實證主義法學的數學解讀

何柏生

實證主義法學是近現代法學中的一個重要的流派，對法學、法律的發展影響巨大。實證主義法學是在實證主義哲學基礎上產生的，沒有實證主義哲學就沒有實證主義法學。實證主義哲學的出現與近代自然科學的興起有著密切的關系，而近代科學的發展離不開數學的引領。自從伽利略在科學研究中創立只描述不解釋的新范式后，科學就開始突飛猛進地發展。數學先是影響了自然科學，然后影響了社會科學。迄今，科學的數學化仍在向前推進。在人類歷史上，許多哲學流派的興起都與數學的影響有關，許多哲學家的哲學觀點也是在數學的啟迪下產生的；沒有數學，這個世界會荒涼許多。畢達哥拉斯的哲學離不開數學，柏拉圖的哲學離不開數學，笛卡爾的哲學離不開數學，實證主義哲學也離不開數學，建立在實證主義哲學基礎上的實證主義法學當然也離不開數學。對實證主義法學，國內已有多人研究過，出版的專著、發表的論文非常多。但是，從數學角度研究實證主義法學的論著似乎還沒有。本文旨在使大家看到實證主義法學是怎樣把數學這個“硬核”包裹在里面，在法學科學化進程中起到引領作用的。

在對實證主義法學進行數學分析時必須對實證主義法學概念作一界定。沈宗靈教授認為，從狹義上講，實證主義法學又稱分析實證主義法學，指各種分析法學派。從廣義上講，實證主義法學包括各種形式的社會學法學派和歷史法學派，因此，社會學法學又被稱為社會實證主義法學。從哲學上講，所有資產階級法學派別可歸為兩大類：一類是廣義的實證主義法學，一類是自然法學或其他哲理法學派。(1)參見《中國大百科全書·法學》，中國大百科全書出版社2006年版，第457頁。李桂林、徐愛國教授認為，實證主義法學與法律實證主義同義，包括分析法學、歷史法學和社會學法學；法律實證主義特指分析實證主義法學，指奧斯丁、凱爾森、哈特、拉茲和麥考密克等人的法學理論。(2)參見李桂林、徐愛國：《分析實證主義法學》，武漢大學出版社2000年版，第1-2頁。本文用數學解讀的主要是分析實證主義法學，一些地方也涉及社會學法學。

一、 近代科學的數學化有著深刻的社會文化背景

科學是一種理性思考方式。在人類歷史上，當理性思考方式占據主導地位時，往往是科學的大發展時期。但在很長時期內，理性在社會中并不占據統治地位。在伽利略生活的年代，歐洲各地人們了解自然和控制自然仍然主要是占星術士、煉金術士和神秘主義哲學家的事情。今天許多科學學科，最初不過是哲學中充滿玄想的分支，如天文學、物理學、化學。即便在祛魅成功的今天，迷信依然統治不少人的思想。所以，在長期的歷史階段，盡管科學也得到了相當的發展，但從總體上來說，科學的發展還是很緩慢的。不過，正如喬治·薩頓所說：“科學的歷史雖然只是人類歷史的一小部分，但卻是本質的部分，是唯一能夠解釋人類社會進步的那一部分。”(3)吳國盛：《科學的歷程》，湖南科學技術出版社2018年版，第36頁。

美國學者愛德華·O.威爾遜說過：“科學是有組織的、系統的行業，它搜集有關世界的知識，并將這些知識精簡成可以檢驗的定律和原理。科學區別于偽科學的顯著特征在于，首先，科學知識具有可重復性：同一現象可以重復研究，最好是通過獨立的研究來進行。通過新穎的分析和實驗，這一解釋得到確證或被拋棄。其次，經濟性：科學家試圖將信息抽象為簡單而優美的優雅形式，同時用最少的努力獲取最多的信息。再次，可測量性：如果某種東西可以用人們普遍接受的標準予以恰當的測量，那么對它所作的概括就會很清晰……”(4)[英]布賴恩·里德雷：《科學是魔法嗎》，李斌、張卜天譯，廣西師范大學出版社2007年版，第35-36頁。科學的可測量性這一特征使科學能夠與數學緊密結合起來，因為數學是量化的工具。霍奇森更是明確地指出：“科學的寬泛的定義可以說，科學是主要的定量知識的集合體，這些知識是人通過能動的努力，以系統的和可交流的方式理解他的周圍事物和他自己而建立起來的。”(5)李醒民：《科學論：科學的三維世界》(上卷)，中國人民大學出版社2010年版，第12頁。定量知識需要數學術語表達。從這個角度來說，數學在科學中居于核心地位，因為沒有數學，科學中的量化表達就無法做到，科學的可測量性就無法實現。正如孫小禮所說：“數學正是一門研究‘量’的科學，它不斷地在總結和積累量的規律性，因而必然成為人們認識世界的有力工具。”(6)鄧東皋等編：《數學與文化》，北京大學出版社1990年版，第200頁。

數學是探索自然的一個重要學科。數學是科學的一個重要領域，而科學探討必然會引起數學問題，所以，科學的數學化是必然會發生的事情，不過是遲早的問題。當然，科學的數學化雖然從很早的時候就開始了，比如畢達哥拉斯提出“萬物皆數”的理論就意味著科學的數學化，但那時無論是數學還是科學都不夠發達，科學的數學化程度很低，遠遠不能與近代社會科學的數學化程度相比。近代科學的數學化，具有深刻的社會文化背景。

首先，古希臘學者為科學的數學化奠定了基礎。古希臘許多哲學家都是科學家，甚至是數學家，如泰勒斯、阿那克西曼德、畢達哥拉斯、阿那克薩哥拉、德謨克利特、芝諾、柏拉圖、亞里士多德等人。泰勒斯是古希臘第一位哲學家、數學家，命題證明的思想就是泰勒斯引入的，這是數學史上劃時代的創造。畢達哥拉斯是繼泰勒斯之后又一位偉大的哲學家、數學家，提出了“萬物皆數”的哲學命題，揭開了科學數學化的序幕。傳說，畢達哥拉斯通過一鐵匠鋪，發現不同大小的錘子敲打鐵砧發出的聲音不同，經過試驗研究，畢達哥拉斯發現了音程之間數的關系，認為弦振動與它所產生音律的音調之間存在關系，例如，弦如果長度減半，就會奏出一個高八度音；如果縮短到三分之二，就會奏出一個第四音。所以，決定不同諧音的是某種數量關系，同物質構成沒有關系。畢達哥拉斯發現的和聲學定律是用數學術語表達自然規律的第一個范例，由此，畢達哥拉斯推而廣之，認為萬物之間存在差異的原因取決于數量關系，而與物質組成成分無關。當時，科學還不發達，提出萬物皆數理論在很大程度上帶有臆測成分，但認定事物遵循的規律是數學的，這無疑是正確的。此乃畢達哥拉斯對數學的一個重大貢獻，極大地影響了科學的發展，因為近現代科學發展正是沿著這一趨勢而來。正是由于畢達哥拉斯思想的偉大，法國學者若-弗·馬泰伊才說：“應該承認，畢達哥拉斯的思想統領著西方思想的一半……”(7)[法]若-弗·馬泰伊：《畢達哥拉斯和畢達哥拉斯學派》，管震湖譯，商務印書館1997年版，引言第1頁。黑格爾甚至“把畢達哥拉斯視為‘全球第一位大師’，承認自己對他那種生氣勃勃的團體佩服的五體投地”。(8)前引⑦，馬泰伊書，第23頁。

