空間目標天基雙星立體天文定位

趙巨波，徐婷婷，楊秀彬，永 強

（1.中國人民解放軍92941部隊，遼寧 葫蘆島 125001；2.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；3.中國科學院大學，北京 100039）

1 引言

天基探測系統由于其不受地域限制和大氣影響，可對空間目標如導彈、運載火箭等實現高精度、高時效探測［1］。光學無源探測隱蔽性強、能耗低以及抗干擾性強，相比雷達等有源探測約束更少，作用距離更遠［2］。天基光學探測結合二者優點，體現出了無可比擬的優越性，是實現空間態勢感知的重要技術手段［3］。

天基光學探測對空間目標定位的本質為獲取目標的角度信息，屬于被動測角定位方法。為獲取目標三維位置信息，則至少需要兩個及以上觀測光學載荷參與定位。研究人員通過將光學載荷放置在光電觀測平臺如框架式經緯儀上獲取角度信息，從而計算目標的位置信息。如吳能偉［4］提出了一種基于方向余弦的交會定位方法，通過構建不同測站的方向余弦，利用加權算法實時估計目標的空間三維坐標。王衛兵等人［5］提出了一種基于雙星雙目跟蹤方式的空間目標軌跡測量技術，通過將兩個相機放置在不同衛星平臺的二維轉臺上，建立了一種“雙星雙目跟蹤系統”對“遠距目標進行測量”的模型。但二維轉臺的控制自由度較多并且有范圍限制，在活動部件獲取角度信息時容易引入更多誤差源，控制難度較大。

天文定位是一種高精度的光學定位技術。天基空間目標天文定位是通過衛星搭載的光學載荷對空間目標在恒星跟蹤模式下拍攝系列含有目標的星圖，通過光學傳感器像平面目標檢測，獲得目標相對觀測衛星的觀測矢量。再結合位置坐標轉換關系，獲取觀測目標的位置信息［6］。天基光學探測系統的特殊性在于被探測目標處于深空背景，探測距離較遠，目標信噪比較低，這對像平面上目標的檢測提取造成困難。在這方面，研究人員針對星空背景下暗弱運動目標的檢測和定位進行了大量的理論分析和仿真［7-12］。同時，在定位精度分析方面也有謝愷［13］、盛衛東［14］等人建立了目標視線測量誤差（LOS，Line of sight）模型，仿真分析了天基光學傳感器網絡定位的多誤差源；楊虹等人［2］利用小波分析理論提高雙星光學觀測系統的定位精度。

在上述研究的基礎上，本文基于兩個分別搭載于兩顆相距一定距離的衛星上的光學載荷，通過天文定位方式，提出了一種天基雙星天文定位算法。本文首先根據空間目標輻射特性和光學系統點擴散函數（PSF，point spread function），建立了空間目標在光學傳感器上的成像模型；然后選擇閾值質心法在像平面上提取空間目標像平面質心位置；通過物像共軛坐標投影變換關系，建立了地球慣性坐標系下的目標觀測矢量模型；基于最小二乘準則，解算出空間目標三維位置信息。最后開展了地面實驗獲取含空間目標的星圖，并開展了定位算法驗證和誤差仿真分析，誤差分析結果驗證了該定位算法的有效性。

2 空間目標像平面位置提取

2.1 目標在光學傳感器上成像建模與分析

在天基探測中，光學傳感器接收的目標光能量主要來源于反射的太陽光。由光學系統收集的目標光能量?［15-16］可表示為：

其中：SD為光學系統入瞳面積，τ為光學系統透過率，Epupil為目標在光學系統入瞳處輻照度［17-18］。

天基光學載荷除了拍攝目標還有恒星，為了便于描述，天文學上常用星等表示目標的亮度，星等計算公式如下：

其中，E0=2.068×10?8W·m?2為零等星的輻照度值，一般選太陽為參考星。星等的數值越大，目標的照度越小，反射的光能量越低，探測難度越大。為了衡量光學載荷這種探測能力，引入信噪比這一指標，通過等效電子法將信噪比定義如下［19］：

其中：Nb、Nd和Nr分別為深空背景噪聲、探測器暗電流和探測器讀出噪聲產生的光電子數，Ns為探測器每個像元響應的目標輻射產生的光電子數，計算如下：

其中：t0為曝光時間，η為探測器量子效率，ε為像元填充因子，h為普朗克常量，c為真空中的光速，λˉ為探測波段λ的均值，n為目標成像在傳感器上所占的像元個數?；谏鲜龇治隹梢钥闯?，當被測目標距離大小、光學系統以及探測器等參數保持不變時，為了提高目標探測信噪比，曝光時間應盡可能長。

