，教師平時上課不遲到不拖堂，對待學生一視同仁，衣著整潔得體，講解時思路清晰，語言表達清晰等方面都是對學生進行課程思政的良好案例。

四、初等數論課程思政融入方式

初等數論課程不同于思想政治課程，課程本身有一定的教學內容和教學要求，教師在課堂教學中育人時,采用以滲透為主的融入方式，主要以課程知識為主,教學中采用以數學推理、數學問題、數學故事、多學科應用等方式開展適當的思政教育，注重循循善誘,以理服人，做到“潤物細無聲”,避免生搬硬套，流于形式，使學生在學習知識的同時,樹立正確的人生觀和價值觀，達到傳授知識與立德樹人并行。

在初等數論課程中融入課程思政時要注意以下幾點。一是切忌“本末倒置”。初等數論的教學內容較多較難，每堂課的教學信息量很多，理論易學但題目難做，技巧性強，對大多數學生來說是一門具有一定難度的復合課程。在教學過程中，教師如果減少教學內容的講解，而在思想政治教育上花費太多時間，不但不能完成教學任務，而且也不能達到思政教育的目的。二是學高為師身正為范。平時，教師個人應該通過各種形式積極學習政治理論，提高思想政治水平，加強自我的道德修養，主動關心國家大事，真心關愛學生，結合辯證唯物觀點處理教材知識，增強數學文化方面的知識，將數學的嚴謹美、和諧美融入課堂，對學生進行美育，陶冶學生的情操。三是適度地思政教育。初等數論的所有章節不需要都挖掘思政要素，教學時要注重掌握好進行思政教育的時機，切忌生拉硬扯，搞形式主義。

五、結語

以初等數論為例，從融入課程思政的內容、層次、方式三方面探索課程教學中如何挖掘思政教育元素及注意事項，但在實際的教學過程中，不僅內容上要相輔相成，而且還要重視教學設計，恰當的教學過程是實施課程思政的重要環節。