在科學數學化發展歷程中，柏拉圖也作出了巨大貢獻。柏拉圖不像一般的數學家，既沒有發現某個數學定理，也沒有解決某個數學難題。若以此作為標準，柏拉圖算不得數學家，但就其對數學的貢獻來說，柏拉圖是數學界中的偉人，因為他解決了數學中至關重要的一些問題。在柏拉圖時代，數學已經有不少成就了，但數學仍然是經驗結果與零碎片段的集合體，缺少體系化的理論。柏拉圖是哲學家，他給數學注入了哲學的品性，而這種品性恰恰是數學在發展過程中亟待需要的。蘇格拉底反對古希臘智者們的相對主義，開始為事物尋求定義。蘇格拉底在哲學上的一大貢獻就是實現了把哲學從研究自然到研究自我的轉向，由注重對自然本身的研究轉向到注重對社會倫理和人的研究，使哲學從關注天上轉向關注人間。蘇格拉底討論的一大主題是如何為倫理道德下定義的問題。柏拉圖從蘇格拉底那里學得給事物下定義的方法，用來研究數學，“堅持對數學的基礎概念進行最仔細的研究，導致數學的定義與公理的更加嚴格、更加明確的公式化。無論柏拉圖是否實際完成了多少這一工作，無可置疑的是，他在這一事物上的影響力都是幾何學重建的一個決定性因素，這一重建不久就在歐幾里得的《原本》中收獲了如此精確全面的公式化”。(9)[美]歐文·埃爾加·米勒：《柏拉圖哲學中的數學》，浙江大學出版社2017年版，第17-18頁。柏拉圖發現數學知識具有永恒不變的、普遍必然的、客觀的特性，因此將數學引入哲學，認為數學是從對具體事物的感覺經驗上升到對理念知識之間的橋梁和重要手段。到了后期，柏拉圖甚至用幾何學來構造整個宇宙世界，認為宇宙最初混沌雜亂，只有水、火、氣、土的痕跡，神用形式和數將它們區分開來。水、火、氣、土四元素的生成是由于神賦予它們最好的幾何圖形，即用兩種直角三角形，一種是正方形的一半，另一種是等邊三角形的一半，由這兩種三角形的不同組合產生四面體、六面體(正立方體)、八面體、十二面體和二十面體等五種正多面體。四面體對應火元素，正立方體對應土元素，八面體對應氣元素，二十面體對應水元素，十二面體是神用來裝飾宇宙的。四元素可以相互轉化，是由于三角形現狀不同以及它們組成的多面體的數目不同。(10)參見汪子嵩等：《希臘哲學史》(第二卷)，人民出版社1993年版，第1061-1063頁。柏拉圖用幾何學構造了整個宇宙世界，因此，在柏拉圖的心目中，上帝是一位徹頭徹尾的幾何學家、數學家。所有技藝和科學都分有數學，數學要素成為一個事物作為知識的價值標準。正因為如此，波普爾才認為柏拉圖是哥白尼、伽利略、開普勒、牛頓為代表的近代科學的奠基人，柏拉圖的宇宙生成的幾何結構理論是現代宇宙論的基礎。科學家海森堡甚至認為現代物理學的傾向與其說是接近德謨克利特的，不如說是更接近《蒂邁歐篇》的。(11)參見前引⑩，汪子嵩等書，第1016頁。當然，還有一個重要原因，柏拉圖在中世紀一直都是基督教推崇的哲學家，他對基督教影響最大的著作不是《理想國》而是《蒂邁歐篇》，他提出的世界幾何結構理論就主要體現在《蒂邁歐篇》之中。柏拉圖這種宇宙生成理論被基督教接受，直到12世紀《蒂邁歐篇》的思想仍然是基督教世界的主流思想。

其次，宗教為近代科學數學化設置了背景。近代科學的數學化始于西方。在科學的數學化過程中，宗教起了不可低估的作用。熟悉西方歷史的人都知道，古希臘人對數學的發展作出過重要貢獻。古羅馬人雖然對法律的貢獻巨大，但普遍對深奧的數學不感興趣，也沒出現過有影響的數學家。中世紀基督教一統天下，教會對數學相當鄙視，因為數學是理性的化身，而宗教恰恰重視的是信仰。但是，基督教對數學的發展也曾起過積極的促進作用，數學能在近代飛速發展與基督教的影響不可分割。科學史告訴我們，近代許多數學家，如哥白尼、韋達、開普勒、笛卡兒、帕斯卡、牛頓、萊布尼茨等都是虔誠的基督教徒。像牛頓這樣的大數學家研究神學比研究科學花費的時間還要多，試圖用“科學現象”證明上帝的存在，一生除發表《自然科學的數學原理》《光學》等科學著作，還留下五十多萬字煉金術方面的手稿和一百多萬字神學方面的手稿，甚至把研究神學“視為自己生活的主軸”。(12)參見[英]羅布·艾利夫：《牛頓新傳》，萬兆元譯，譯林出版社2015年版，序言、第137頁。