在一般情況下，對于恒星在光學傳感器上成像，水平和垂直方向光能量擴散程度相同，經過光學系統后成像為擴散的彌散斑。但空間目標由于運動速度較快，在長曝光時間下呈現為滑過視場的短條紋軌跡，且中心位置光能量隨機擴散在相鄰像素上，由此引入角度相關的各向異性高斯擴散函數［20］，表示如下：

其中：f(x，y)為圖像灰度值，(x0，y0)為目標中心坐標，θ表示為條狀目標像的旋轉角度，A為目標中心處光電子總數，σx、σy分別為彌散斑水平和垂直擴散參數。當σx=σy=0.671 時，有95%的光能量集中在3×3 個像元上。恒星和空間目標的理想像和光能量分布如圖1 所示。

圖1 恒星和空間目標的光學系統成像模型Fig.1 Imaging models of a star compared with a space target

2.2 目標像平面上位置檢測與提取

根據目標的成像特性可知，運動空間目標在長曝光時間下呈條狀分布，而靜態恒星為點狀光斑分布。因此在形態上空間目標與恒星可以通過矩形度，即最小外接矩形的長寬比進行區分。下面對目標在像平面上位置檢測與提取流程進行詳細介紹。

首先對含目標的星圖進行中值濾波［21］，目的是濾掉星圖背景的離散噪聲。接著為了盡可能保留目標的灰度分布信息，選擇閾值分割的方法區分目標與背景，生成二值圖像如下：

其中：b(x，y)為閾值分割后的二值化圖像，T表示分割閾值，表示如下：

其中：μimage和σimage分別表示含目標的星圖像均值和方差。對于系數ζ的選擇，Sun 等人［22］將ζ的取值范圍設置為0.8-2，可以保證目標的檢測率，本文取ζ=2。

得到二值化圖像b(x，y)后，為了區分目標和恒星的形態，檢測提取目標，需要對二值圖像進行連通域分割處理，將目標和其他恒星分離［23］。因此定義矩形度R，即目標/恒星像的最小外接矩形長寬比，以此為區分目標和恒星形態的標準［24］，如圖2 所示。得到僅含有目標的二值化圖像為：

圖2 恒星和空間目標的形態區分Fig.2 Morphological distinction between the star and the space target

其中：Rt為矩形度區分閾值，為經過矩形度檢測后僅含有目標區域的二值圖像為經連通域分割處理后的二值圖像。

目標在像平面上的位置確定精度直接影響后續目標在三維空間的位置解算精度［25］。質心定位法由于其具有計算簡單、定位精度可達亞像元級的優勢，在工程上得到了廣泛的應用。本文使用閾值質心定位方法得到目標的質心位置為(xf，yf)［26］。

3 天基雙星天文定位模型

天基空間目標的天文定位實際上就是已知目標在二維平面上的位置信息和目標到傳感器的全鏈路投影變換關系求解目標在三維空間信息的投影問題［27］。本文基于計算機視覺中的雙目視覺定位方法，提出了一種天基雙星天文定位方法。由雙目視覺定位原理可知，兩測站之間的距離即基線長度和目標距離是影響定位精度的主要原因［28］。由于本文的被測目標是天基空間目標，屬于遠距離測量，若將兩個光學載荷放置于同一顆觀測衛星上，則會導致基線較短，嚴重影響定位精度。通過將兩個光學載荷分別搭載于相距一定距離的觀測衛星上，雙星的觀測矢量交叉，基于最小二乘法準則，從而解算空間目標位置。

3.1 空間目標觀測矢量模型

因為在求解目標位置過程中，需要建立并明確多種坐標系以及它們之間的轉換關系，因此本文規定基礎坐標系為地球慣性坐標系，對應的求解過程均在慣性系下進行。雙星定位原理如圖3所示，定義rsi(i=1，2)為觀測衛星在地球慣性坐標系下的位置矢量，(xfi，yfi)為目標在像平面上的像素坐標。以單顆觀測衛星為例，利用這些信息可以建立被測目標相對觀測衛星坐標系的觀測矢量為li(i=1，2)，在慣性系下表示為ui(i=1，2)。

圖3 天基雙星天文定位示意圖Fig.3 Schematic of two space-based satellites position?ing on a space target

因此求解目標在地球慣性坐標系下位置的首要問題為觀測衛星對空間目標成像全過程分析。既將2D 圖像上目標像素位置變換至3D 空間中位置坐標的變換過程，如圖4 所示。需要求解觀測矢量li從相機坐標系轉換至地球慣性坐標系下的ui的變換矩陣Mf?I。

