玩轉摩天輪

蔡珍珍

● 創新整合點

①利用新媒體中視頻、圖片、動畫的直觀性，讓課程資源現代化、多元化。通過新技術將生活植入課堂，并在摩天輪中提煉數學模型，生動自然地生成數學概念。

②通過“互動課堂”下發和上傳學習任務，“作品觀摩”環節呈現學生作品，利用“文件傳輸”，將利用PowerPoint制作的“摩天輪”發送到學生的平板中;學生通過選擇旋轉按鈕控制旋轉方向和停止位置，人人都能在課堂上“玩轉摩天輪”。

③利用數字化學習終端，通過人機對話建立新型關系，學生通過平板相互評價作業，豐富場域對話模式，使教學方式信息化、評價方式多元化，實現信息與知識、生活與數學多維融合。在自我推動和相互啟發中，師生共同提高數學思維，養成直觀想象、邏輯推理和數學抽象等學科素養。

● 教材分析

本節內容是人教A版高中數學必修第一冊第五章《三角函數》的第一節《任意角和弧度制》第一課時，本次課屬于概念型的新授課，是對角的推廣。

教材對概念理解利用很多生活實例做了鋪墊，筆者通過“翻轉課堂”讓學生課前自主學習微課，了解概念，再通過課中的小組合作探究進一步強化概念、深化概念。

在本次概念課中，為了幫助學生更好地理解和接受“任意角”，形成新的理論體系，筆者使用信息技術手段通過一條主線——“玩轉摩天輪”，探究發現角的一些特殊規律，引導學生通過數形結合的思想方法來解決問題，在類比、猜想和歸納中滲透邏輯推理、直觀想象等核心素養。

● 學情分析

通過高中階段的學習，學生已經掌握了一些基本的數學思想方法，研究問題的一般方式，即定義、分類、性質、外延、應用等。

學生在小學、初中階段已經學習過角的定義并認識了一些特殊的角，本節課從運動的角度去研究角，要學生重新接受對角的旋轉定義，完善知識結構體系。筆者嘗試從學生的元認知出發，將利用軟件制作的“摩天輪”發送到學生的平板中，學生在摩天輪上探索任意角的形成和歸納相關性質，完成“靜止”到“運動”的過渡。

● 教學目標

知識與技能目標：能從實際出發理解任意角的概念;掌握象限角的概念。

過程與方法目標：觀察生活實例，抓住任意角形成的動態特征，學會用“旋轉”的方式認識任意角;經歷從現實生活中抽取出具體的數學模型，在模型中探索數學概念的生成過程，形成數學抽象的思維，提高數學抽象和數學運用的能力;在解題過程中提高推理能力和應用意識。

情感態度與價值觀目標：經歷從實際生活中抽象數學模型，形成數學概念，感受數學的應用價值，體會數學與生活息息相關，數學來源于生活。

● 教學環境與準備

多媒體教室，寬帶網絡，seewo觸控一體機，計算機安裝“互動課堂”“教學助手”軟件，學生平板安裝“互動課堂”、Office軟件。

● 教學過程

1.在線檢測，診斷學情

通過“微課前置”或課前預習，學生已經初步認識了任意角，教師有針對性地通過“在線檢測”的四道題評估學生的自學情況（如圖1）。

教師將這四道題通過“互動課堂”推送到學生平板中。

學生活動：通過平板將選擇題結果提交到白板上。

教師從互動課堂“在線檢測”中匯總的數據中快速得到反饋。

學生可能出現的問題：對第3題判斷失誤。

其他學生舉手解答疑惑，通過自己預習后的理解解釋任意角是通過旋轉形成，如果角逆時針旋轉了一周以后又回到了第二象限，那么這個角不是鈍角。

設計意圖：通過“互動課堂”的“在線檢測”功能，檢查學生自主學習情況，用數據說話，迅速掌握學情。

2.生活引入，揭示課題

教師利用白板播放摩天輪視頻，通過在摩天輪上看到美麗的武漢東湖風景引出任意角。

活動一：認識任意角

①師：同學們，有沒有去過東湖之眼？大家想不想在課堂上玩摩天輪？

教師將由軟件制作好的“摩天輪”通過文件傳輸的方式發送到學生平板中。

學生活動：在接收到的“摩天輪”中，在選擇順時針或者逆時針按鈕之后，摩天輪指針開始旋轉，再次點擊按鈕，摩天輪停止。由起始和停止位置的兩條射線可以組成任意角，如圖2所示。