早期的基督教認為上帝的存在是一個自明的事實，不需進行邏輯證明，教徒所關心的僅僅是如何通過心靈的修養找到上帝。被稱為西方思想史上第一位經院哲學家的安瑟爾謨首先用理性證明了上帝的存在。而中世紀最有名的經院哲學家無疑要數托馬斯·阿奎那，他的哲學以亞里士多德為根基，通過嚴密的邏輯推演，把古典哲學和基督教神學融合起來，把信仰和理性結合起來。在經院哲學中，最有名的邏輯推演是證明上帝的存在，阿奎那提出了上帝存在的五種證明法，認為“世界上的一切事物都是和諧的，有秩序的，仿佛是有目的的安排”。(13)張志偉、歐陽謙主編：《西方哲學智慧》，中國人民大學出版社2000版，第52頁。懷特海說過：“我們如果沒有一種本能的信念，相信事物之中存在著一定的秩序，尤其是相信自然界中存在著秩序，那么，現代科學就不可能存在。”(14)[英]A.N.懷特海：《科學與近代世界》，何欽譯，商務印書館1959年版，第4頁。經院哲學家相信自然界存在秩序的思想，對于現代科學的產生和發展具有重要意義。其實，經院哲學家不但信奉理性、秩序，還信奉科學知識。阿爾伯特就曾說：“基督教思想家必須掌握各類哲學和科學知識。”(15)[美]撒穆爾·伊諾克·斯通普夫、詹姆斯·菲澤：《西方哲學史》，鄧曉芒等譯，北京聯合出版公司2019年版，第171頁。經院哲學發展到后期，不但不排斥科學，在一定程度上已經在和科學擁抱了。中世紀基督教世界學校的課程里是有數學這門課程的，教會認為數學能夠訓練說理，能夠修日歷和預報節日。由于占星術屬于數學的分支，在實際生活中能幫王公大人進行決策謀劃、軍事征戰及個人事務等，所以，學習數學或占星術的人也不少。另外，中世紀的人們相信天體能夠影響人的健康，于是，醫生把人的出生、結婚、生病和死亡時出現的星座記錄下來，預測醫療是否有效。因此，醫生也成了深諳數學之人。(16)參見[美]莫里斯·克萊因：《古今數學思想》(第1冊)，張理京等譯，上海科學技術出版社2002年版，第232-233頁。另外，十字軍東征使歐洲人從阿拉伯人和拜占庭的希臘人那里得到了大量的希臘、阿拉伯數學著作，開始了歐洲數學的第一次復興和大翻譯運動，這些文獻成為西方文藝復興時期數學發展的基礎。由于商業的發展，出現了復雜的運算，歐洲也出現了杰出的數學家，如意大利數學家斐波那契、英國數學家布雷德沃丁、法國數學家奧雷姆。(17)尤其是英國數學家布雷德沃丁和法國數學家奧雷姆，他們就是神學家。布雷德沃丁曾獲牛津大學神學博士學位，并在該校教授過哲學、神學和數學，病逝前擔任基督教會中心坎特伯雷的大主教。奧雷姆就學于巴黎大學神學專業，取得神學碩士學位，擔任過牧師，后升任總教堂教長、主教。參見杜瑞芝主編；《數學史辭典》，山東教育出版社2000版，第107-108頁。總之，中世紀基督教世界的數學成就比古羅馬要強好多，而這些數學成就的取得在很大程度上來自宗教的影響，這為伽利略、開普勒、牛頓他們開啟的科學數學化創造了條件。

再次，近代科學是力量化的、操作化的和功利化的科學。西方科學是在古希臘科學基礎之上發展而來的，但古希臘的科學具有非功利化目的，而近代西方的科學具有強烈的功利化目的。古希臘科學家喜歡仰望星空，探求自然的本源、規律問題，而對功利性科學研究不感興趣。最有名的是數學家歐幾里得，有學生問歐幾里得研究幾何學有什么用處，歐幾里得馬上對身邊的奴隸說：“給他三個錢幣，因為他想在學習中獲取實利。”(18)[古希臘]歐幾里得：《幾何原本》，燕曉東譯，人民日報出版社2005年版，編者導語第4頁。這說明歐幾里得是反對帶著功利的目的學習數學的。在古希臘，帶著非功利性目的學習數學、學習科學是社會普遍現象。古希臘人求知的目的不是出于利益的驅動，而是滿足好奇心或興趣。正因如此，畢達哥拉斯發現“畢達哥拉斯定理”后才會宰殺百頭牛設宴慶祝，阿基米德發現浮力定律后才會發狂似的“裸奔”并高喊“尤里卡”。“正是超脫于功利，使得古希臘人在學術上能夠超越塵世。古希臘數學完全是抽象的，這和一些其他古文明形成了鮮明的對照。也許正因如此，古希臘人對于改造世界并不像對認識世界一樣熱衷。他們對于世界和環境采取的是一種順其自然與和諧的態度，對于未知世界的探索更多的是理解自己和周圍的世界，以及讓自己和周圍的世界和睦相處。他們并不熱衷于把在探索未知世界中獲得的知識用于日常的功利目的。”(19)[加]林炎平：《我們頭上的燦爛星空》，浙江大學出版社2010年版，第120-121頁。古希臘人探求到的這些“無用知識”，竟然為西方科學打下了堅實的基礎，一兩千年后使整個人類受益匪淺。可以說，沒有古希臘的科學成就就沒有近現代的科學。

但是，近代科學與希臘古典科學有很大區別。古希臘的科學是理性的科學、自由的科學和純粹的科學，是非功利的科學；而近代科學是力量化的、操作化的和功利化的科學。西方的科學為什么會發生這種轉化呢？在這個轉化過程中，弗朗西斯·培根和笛卡爾起了重要作用。

“知識就是力量”是弗朗西斯·培根在思想史上最有名的一句話，“它意味著追求力量、追求效率成為我們這個時代最重要的形而上學預設”，從此，“科學不再是一種沉思、一種靜觀，科學必定要訴諸行動。所以近代科學，不只是理論科學、理性科學，都最終要訴諸技術，訴諸力量。也就是說，近代科學和近代技術有著內在的不可分性”。(20)吳國盛：《技術哲學講演錄》，中國人民大學出版社2009年版，第220-221頁。培根提倡的科學重在動手做，注重觀察、注重實驗，把世界作為人的意志對象進行征服、利用。培根提倡的這種科學不是仰望星空、苦思冥想的科學，而是實驗室的、需要人們操作的科學。由于這種實驗室的科學在科學發展中的作用巨大，所以，近現代的社會自然就成為一個大實驗室，整個社會生活、社會結構都按照實驗室的要求進行了改造，人們都希望從社會這個大實驗室里獲得“科學成果”，實現社會的不斷進步。所以，“現代社會科學越來越多地像自然科學那樣去做研究，去搞設計，去定量分析，這一切都源于現代社會本身就是一個大實驗室”。(21)前引，吳國盛書，第225頁。

笛卡爾在思想史上最有名的一句話無疑要數“我思故我在”。“我思”二字看起來簡單，實際上意味著笛卡爾對世界作了重新安排。世界的本來面目，都要按照人的目光、人的理解去認識。“我思”表明這個思想不再是“神”的思想，而是人的思想。當然，這個人不是某個具體的人，而是大寫的人，人的群體。神被剔除了，人就居于中心了，于是，近代科學就其本質來說是人類中心主義科學。一句“我思故我在”包含著“以人為本”思想，但笛卡爾的哲學還往前走了一大步，給出了“以人為本”思想的實施方案，即把世界數學化。數學是理性的化身，世界數學化了，神就不神了。古希臘人通過第一次數學危機，把幾何、代數分開，認為代數是有瑕疵的，幾何才完滿，所以，古希臘的數學重點發展的是幾何學，而代數學幾乎停滯不前。笛卡爾作為數學家的重要貢獻在于把幾何學和代數學從兩個相互獨立的學科聯系起來，成為一門新的學科，即解析幾何。笛卡爾把物質歸結為空間，把空間幾何化，幾何化的空間也就是數學化的世界。凡是能數學化的東西才有資格存在，不能數學化的東西是頭腦中的幻想，屬于必須拋棄的東西。(22)參見前引，吳國盛書，第202-203頁。