圖4 空間目標物像坐標關系示意圖Fig.4 Transmission relationship between the target and the projection point

3.1.1 觀測衛星位置矢量計算

在求解觀測矢量時，需要獲取觀測衛星的位置信息，本文首先根據軌道運動學規律計算了觀測衛星的位置矢量?？紤]到低軌衛星繞地球運動時可近似看作只受地球的引力作用，若將地球等效為一個質點，則地球和衛星構成了一個簡單的二體系統，根據牛頓第二定律，可知觀測衛星的運動方程為：

其中，μ為地球引力常數。從式（10）可以看出，需要6 個積分常數才能求解該三元二階微分方程，通常稱這6個積分常數為軌道六根數。觀測衛星的位置矢量rsi(xsi，ysi，zsi)可以由軌道六根數表示為：

其中：軌道六根數分別表示為：a為軌道半長軸，i為軌道傾角，e為偏心率，ω為近地點幅角，Ω 為升交點赤經，M為平近點角；M0i為初始平近點角，E為偏近點角，f為真近點角，用來描述衛星在當前位置偏離近地點的角度［29］；P，Q分別表示沿軌道半長軸和半短軸方向單位矢量在慣性坐標系下的矩陣表示，式中下角標i為衛星的編號。通過式（11）可以求解在任意t時刻的觀測衛星在地球慣性坐標系下的位置。

3.1.2 空間坐標轉換關系建模

結合圖4 和圖5，可知單顆衛星成像過程要經過4 次坐標變換，投影轉換過程如圖5 所示。

圖5 目標觀測矢量轉換示意圖Fig.5 Schematic of the observation vector transmission process

慣性系下的觀測矢量可表示如下：

其中：上下角標i=1，2 均代表衛星編號為從光學相機坐標系Oc XcYcZc向衛星本體坐標系Ob XbYbZb轉換的變換矩陣，Mb?oi為從衛星本體坐標系向衛星軌道坐標系Oo XoYoZo轉換的變換矩陣，MO?Ii為從衛星軌道坐標系向地球慣性坐標系OI XIYIZI轉換的變換矩陣。式（12）的各項具體表達式和轉換過程如下：

(1)當目標經過透鏡成像，根據光線追跡原理，物像呈共軛關系。目標的像素坐標在相機坐標系下表示為，由此可以得到相機坐標下的目標觀測矢量li為：

(2)當相機相對衛星本體坐標系安裝方位角和高低角分別為αi,βi時，通過坐標旋轉可以得到相機坐標系到衛星坐標系的變換矩陣為：

(3)當觀測衛星相對衛星軌道坐標系的三軸姿態角分別為俯仰θi、橫滾φi、偏航ψi時，根據衛星姿態旋轉，可以得到衛星本體坐標系到衛星軌道坐標系的變換矩陣Mb?oi為：

（4）當觀測衛星的軌道傾角、升交點赤經、近地點幅角以及真近點角分別為ii、Ωi、ωi、fi時，根據坐標旋轉調整，可以得到衛星軌道坐標系到地球慣性坐標系的變換矩陣MO?Ii為：

其中：Rx(?)、Ry(?)、Rz(?)分別為當前坐標系繞x軸、y軸、z軸的基本旋轉矩陣，B為坐標軸調整矩

陣，分別表示如下：

綜合式（11），結合式（13）到式（17），根據上述分析，可以得到慣性系下的目標觀測矢量ui，即式（12）也可以表示如下：

3.2 雙星天文定位模型

在地球慣性坐標系下獲得目標相對觀測衛星的觀測矢量ui后，僅能計算出目標的方位角和高低角等角度信息。在僅有角度信息的定位體制下，本文基于測向交叉定位原理和最小二乘法準則，結合雙星位置關系提出了一種雙星天文定位方法，如圖6 所示。通過兩顆相距一定距離的觀測衛星觀測矢量交叉，解算出空間目標的三維位置信息。根據觀測矢量ui和衛星的位置矢量rsi(i=1，2)，可以建立目標位置矢量模型如下：

圖6 雙矢量交會定位示意圖Fig.6 Schematic of the two vectors intersection positioning

其中：M(xt，yt，zt)表示為空間目標在地球慣性坐標系下的位置矢量，‖rsi?M‖表示觀測衛星與空間目標的距離。當觀測衛星個數為2 個時，將式（19）各項標量展開整理為如下矩陣形式：