教師揭示課題：在摩天輪的旋轉過程中我們發現，旋轉可以形成角，而這種通過旋轉形成角的例子生活中有很多，如跳水運動員空中向后翻轉三周入水、時鐘指針的旋轉等。今天我們一起學習的任意角就是經過旋轉形成的。（教師板書任意角的概念）

師生一起學習要點——任意角的概念：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角;如果一條射線沒有做任何旋轉，就稱它形成了一個零角（射線OA為角的始邊，射線OB為角的終邊，點O為角的頂點）。任意角分為正角、負角和零角。任意角的記法：角或∠或∠AOB（∠BOA）（如圖3）。

教師在學生熟悉游戲以后，隨機挑選多位學生在白板上玩游戲“你說我畫”，一部分學生控制摩天輪按鈕，摩天輪停止后，另一部分學生說出任意角的大小，并畫出任意角。

設計意圖：利用小游戲讓學生區分正角和負角，加深對任意角概念的理解。

②教師追問：任意角可以分為正角、負角和零角，與實數的分類相似，任意角是否可以進行加減運算？同學們能否通過圖形的方式反映出30°與-30°，30°+120°與150°，30°-120°與-90°三組角的關系？

學生活動：小組討論作出圖形，通過平板推送到白板中，學生相互評一評，并總結任意角的運算規律。

教師總結：角可以進行加減運算，從“數”的角度，角的加減運算與實數相似，30°與-30°互為相反角;從“形”的角度，加一個角是將原來的角的終邊進行相應的旋轉。

活動二：認識象限角

①師：老師這里有兩個角，同學們在平板中如何比較它們的大小？（教師將圖形發送到學生平板中，如圖4所示）

學生可能回答：利用量角器，估算角的大小;將角在平板中拖動，使得一邊重合，觀察另外一邊，然后比較大小。

教師追問：如果將任意角210°放在直角坐標系中，同學們會如何放置？

學生可能回答：角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸重合。

教師總結：將任意角放在直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，角的終邊成為研究對象，這樣的角稱為象限角，角的終邊在第幾象限就稱該角是第幾象限角，我們可以把角分為第一象限角、第二象限角、第三象限角和第四象限角。（教師板書“象限角”）

②跟進練習：請同學們在直角坐標系中作出-660°，并判斷它是第幾象限角。

教師展示優秀作品，指出學生可能出現的作圖錯誤，如角的箭頭不標注、作答不完整。

追問：將任意角放在坐標系中，除了這些分類還有其他的角嗎？

學生可能回答：還有可能落在坐標軸上。

設計意圖：通過信息技術手段制作“摩天輪”發送到學生平板中，打破時間和空間的界限，以生為本，學生在自己的平板中生成各不相同的任意角，抽象數學模型，通過游戲幫助學生直觀地發現角是通過“旋轉”形成的，進而強化角的概念。

3.情境探究，提升素養

①教師利用白板出示有關東湖之眼的視頻，根據視頻提問：如果摩天輪可以順時針和逆時針旋轉，我從水平位置A出發（如圖5），如果現在處在摩天輪的最高點，摩天輪轉了多少度？這些角有什么共同的特點？請將這些角用集合的方式表示出來。（使用“互動課堂”的“搶答”功能）