二、 從定性到定量是法學研究走向科學化的關鍵

數學化是近現代科學發展的一大趨勢，也是近現代科學取得重大成就的關鍵。法學要想進一步科學化，就必須不斷地數學化。定性研究雖然是法學研究的重要一環，但法學問題的不斷定量化才是法學不斷走向科學化的關鍵。

(一) 法學的定性研究與定量研究

近現代科學是注重數量的科學。“為了構成理論，特別是為了通過理論將事物的功能聯系以數學的方式得到表達，應該避免單純的關于質量的陳述，而應盡量使用數量陳述。”(23)[德]漢斯·波塞爾：《科學：什么是科學》，李文潮譯，上海三聯書店2002年版，第61頁。由于“數量陳述”在自然科學中取得了巨大成功，所以，社會科學也在積極引進“數量陳述”方法，在一些學科(如經濟學)中已取得了成功。在別的社會科學領域內，雖然“數量陳述”的應用范圍不能與自然科學相比，但已經取得了不少的成就。法學在“數量陳述”上也不甘落后，已經在許多方面采用了定量研究。所謂定量研究，是指對事物進行量的分析和研究，將問題和現象用數量來表示，從而獲得意義的研究方法和過程。

與定量研究相對的是定性研究。國內學術界長期以來認為定性研究的概念應從哲學層面、思辨層面予以界定，所以，《中國大百科全書·社會學》給定性研究下的定義是：“根據社會現象或事物所具有的屬性和在運動中的矛盾變化，從事物的內在規定性來研究事物的一種方法或角度。它以普遍確認的公理、一套演繹邏輯和大量的歷史事實為分析基礎，從事物的矛盾性出發，描述、闡釋所研究的事物。”(24)《中國大百科全書·社會學》，中國大百科全書出版社1992年版，第33頁。然而，從20世紀90年代末開始，國內學界對定性研究的概念有了新的界定，除了“定性研究”的概念外，還新出現了“質化研究”“質性研究”和“質的研究”的概念。有學者認為定性研究也叫質化研究、質性研究和質的研究，有學者認為定性研究與質化研究、質性研究和質的研究是不同的概念。(25)例如，社會學家風笑天認為定性研究與質化研究、質性研究和質的研究是相同的；也有學者認為定性研究與質化研究、質性研究和質的研究不同，學者陳向明就持這一觀點。參見風笑天：《定性研究概念與類型的探討》，載《社會科學輯刊》2017年第3期；陳向明：《質的研究方法與社會科學研究》，教育科學出版社2000年版，第22-24頁。認為定性研究與質化研究、質性研究和質的研究是不同概念的學者，仍然是在哲學層面、思辨層面界定定性研究。如陳向明就認為，定性研究“主要基于的是形而上學的、思辨的傳統，而‘質的研究’主要遵循的是現象學的、闡釋學的傳統”。(26)前引，陳向明書，第23頁。因此，這些學者認為質性研究的歷史很短，大致從1900年起，發展歷程只有一百多年。(27)參見范明林、吳軍編著：《質性研究》，格致出版社、上海人民出版社2009年版，第8-10頁；前引，陳向明書，第31-45頁。而認為定性研究等同于質化研究、質性研究和質的研究的學者，已經把質化研究、質性研究和質的研究的內容融入定性研究之中去了。其實，簡言之，定性研究注重從質的方面研究事物，而定量研究注重從量的方面研究事物，本文主要從這方面理解定性研究和定量研究。

定性研究和定量研究兩種研究方法都有非常悠久的歷史，但由于科學發展的局限，在很長的歷史時期，人們從事研究主要采用的是定性研究方法，而定量研究方法雖然也采用，但規模有限，尤其在自然科學研究中更是如此。亞里士多德的《物理學》一書中看不見一個數學公式、圖表或數字，“他的主要目標是理解事物的本質，而不是去探討適用于運動物體的時間—空間(或位置—時間)坐標等這些非本質因素之間的關系”。(28)[美]戴維·林德伯格：《西方科學的起源》，王珺等譯，中國對外翻譯出版公司2001年版，第64頁。當然，亞里士多德對定量研究也有涉獵，但內容非常少，而且有不少錯誤，如認為兩個不同重量的物體同時下落時，它們穿過給定距離所需的時間與它們的重量成反比。不過，在同時代，古希臘的科學是走在各國前面的，所以，古希臘人利用定量方法研究問題要比其他國家多，如畢達哥拉斯用數學研究諧音理論，留基伯、德謨克利特提出原子論把事物質的區別還原為量的差異，阿基米德用數學公式把杠桿原理、浮力定律表示出來，埃拉托色尼利用幾何學測算地球周長，托勒密提出了一個計算天體位置的數學方案(宇宙結構學說)。(29)克羅狄斯·托勒密是古希臘著名的數學家、天文學家、地理學家和占星家。托勒密總結希臘天文學之大成的巨著《天文學大成》被阿拉伯人視為“偉大之至”，書名也被改為《至大論》。托勒密的天文學體系具有極強的理論擴展能力，能夠容納望遠鏡發現之前不斷出現的新天文觀測發現，在細節上與觀測到的每個行星運動軌跡相符，無法用觀測來推倒它。該體系能在西方天文學界統治上千年，除了教會的支持，更主要的是其理論具有相當的預測力。他雖然是地心說的集大成者，但希臘的天文學理論在他這里達到了登峰造極的程度，他的天文學理論在定量研究方面非常成功，在相當長時期都很準確。參見[美]M.克萊因：《西方文化中的數學》，張祖貴譯，臺北九章出版社1995年版，第85頁。可以說，“在幾個特殊的科學領域里，希臘人成功地將它們數學化，并得出了高度量化的結論。這些領域是天文學、靜力學、地理學、光學，它們不僅在古代世界達到了該領域最高水平，而且為近代科學的誕生起了示范作用”。(30)吳國盛：《希臘思維方式與科學精神的起源》，載《民主與科學》2016年第6期。這是古希臘人用定量方法研究自然科學、研究哲學的實例，研究法學的實例也有，如亞里士多德的《雅典政制》就是對當時希臘150多個城邦進行研究的基礎上寫出的，有定量研究的意味。亞里士多德對各國憲法進行了搜集，并作了比較研究。總體而言，在近代之前，由于科學的數學化還沒深入人心，數學的發展程度有限，所以，在法學研究中人們主要采用的是定性研究方法，采用定量研究方法的雖然有，但畢竟不多。

(二) 化質為量與近現代科學的興起

弗蘭西斯·培根盡管認為科學研究應該使用以觀察和實驗為基礎的歸納法，推動了近現代科學的發展，但被公認為吹響近現代科學大發展號角的是伽利略。伽利略是歐洲近代自然科學的創始人，被稱為“現代科學之父”。伽利略也是最早對動力學進行定量研究的人。美國學者M.克萊因指出：“近代科學成功的秘密，就在于在科學活動中選擇了一個新的目標，這是由伽利略提出的，并為他的后繼者們繼續追求的新的目標，就是尋求對科學現象進行獨立于任何物理解釋的定量的描述。如果把近代科學中這一新概念與以前的科學活動進行比較，那么我們將會更加懂得科學中這一新概念的革命意義。”(31)前引，克萊因書，第190頁。