對上式的結果簡寫為A?M=b，可以看出，對于式（20），有方程的個數大于未知數的個數，因此該式為超定方程，無解析解。因此對M的求解可以轉化為最優解的估計問題，本文采用最小二乘法準則［30］對目標在慣性系下的位置進行求解如下：

結合式（18）和式（21），即可完成空間目標從光學傳感器獲取的二維圖像信息(xfi，yfi)到三維空間信息(xt，yt，zt)的投影轉換過程。通過本文的分析可以看出，影響定位精度的因素主要有兩大部分：一是目標的觀測矢量誤差，這部分誤差來源于目標圖像位置確定誤差和在矩陣變換的過程中，衛星的姿態角誤差以及相機安裝角度誤差等；二是觀測衛星的位置誤差，包括衛星的軌道傾角、升交點赤經等誤差。

3.3 定位誤差分析

本文通過蒙特卡洛方法對定位誤差的分布進行分析，蒙特卡洛方法基于大數定律，通過在真實數據上添加隨機誤差，通過大量的計算，使統計結果更加真實可信。本文主要考慮了測量衛星的位置誤差、姿態誤差、軌道誤差、相機安裝誤差以及圖像處理誤差即像平面的位置提取誤差這五項誤差源。本文中的兩顆觀測衛星設置相同，因此誤差符合相同的分布。首先將隨機誤差加到真實值上，然后通過雙星天文定位法求解出目標的位置，將該值與真實目標位置進行比較，從而得到該定位算法的誤差。通過蒙特卡洛法得到的定位誤差模型如下：

其中：M(i)是目標的真實位置，M'(i)是對各項輸入添加隨機誤差后的定位結果。在得到n組定位誤差后，以x軸方向的誤差分布為例做統計分析如下：

其中：μ為誤差分布的均值；σ為誤差分布的標準差，受輸入誤差的分布特性影響變化。

4 地面實驗與誤差仿真分析

本文針對天基空間目標的雙星天文定位方法，主要從生成含目標的仿真星圖、目標在像平面上的檢測提取以及雙星天文定位算法的實現三部分開展圖像仿真實驗，并對定位算法進行了精度分析，驗證了本文算法的可行性。

4.1 地面實驗與仿真分析

4.1.1 含空間目標的星圖像獲取

根據2.1 節的目標成像特性分析，設置如表1 所示的目標探測指標以及光學載荷參數。根據PSF 原理，在對理想星點進行散焦處理時，根據光學系統能量分布，使星點光斑在探測器上所占的像元數為3×3。由式（3）和式（4）可計算得到目標的探測信噪比約為16.61。在空間目標探測中，當信噪比閾值為4 時，可滿足目標檢測需求，因此表1 設置的仿真參數是符合實際應用需求的。當在可見光波段探測15 cm@200 km 的目標時，計算目標等效星等為7.525 7。經計算，本文仿真使用的光學載荷可探測的極限星等為8.07。

表1 光學載荷參數及目標探測指標設置Tab.1 Parameters setting of payload and target detection indicators

依托現有條件，以單星觀測為基礎，開展了地面實驗用于獲取天基觀測衛星在軌拍攝的含目標的星圖像。地面實驗裝置如圖7 所示，主要包括可見光相機、衛星成像仿真平臺以及圖像源靶標三部分。其中背景恒星為通過Stellarium 軟件，將光學系統可探測的極限星等設置為8 獲取。我們首先將可見光相機拍攝的背景恒星圖像截取4 096×4 096 像元大小部分，然后在背景恒星圖像中添加等效星等為7.525 7 亮度的條狀目標，經過去噪處理，生成如圖8 所示含目標的星圖像。

圖7 天基探測地面實驗裝置Fig.7 Ground experiment equipment of space-based de?tection

圖8 含空間目標的實驗星圖Fig.8 Space target in the experimental star image

4.1.2 目標在像平面上的檢測提取

在光學探測器曝光時間內，從圖8（b）可以看到空間目標和恒星在形態的明顯區別，因此本文利用該形態特征設計矩形度R來進行空間目標的檢測。首先進行圖像預處理濾掉大部分背景噪聲，然后進行連通域處理，分離空間目標和恒星，如圖9 所示。預處理后的星圖僅包含星點和目標，因此針對所有連通域進行矩形度分析，最大R值對應的連通域即為條狀空間目標的成像，此時R=2.391 5，檢測結果如圖10 所示。最后閾值質心對目標像進行定位結果如表2 所示，可以看到對于載荷1，在x，y方向上偏差均為0.05個像元；對于載荷2，在x方向上的偏差為0.05 個像元，在y方向上的偏差為0.03 個像元，滿足后續定位精度需求。