學生活動：利用平板搶答，并相互補充（學生可能出現任意角描述不準確的情況;集合書寫不正確）。

教師評價：從“形”的角度，這些角的終邊重合;從“數”的角度，這些角相差360°的整數倍。而具有這樣性質的角，稱為終邊相同的角。

師生一起歸納要點：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合

S={β|β=α+k×360°，k∈Z}，注意： k∈Z，α是任意角。

②教師提問：如果摩天輪靜止的時候我停在最高點或者最低點，那摩天輪又轉了多少度？這些角又有什么特點？請用集合的方式表示出來。

學生活動：利用平板寫出結果并提交。

教師通過“互動課堂”中的“作業互評”功能，讓學生已經提交的作業在其他平板間隨機展現，學生將平板接收到的作業進行診斷、優化和打分。

教師收集匯總，并進行集體答疑，凸顯常規錯誤，并由學生展示優勢解法。

③教師追問，如果摩天輪停在某一區域，你還能用集合表示出來嗎？如果停在第一象限呢？

學生活動：小組討論，小組代表發言。

學生可能回答：第一象限的角用集合表示為：[360°k，90°+360°k]，k∈Z，（360°k，90°+360°k），k∈Z。

教師釋疑：第一象限不包括坐標軸，應該用開區間表示。

④教師追問：如果終邊落在第四象限角，組成的集合又該如何表示？

學生可能回答：（270°+360°k，360°+360°k），k∈Z，（-90°+360°k，360°k），k∈Z。

師生共同總結：終邊相同的角的表示方式不唯一，不同的表示方式可以表示同一個集合。

設計意圖：在摩天輪上探究問題，可以更好地鍛煉學生直觀想象能力、邏輯推理能力，用基于現實價值的教學，激發學生對未知領域的探索欲。利用作業互評讓學生在診斷和被診斷中優化學習效果，引發思維的碰撞，加強對概念的理解并學會正確地書寫解題過程。在摩天輪上研究任意角，為第二節在單位圓中研究三角函數的概念做鋪墊。

4.概括總結，小組評分

教師引導：這節課你學到了哪些數學知識？體會到哪些數學思想方法？

學生活動：利用平板“彈幕總結”，將課堂心得體會展現在白板上。

師生共同總結：通過此次課堂內容的學習，我們理解了任意角的概念，并在摩天輪上體會到任意角是通過旋轉形成;將角放在直角坐標系中，又可以將角進行幾何劃分;利用摩天輪的情境，我們發現一些具有特殊位置關系的角“數”的關系，如終邊相同的角、終邊在一條直線上的角等。此次課讓我們體會到數學來源于生活，學會用數學語言表達生活。

教師利用“互動課堂”積分功能統計此次課堂上小組得分情況，給表現優異的小組成員相應的贊許和嘉獎，并鼓勵其他小組再接再厲。

設計意圖：小組合作學習，在整個課堂中學生紛紛搶答為小組增分，給課堂注入新活力。

● 教學反思

通過一條主線——“摩天輪”的位置建立數學模型，讓每個學生都能夠在課堂上玩轉摩天輪，突出重點，以生為本;在探索過程中發現問題、解決問題，形成終邊相同的角的集合，分別從“數”和“形”的角度突破了這節課的難點，以及相關性質的探究，延拓知識結構，在層層遞進中滲透數學運算、數學建模、數學抽象和邏輯推理等學科素養。

1.以生活為教材，在情境中提煉知識

通過捕捉生活中“摩天輪”的例子，一條主線貫穿全文，用設計者的口吻讓學生在情境中學習并逐層引導學生在摩天輪中探究問題，使教學內容場景化，讓學生在實際生活中提煉數學模型，收獲新知識。

2.以學生為主體，在翻轉中實現高效

本次課是概念課，通過“翻轉課堂”讓學生在課前自主學習微課，掌握關于概念的基礎知識;在課中通過情境探究，逐層深入，強化概念，創造高效課堂。

3.以游戲為載體，在玩轉中提升素養

圍繞學生的生活重建課程，用PowerPoint制作“摩天輪”使課堂上人人都能在平板上“玩轉摩天輪”，促進教學方式的重心發生變化——由教轉向學，用游戲的方式喚醒學生的好奇心，激發內驅力，實現基于現實價值的學習，化被動學習為主動學習。

4.以信息為媒介，在診斷中優化學習

充分利用“互動課堂”各項功能，使學生成為評價和診斷的主體，讓診斷內容和過程貼近日常生活，充分發揮學生的主體作用，在“泛老師”“泛學生”中提高課堂效率，讓學生在診斷過程中，加深課堂參與感和責任感。

筆者認為，學生只有在日常生活現象和學習情境中發現和提煉數學知識，不斷產生新的學科知識結構，才能為核心素養構建堅實的護翼，提供基礎性引擎。