在伽利略之前，希臘科學家尋求對現象發生的原因進行解釋，如亞里士多德認為地上萬物都有它的天然位置，且都有回到天然位置的趨向。土和水是重性的，天然位置在地球中心，往下運動就是回歸其天然位置。氣和火是輕性的，天然位置在天空，往天空運動就是回歸其天然位置。中世紀歐洲學者探求的也是事情發生的原因，只不過增加了對現象的目的解釋。如對下雨的解釋就非常具有宗教意味：下雨的目的是澆灌莊稼，莊稼成熟后的目的是給人以食物，而人活著的目的是服務上帝。這樣的解釋自然沒有一點“科技”含量，讓人越聽越糊涂。伽利略意識到必須對這種解釋方法進行改革，要用對現象進行定量描述的方法予以取代。所謂對現象進行數學描述，就是用數學公式對所發生的事件進行描述，而不是對事件發生的因果關系進行解釋。以往人們重視的是事件發生的因果關系，對事件發生過程采用的是定性研究，而伽利略毅然把這種關注重點改變了，讓人們不再費力地進行物理解釋，而是運用數學工具，用精確的數學語言對所發生的事件進行描述。于是，以往人們關注的本質、起源、形式、因果性、目的之類的概念因為不能量化而被時間、空間、速度、加速度、重量、力、慣性、能量等能量化的概念代替了。起初，人們覺得這種數學描述解釋不了什么，沒有物理解釋具有“詩情畫意”。但經過時間的檢驗，人們深深地認識到，“近代科學在實用方面和理論方面最激動人心的成就，主要是通過熟練地運用日積月累的定量的、描述的知識才獲得的，而不是通過關于現象原因的形而上學的、神學的甚至是機械論的解釋。近代科學的歷史，就是逐漸摒棄上帝和惡魔，從而將關于光、聲、力、化學過程以及其他概念的模糊思想轉變為數量關系的歷史”。(32)前引，克萊因書，第192頁。可以說，牛頓的理論體系在物理解釋方面是不過關的，因為牛頓對“引力”這一概念的物理本質解釋不清，無法取得科學家的認同。但令人驚嘆的是，所有自然現象的規律都可以從牛頓的運動定律和萬有引力定律中推導出來，以前認為天空中不遵紀守法的彗星，現在通過牛頓的科學理論竟然算出了運動軌跡和運動周期；以前從不知道的天王星、冥王星也通過牛頓的科學理論計算出了方位、運動軌跡，進而從茫茫太空中尋找出來。這些鐵的事實不得不讓那些糾纏“引力”概念的人無話可說，轉而成為牛頓科學理論的擁護者。不糾纏難以為人們理解的引力概念，而給出引力如何作用的定量公式，牛頓取得了成功，定量方法取得了決定性的勝利。自然或宇宙的數學設計理念從古希臘就有了，但到牛頓這里才有了確鑿的證據，從而由臆測變為科學的理論。

可以說，到了18世紀中葉，伽利略、開普勒、牛頓等科學家研究自然界所采用的定量方法已經在科學界確立了其無上地位，因為這種方法在探索自然界秘密方面太厲害了，遠比傳統的定性研究方法優越。數學的定量方法從改造天文學、物理學開始，然后改造了化學、生物學、地理學等自然科學諸學科，最后社會科學諸學科也被數學改造了。當然，由于各個學科各有其特點，數學對其改造的程度是不一樣的，有些學科改造程度較深，有些學科改造程度較淺。隨著數學不斷地發展，各個學科會不斷接受數學改造，數學化的步伐會不斷加快。所以，伽利略、開普勒、牛頓之后，法學的數學化也加快了步伐。

三、 對實證主義法學的數學分析

從前面的論述中我們知道，數學的定量研究方法是近現代科學取得飛躍發展的決定性因素。好的研究問題的方法各個學科是可以相互借鑒的，定量方法就是如此。雖然在伽利略之前，這種方法已經在研究中采用，但這種研究方法的威力人們尚未領略過，所以采用的人并不普遍。經過伽利略、牛頓這些科學家的示范，這種方法很快取得了巨大成功，影響擴及所有自然科學和社會科學的各個學科，包括法學。“自那場產生了現代科學的偉大革命以來，人們一直希望創建一門能與自然科學并駕齊驅的關于社會的科學。科學革命的兩位早期主角伽利略和哈維使科學發生了根本轉變，他們分別創建了關于運動的物理學和關于血液循環的生理學，這些學科均成為新社會科學的范式。培根和笛卡爾的科學準則可以作為這項新事業的指南。一個主要挑戰是讓新的社會科學與數學相適應……”(33)[美]I.伯納德·科恩：《自然科學與社會科學的互動》，張卜天譯，商務印書館2016年版，第127頁。

社會科學與數學怎么相適應呢？范式自然是采用數學的定量方法。從伽利略、開普勒、笛卡爾、牛頓以后，定量方法先在自然科學學科內后在社會科學學科內相繼開始采用。當然，在社會科學學科內，經濟學和社會學是采用定量方法比較多的學科。社會學起源于19世紀三四十年代，其鼻祖是孔德。孔德也是實證主義哲學的首倡者，認為自然科學的實證精神支配一切，強調社會科學與自然科學具有一致性，堅持應用自然科學的模式研究人類社會，尋求人類社會的普遍規律。涂爾干是社會學的奠基人之一，提出運用統計學方法尋找社會規律，而且確實找到了有關自殺現象的社會規律。實證主義方法對社會科學影響非常大，對法學的影響同樣如此。在實證主義哲學的影響下，實證主義法學形成了。

美國學者M.克萊因指出：“一個時代的心態和社會思想、社會活動源自占主導地位的世界觀。現在占主導地位的是我們的物理世界觀。一個主要的信念叫作機械論，有時也稱作唯物主義；它不但自身重要，而且還對其他的重要信條起支撐作用……既然我們自身是物理自然的組成部分，一切人性都應該根據物質、運動和數學來解釋。”(34)[美]M.克萊因：《數學與知識的探求》，劉志勇譯，復旦大學出版社2005年版，第252-253頁。實證主義法學就是數學在科學中占據統治地位的情況下形成的，所以，它具有鮮明的數學特征；對之要進行深入研究，就必須從數學角度對其進行解讀。實證主義孜孜探尋的是自然規律和社會規律，而“自然規律就是數學定律”。(35)參見前引，克萊因書，第236頁。“科學現在給大自然所描繪的圖像(看來只有這些圖像能夠與觀察到的事實一致)是數學化的圖像……大自然似乎精通純數學的規則……不管怎么說這一點幾乎是無可爭辯的：大自然和我們的有意識的數學心智根據同樣的規律來運作。”(36)前引，克萊因書，第242頁。所謂社會規律不過是自然規律的模板，探尋社會規律自然離不開數學這個重要工具。