表2 目標像點在星圖上的像素坐標位置Tab.2 Coordinates of the target on image plane

圖9 空間目標和恒星的矩形度區分Fig.9 Rectangularity distinction between space target and star

圖10 空間目標條狀像檢測與提取Fig.10 Detection and extraction for space target

4.1.3 天基空間目標的雙星天文定位

首先進行仿真觀測任務的設置，觀測衛星和被測目標均設置為太陽同步軌道，在觀測時刻15 Apr 2021 04：00：00.000（UTCG），觀測衛星和被測目標的軌道根數及相關姿態設置如表3 所示，表中仿真數據均由STK 軟件生成，位置關系如圖11 所示。

表3 觀測衛星、被測目標的軌道根數及姿態設置Tab.3 Orbital elements and attitude of two observation satellites and a target satellite

圖11 觀測衛星與被測目標軌道位置關系示意圖Fig.11 Schematic of orbital position relationship between two observation satellites and a space target

根據表3 中的軌道六根數可知，觀測衛星在慣性系的位置分別為：

由4.1.2 小節得到的目標在像平面上的位置分別為：

再結合式（18）和式（21），計算得到目標位置為：

已知目標的實際位置為：

可以看出，在沒有添加誤差的情況下，本文提出的定位方法在x、y軸方向的定位誤差分別可達 到10?5m、10?4m 量級，在z方向的誤差約0.008 m，均可滿足實際定位需求。由此驗證了本文提出的天基雙星天文定位方法是有效可行的。

4.2 誤差仿真與分析

本次誤差仿真實驗取蒙特卡洛仿真次數為10 000 次，對這10 000 次誤差結果進行統計，以x軸方向上的定位誤差為例，誤差分布近似服從零均值的高斯分布，如圖13 所示，誤差分布的標準差分析結果如表4 所示。可以看到，當定位模型中存在角度誤差時（如衛星姿態角度誤差），定位精度要低于僅存在位置誤差。同時存在表5 中的五種類型誤差時，定位誤差分布標準差為114.62 m，證明了該方法具有一定可行性。

表4 定位誤差的仿真計算結果表Tab.4 Location error result of Monte Carlo error simula?tion

表5 蒙特卡洛誤差仿真參數設置表Tab.5 Parameters of Monte Carlo error simulation

圖12 天基空間目標雙星天文定位結果示意圖Fig.12 Positioning result of the proposed method

圖13 存在5 種誤差時的x 軸方向定位誤差分布Fig.13 Distribution of the x-axis-error taking five kinds of errors in consideration

4.3 真實目標定位試驗

為了檢驗本文所提的天基雙星定位方法對真實的運動目標檢測定位能力，我們針對在軌運行衛星IRIDIUM82 在地面使用了兩個地基望遠鏡進行交會定位成像試驗。在試驗中，兩個相距20 km 的大口徑（1.2 m）地基望遠鏡模擬兩個觀測衛星，以恒星跟蹤模式拍攝，通過將望遠鏡安裝在以地球自轉速度運動的轉臺上來抵消地球自轉帶來的恒星像移影響。兩臺望遠鏡在同一時刻實拍的含運動目標IRIDIUM82 衛星的星圖如圖14 所示。

圖14 實拍星圖圖像Fig.14 Star map images

因為進行地面外場試驗會受大氣湍流，天氣以及試驗環境等因素影響，但同時地面試驗不用考慮衛星的姿態和軌道誤差，在上述誤差綜合約束條件下，地面外場試驗的定位誤差為148.25 m（室內仿真試驗定位誤差為114.62 m），因此可以證明本文所提方法的有效性。

5 結論

本文從獲取高精度空間目標的三維位置信息出發，提出了一種天基空間目標雙星天文定位方法。通過建立的空間目標在光學傳感器上的成像模型，表明在長曝光時間下，空間目標的條狀像與恒星的點狀光斑在形態上有明顯的區別；在空間目標的像平面檢測與提取方面從形態學角度提出了矩形度檢測方法，利用閾值質心法進行了精確定位；從單星出發，建立空間目標觀測矢量模型，結合最小二乘準則，建立了空間目標天文定位模型。最后開展了地面實驗獲取含空間目標的星圖像，基于此開展了定位算法的仿真。仿真結果證明：當定位模型中沒有誤差時，定位精度可達10?5m；當同時存在衛星位置誤差、衛星姿態誤差、衛星軌道誤差、相機安裝誤差和圖像處理誤差時，定位誤差分布為零均值，標準差為114.62 m 的高斯分布，最后進行了地面外場試驗，證明了本文方法的有效性?；緷M足了空間目標高精度測角的要求。