實證主義法學是在實證主義哲學的基礎上形成的，而實證主義哲學離不開自然科學的實證精神，所以，實證主義法學的基本原理或者精神內核是與數學相通的，離不開數學的影響。我們從實證主義法學的觀念中就可得到佐證：“如果試圖將法理學變成一種科學，也即自然科學意義上的科學，我們只有觀察在現實中人們通常是如何使用‘法’一詞的，以及觀察該詞指稱的對象是怎樣存在的。這是經久不衰的實證理念。”(37)[英]約翰·奧斯丁：《法理學的范圍》，劉星譯，中國法制出版社2002年版，第9頁。實證主義法學的宏大理想就是期望把法律變為“自然科學意義上的科學”，而在通向“自然科學意義上的科學”過程中數學思維、數學精神、數學方法是須臾離不開的。通過對實證主義法學的主要觀點、主要方法進行研究，不難發現，數學對實證主義法學的影響是非常深刻的。

(一) 實證主義法學是一種描述性的法律理論

前已述及，伽利略主張在對自然現象進行研究時只描述不解釋，牛頓正是本著這樣的精神，把難纏的“引力”避過，取得了科學上的巨大成功。因為描述方法采用的是一種數學上的可描述性，是一種新的研究路徑；解釋方法采用的是亞里士多德以往使用的物理上的可解釋性，是一種舊有的研究路徑。用描述方法研究自然界時，人們注重的是廣延、量、位置、運動、數、圖形等這些用數學可以測度的性質；用解釋方法研究自然界時，人們注重的是本質、起源、形式、因果性、目的之類無法用數學測度的性質。數學可以測度的性質具有客觀性、真實性、普遍性，無法用數學可以測度的性質則具有主觀性，不是物質的真實特性，不具有普遍性。實證主義法學的開創者對近代科學非常了解，所以，在創立實證主義法學時，也借鑒伽利略只描述不解釋的做法，希冀在法學研究中取得自然科學那樣的成就。“所謂描述性的法律理論，指的是法律實證主義試圖通過對實在法的描述性分析來揭示法律體系的特征，并試圖通過描述性理論來建構法的體系，從而使法律變成一門‘科學’。”(38)[美]布萊恩·比克斯等：《法律實證主義：思想與文本》，陳銳編譯，清華大學出版社2008年版，第4頁。另外，劉星教授對哈特的描述性的法律概念與德沃金的解釋性的法律概念做過較為詳盡的論述。參見劉星：《描述性的法律概念和解釋性的法律概念——哈特和德沃金的法律概念理論之爭》，載《中外法學》1992年第4期。“法律是什么”是一種描述，“法律應當是什么”則是一種價值判斷、一種解釋。實證主義法學的幾位大佬，如奧斯丁、凱爾森、哈特等人都曾論述自己的理論是“描述性”的，這說明描述性的法律理論是實證主義法學的一個突出特征，是實證主義法學向數學學習的重要成果。實證主義法學注重事實判斷，認定事實判斷陳述的內容是對陳述對象本身的了解，因而都是描述性的判斷。凱爾森說過：“約自20世紀初以來，人們提出了對另一種法律理論的要求。人們要求一種描述人實際上在做什么而不是他們應當做什么，正如物理學描述自然現象一樣。他們聲稱，通過對實際社會生活的觀察，人們可以而且也應該獲得這種規則體系。它描述體現法律現象的人的實際行為。這些規則與自然科學以描述其對象的自然法則是同一類的。這就要求一種法律社會學(sociology of law)，它根據‘實在的規則’，而不是應當的規則或‘紙面上的規則’來描述法律。”(39)[奧]凱爾森：《法與國家的一般理論》，沈宗靈譯，中國大百科全書出版社1996年版，第183頁。因此，“一個學科必然就其對象實際上是什么來加以描述，而不是從某種價值觀念或標準出發來判斷對象應該如何或不應該如何”。(40)呂世倫主編：《西方法律思想史論》，商務印書館2006年版，第260頁。

(二) 實證主義法學將研究對象限定于實在法領域

實證主義哲學的出現與近代科學的發展密切相關，因此，研究數學、物理學的牛頓也被人們稱為實證主義者，甚至是“第一位偉大的實證主義者”；“由于他的工作，偉大的思辨體系的時代結束了，一個新的時代破曉而出，它充滿了人對自然進行理性征服的嚴格性和希望”。(41)[美]愛德文·阿瑟·伯特：《近代物理科學的形而上學基礎》，徐向東譯，北京大學出版社2003年版，第191-192頁。從所作貢獻來看，牛頓確實夠得上“偉大的實證主義者”。雖然實證主義哲學是孔德創立的，但沒有伽利略、牛頓這些耕耘者生產的“米”，孔德這樣的“巧婦”是難以作出可口飯菜的。所以，從某種意義上來說，就其對實證主義哲學產生所作貢獻來說，牛頓的功勞一點也不亞于孔德。牛頓的科學理論把上帝趕得無處躲藏，因為“人之外的世界好像只是一部巨大的機器：上帝好像在存在中被清掃出去了，除了那些無邊無界的數學存在之外，他似乎無處安身”。(42)前引，伯特書，第217頁。在中世紀，上帝就是價值來源。如今，茫茫宇宙連上帝的存身之地都沒有了，價值自然就沒有托身之地了。更重要的是，自然界都數學化了，沒有質的差別，只有量的不同。化質為量就是把質的差異抹平，把多樣性消除。而價值是一種“質”，數學化的世界意味著要把價值這種“質”化掉。所以，不是孔德要搞“實證”，而是作為熟悉科學、熟悉數學的孔德要按科學、數學的要求把“實證”精神傳揚天下，把帶有主觀色彩的價值湮滅掉。當然，實證主義法學摒除法的價值也與休謨的事實與價值區分理論有關，而休謨這一理論其實也與數學的影響有關。在休謨之前，伽利略等科學家為了避免不受假象的欺騙，就把物質分為第一性質和第二性質。物質的第一性質是物質的真實特性，由數學規律處理，具有客觀性、絕對性，帶有這些性質的有量、數、運動、位置、圖形等等；物質的第二性質不是物質的真實特性，不能由數學規律處理，具有主觀性、相對性，帶有這些性質的有冷、熱、氣味、顏色、味道等等。休謨曾想“運用物理學的方法建立一門人性科學”，(43)前引，斯通普夫、菲澤書，第277頁。所以，他對自然科學的發展、對物質的這種分類是非常熟悉的。他的事實與價值區分理論同物質的第一性質和第二性質的劃分理論是一脈相承的。(44)有關物質第一性質與第二性質的劃分理論和休謨的事實與價值區分理論以及它們之間的相互關系，參見何柏生：《法律文化的數學解釋》，商務印書館2015年版，第162-164頁。

由于實證主義法學以數學、自然科學為榜樣，追求客觀性就成為題中應有之義。邊沁指出，“法律實際如何”與“法律應當如何”是不同的，實證主義法學要拒斥形而上學。奧斯丁把法律和道德區分開，認為法理學關注的是實在法，主張“惡法亦法”。凱爾森認為自然法大多是一些空洞的公式，主張將自然法從法的概念中驅逐出去。凱爾森重視法律的形式和結構，輕視其道德內容和社會內容，認為規范的邏輯分析不受“正義”等道德色彩濃厚的觀念束縛，法學應脫離意識形態的考量，避免對法律體系作價值判斷。實證主義法學是在反對自然法學過程中產生的，堅決反對價值判斷，因為價值判斷所表達的是陳述者自己對事物的主觀態度，多是規范性判斷，這與實證主義法學秉持的科學精神、數學精神格格不入。當然，實證主義法學從創立到現今是不斷發展變化的，對價值判斷所持立場也是如此。有學者把法律實證主義分為包容的法律實證主義和排他的法律實證主義，包容的法律實證主義容許“將道德原則的考慮作為法律的一部分”。(45)前引，比克斯等書，第24頁。哈特在對待法律與道德分離問題上就持軟化立場，前人認為是“必然分離”，他認為是“可以分離”。哈特或許是由于受過第二次世界大戰血雨腥風的洗禮，對法西斯的暴行記憶猶新，所以，對價值判斷就不忍痛下殺手，在繼續堅持事實判斷的同時，對價值判斷仍然戀戀不舍。哈特以后的分析實證主義法學已經深深意識到單純依靠分析實證主義方法是不可能讓法律科學成為一門發達的科學，所以，必須借鑒其他法學流派的研究方法，使研究方法更加多元化。

(三) 實證主義法學大多重視邏輯分析方法

邏輯分析方法是分析哲學采用的最主要的哲學方法。此種方法利用現代數理邏輯這一工具，對語言進行分析，以解決傳統的哲學問題。分析哲學的基本思想見于德國哲學家、數學家、邏輯學家G.弗雷格的思想中。G.弗雷格是現代數理邏輯的主要創始人，也是分析哲學的奠基者。弗雷格將數學建立在邏輯基礎之上，使之從邏輯上徹底脫離感性經驗和心理活動。弗雷格建立了世界上第一個嚴格的關于邏輯規律的公理化系統。除了弗雷格外，分析哲學的創始人還有羅素、摩爾、維特根斯坦等人。數理邏輯的發展為“邏輯分析方法的運用和人工語言建立提供了可能，即運用數理邏輯的符號演算，運用類、關系、順序等概念，對命題進行準確的、經驗意義的表述，從而建立一種人工的描述語言系統”。(46)前引，呂世倫主編書，第252頁。不難看出，邏輯分析方法是與數學緊密相連的，采用這種分析方法的實證主義法學自然也與數學緊密相連。凱爾森的法學理論的哲學基礎是新康德主義哲學，赫爾曼·柯亨是新康德主義馬爾堡學派創始人，對于凱爾森的法學理論影響深遠。赫爾曼·柯亨把數作為純粹思維的產物，而純粹思維利用數學和邏輯創造對象世界。凱爾森繼承柯亨的衣缽，嘗試用邏輯公理化的方法建立法律規范的邏輯。哈特認為司法決定過程從本質上講是理性的事業，主要依賴的是演繹邏輯，直覺所起作用不大。演繹邏輯采用的是演繹法，而演繹法是數學的基本方法，最初也是在研究數學中創立的。公理化的方法是在演繹法基礎上形成的一種數學方法，對于人類理性思維的發展起了非常重要的推動作用。

(四) 實證主義法學重視對法律現象進行量化分析

實證主義法學從19世紀20年代至30年代創立后，(47)約翰·奧斯丁的《法理學的范圍》一書是1832年出版的，在此之前，他在倫敦大學已經開過法理學系列講座，該書正是講座所用講義。當然，奧斯丁之前的邊沁、霍布斯也有分析法學的思想，但后人獲得分析法學思想主要是從《法理學的范圍》一書中得到的，因此，稱奧斯丁為分析法學或實證主義法學的鼻祖是講得通的，說實證主義法學是19世紀20年代至30年代創立的也不算錯。迄今已快兩百年，流派眾多，觀點紛呈。除了重視對法律現象進行邏輯分析外，對法律現象進行定量分析也是其研究的重要特點。

前文已經說過，亞里士多德在著作中曾運用定量分析方法研究希臘城邦中的法律問題，但亞里士多德以降的一千多年，定量分析方法在法學研究中并不常用，研究人員常用的方法是定性分析方法。直到伽利略、開普勒、笛卡爾、牛頓等科學家實現了從定性分析方法到定量分析方法的轉向后，對法學研究采用定量分析方法才逐漸多起來。化質為量是從17世紀開始出現的，到了18世紀，已經在許多自然科學學科中運用；到了19世紀，社會科學學科接受這一觀念的越來越多。延續至今，化質為量作為一種文化發展趨勢方興未艾。尤其是大數據時代，“一切皆可量化”成為一個響亮的口號，在許多領域內已變為現實。可以說，實證主義法學是法學中推動化質為量的重要力量。

實證主義法學的關鍵詞是“實證”。“實證”，強調感覺經驗，重視對現象的研究，認為通過對現象的歸納就可以得到科學理論或科學定律。要進行法學實證研究，就需要進行調查、觀察，甚至實驗，將得到的資料進行統計分析，從中發現問題，尋求其中的規律性。那么，法律現象如何量化呢？一個可行的途徑是建立法律現象的指標體系。法律指標是一種特殊的社會指標，是反映法律現象數量化特征的指標。所以，采用法律指標的方法研究法律現象是符合實證主義法學的理論要求的。法律指標是一種量的數據，這種量的數據在世界各國被廣泛采用。在現今的中國，對法律現象進行量化分析已經很普遍，每年都有許多學者在做不同部門、不同行業的法律指標編制，這對促進我國的法治進程具有重要意義。如張保生帶領團隊在全國問卷調查數據統計基礎上，經過分析，寫出了《中國司法文明指數報告》。從2014年開始，每年出版一卷。目前，“中國司法文明指數報告”已經成為評估中國法治發展水平的一個重要量化工具，是體現人民群眾對司法工作滿意度的一個重要指示器。(48)《中國司法文明指數報告》由張保生等著，中國政法大學出版社2014年以來連續出版。

在歷史上，社會上公開的法律數據是不多的，“數目字管理”也是在很晚的時期才在西方出現。(49)黃仁宇先生認為英國在1688年“光榮革命”之前尚未實行“數目字管理”。參見黃仁宇：《放寬歷史的視界》，生活·讀書·新知三聯書店2001年版，第73頁。近代科學重視定量分析，實證主義哲學也是在近代科學的基礎上發展起來的，所以，重視定量分析是實證主義哲學的重要特征。建立在實證主義哲學之上的實證主義法學秉承實證主義哲學的特征，同樣重視定量分析，重視對法律現象進行量化分析。

實證主義法學的代表人物由于偏向法理學的研究，雖然其法學理論包含著量化的色彩，深受數學精神的影響，但在研究過程中數學色彩最濃的要數美國學者布萊克建構的理論。布萊克是實證主義法學的一員大將，在《法律的運作行為》一書中，他像研究自然現象那樣研究法律現象。誠如季衛東教授所言：“他通過把定性問題轉化為定量問題的研究戰略，排除了文化、人性及其他一切規范性前提。其結果，可以說他的命題群構成了一個自明的常識體系或者公理體系。”(50)[美]布萊克：《法律的運作行為》，唐越、蘇力譯，中國政法大學出版社1994年版，代譯序第4頁。我們知道，數學分為常量數學和變量數學，常量數學描寫的是靜態的事物，變量數學描寫的是動態的事物。變量數學的標志是解析幾何的誕生和微積分的建立。解析幾何和微積分都離不開函數，函數思想的建立是數學從常量數學轉入變量數學的關鍵，用聯系的、變化的觀點建立各變量之間的關系，使數學能有效地揭示事物運動變化的規律，反映事物之間的相互聯系。布萊克也把法律像數學那樣進行研究，聲稱：“法律是一個變量。它可以增減，在一種條件下比在另一種條件下要多。法律的量可以用多種方式測定……法律上的任何提起、訴諸或適用都意味著法律的量的增加。甚至某人主動伏法，諸如投案、招供、認罪也都增加法律的量。”(51)前引，布萊克書，第3頁。布萊克把社會生活分為五個方面，即分層、形態、文化、組織性和社會控制。這幾方面都有多種表現形式，都隨著時間和空間而增多和減少。對法進行如此的量化處理，其目的在于告訴人們：法律并非一盤要么全輸要么全贏的零和博弈，法的結果是可變通的；法更具有操作性，因為法的主體是明確的，責任自然也是明確的。布萊克這本書被認為是對實證主義法學的總結，創造性地將數學引入法社會學研究之中，在實證主義法學論著中是與數學結合得最為緊密的一本書。

在實證主義法學影響下，許多人在法學研究中都曾采用量化分析方法，取得了豐碩的成果。意大利實證主義犯罪學學派創始人切薩雷·龍勃羅梭運用人類學的研究方法，對犯罪人的身體特征進行了大量的實證分析，研究犯罪人類型、犯罪原因和特別預防等問題，“導致了將近代科學的實證方法、歸納方法應用于犯罪問題的偉大運動，他比任何其他人都更加有力地促進了新的犯罪學科學的發展”，“如果沒有實證學派，不但現在的犯罪學研究以及當代一些用作代替死刑和傳統式監禁的辦法，如緩刑、緩期執行、罰金、假釋，都將是不可想象的”。(52)[意]切薩雷·龍勃羅梭：《犯罪人論》，黃風譯，中國法制出版社2000年版，代序第27、28頁。在《犯罪人論》一書中，龍勃羅梭先后對101個意大利犯罪人頭骨進行了解剖研究，對1279名意大利罪犯的人體進行了測量、對相貌進行了分析，得出了天生犯罪人的著名論斷。他對天生犯罪人的身體特征、感覺和功能特征、心理、道德感等特征進行研究，確定了天生犯罪人具有的特征。盡管由于各種原因，龍勃羅梭的研究成果存在不少缺陷，但他將實證研究方法引入犯罪學中，引起了一場方法論革命，對近代刑事法律的改革和刑事司法制定的確立都產生了不可估量的影響。

在19世紀，實證主義犯罪學著名學者還有加羅法洛和菲利。加羅法洛和菲利都是龍勃羅梭的學生，都屬實證主義犯罪學派，不同的是菲利后期轉入刑事社會學派，與德國刑法學家李斯特一起成為刑事社會學派的代表人物。加羅法洛有關刑法的定義是一種形式主義的定義。加羅法洛繼承龍勃羅梭的衣缽，對犯罪人進行人類學研究，認為犯罪人具有異常的身體和生理的特征。加羅法洛還對犯罪人進行了觀相學方面的研究，認為存在著將殺人犯與盜竊犯區分開來，將殺人犯、盜竊犯與暴力犯或沖動犯區別開來的相貌。加羅法洛通過研究，提出了自然犯罪理論，這是其對犯罪理論的最大貢獻。菲利早在法國留學期間就曾著有《法蘭西1826—1879年的犯罪之研究》一書。該書對犯罪進行了統計學方面的研究，在當時的法國頗有影響。菲利出版有《犯罪社會學》《刑事實證學派》等書，被公認為是刑事實證學派的領袖。菲利在對犯罪人的研究中，采用實證調查方法，大量占有數據，得出的結論具有相當的科學性。

在現代犯罪學發展史上，法國學者的貢獻也不小。法國司法部從1826年開始公布的《刑事司法統計》，為許多犯罪學學者進行量化研究提供了方便，凱特勒與格雷在此基礎上首創了犯罪統計學。法國學者A.M.蓋里依據法國司法部在1825—1830年公布的統計資料，對犯罪現象進行了統計學分析，認為25歲到30歲是犯罪的高峰時段。法國的塔爾德擔任過司法部統計局局長，他的犯罪學研究的許多理論都有數據支撐。總之，“西方現代犯罪學研究能取得今天的輝煌成就，首先應歸功于其研究方法的科學實證性。一種理論往往經過十幾年甚至幾十年的跟蹤調查，通過分析歸納數以萬計的統計數據而得出”。(53)王冠：《西方犯罪學理論百年嬗變脈絡梳理》，載《中州學刊》2006年第1期。

綜上所述，實證主義法學從創立到如今，已經快200年的歷史了。雖然遇到過不少詰難，但總的來說，發展是順利的，而且幾經輝煌，影響頗大。實證主義法學之所以影響巨大，基本理論屹立不倒，一個重要的原因在于它的理論基石是建立在科學、數學基礎之上的。數學對法律文化的影響已有數千年，但就其影響的規模和深度來說，還要數最近幾百年。數學是理性的化身，無論是自然科學還是社會科學，在其發展過程中，數學都起到了引領作用。實證主義法學在理論的構成、變化和發展過程中，數學都深深地參與其中。所以，要理解實證主義法學，就必須從數學角度進行解讀。在我國，從數學角度研究法律文化的學者越來越多，研究的深度不斷增加，廣度不斷拓寬。尤其是近幾年，由于互聯網、大數據、人工智能、區塊鏈等的飛速發展，數學與法律的聯系日益緊密。作為一個重要的法學流派，實證主義法學在數字時代的發展前景會更加廣闊。在實證主義法學形成之日，數學起過重要作用；在實證主義法學發展之時，數學同樣會起重要作用。