剛性航天器的預定義時間滑?？刂?/h1>
2022-01-24 04:51:18賽華陽徐振邦張恩陽
光學精密工程 2021年12期
賽華陽，徐振邦，賀 帥，張恩陽，秦 超
（1.中科院長春光學精密機械與物理研究所 中科院空間光學系統在軌制造與集成重點實驗室，吉林 長春 130033；2.中國科學院大學，北京 100049；3.中國科學院大學材料與光電研究中心，北京 100049）
1 引言
近年來，航天器的姿態跟蹤問題由于在空間應用中的重要作用而得到了廣泛的研究［1-2］。航天器的姿態調整是一個復雜的控制問題，因為其存在相互作用的非線性運動學和動力學模型，以及空間環境中不可預測的外界擾動［3-4］。
滑?？刂疲⊿liding Mode Control，SMC）是處理具有不確定性和外界擾動的非線性系統的最有效的方法之一［5］。由于其對系統不確定性和外界干擾的強魯棒性，SMC 已被廣泛應用到航天器的姿態控制中。但傳統的SMC 算法只能獲得漸近穩定的結果，這意味著航天器的姿態跟蹤誤差需要很長的時間才能收斂到平衡點，而許多任務要求航天器實現快速的姿態調整［6］。為了滿足這一要求，有限時間控制的概念被提出，它可以提高系統誤差的收斂速度，使其在有限的時間內收斂。終端滑模控制就是一種典型的有限時間控制方法，其中，一種新型的非奇異終端滑模控制（Non-singular Terminal Sliding Mode Con?trol，NTSMC）已經被應用到航天器的姿態調整中［7］。但有限時間控制方案的收斂時間依賴于系統的初始狀態，因此難以提前獲得航天器準確的姿態穩定時間界限。與有限時間控制方案不同的是，固定時間控制可以保證系統的收斂時間獨立于系統的初始值，即系統收斂時間的上界是一個不依賴于系統初始狀態的常數［8］。目前，一些固定時間的SMC 也已經被成功地應用于航天器的姿態跟蹤控制中［1，9］。
雖然與有限時間控制相比，固定時間在系統穩定時間的建立上有顯著的優勢，但固定時間控制器的控制參數與穩定時間之間的關系往往是復雜的。為了進一步解決這個問題，一種更先進的控制概念，即預定義時間控制被提出［10］。預定義時間控制為被控系統提供了一種先進的穩定性特征，即通過調整預定義時間參數可以很容易地確定系統的穩定性上界，從而為系統的行為提供高度的確定性。在文獻［10-12］中，預定義時間控制被用來和SMC 相結合以提高一階控制系統的魯棒性，但這些方法僅能保證系統在SMC中到達階段的預定義時間穩定性。在文獻［13-15］中，預定義時間滑?？刂频南嚓P理論被進一步提出，并被拓展到二階控制系統。此外，在文獻［3］中，預定義時間控制被應用于航天器的姿態跟蹤控制中。但上述預定義時間控制方案的穩定時間上界往往過于保守，這意味著控制器會遠提前于所設定的穩定時間完成航天器的姿態調整。對于航天器姿態控制而言，過快的姿態調節會導致系統能量的浪費，甚至使控制力矩超過系統所允許的范圍。
在本文中，我們提出了一種應用于剛性航天器姿態跟蹤控制的新型預定義時間滑?？刂疲≒redefined-Time Sliding Mode Control，PTSMC）方案用于解決現有預定義時間控制方案的穩定時間上界過于保守的問題。首先，我們設計了一種新型滑模變量和預定義時間滑模面，然后提出了一種新型PTSMC 方案，并采用邊界層技術降低了系統抖振。接著，通過Lyapunov函數證明了所提出的控制器的預定義時間穩定性和系統收斂上界的非保守性。最后通過仿真實驗，分別與現有的預定義時間控制方案，NTSMC 方案和比例微分（Proportional-Deriva?tive，PD）控制進行了對比，并利用3 自由度氣浮平臺進行了實驗驗證，證明了所提出控制方案的有效性和優越性。
2 剛性航天器模型和性質
如圖1 所示，在建立航天器的姿態控制系統時常建立3 個參考坐標系，包括慣性坐標系FI，參考坐標系FO和航天器本體坐標系FB。在本文中，FI被選擇為以地球為中心的慣性框架，FB的原點位于被控航天器的質心，并圍繞FI以ω0∈R+的軌道速率運行。FO與FB有相同的原點，其滾轉軸XO指向飛行器的飛行方向，俯仰軸YO垂直于飛行器的運行軌道，偏航軸ZO指向地心。
圖1 航天器的參考坐標系Fig.1 Coordinate reference frame system of spacecraft
剛性航天器的姿態可以通過航天器本體坐標系FB相對于慣性坐標系FI的姿態四元數進行表示，即（qv，q4）∈R3×R。剛性航天器的運動學方程可以表示為：
其中：ω∈R3表示航天器相對于本體坐標系FB的角速度，I3表示單位矩陣，(·)×表示為由向量元素構建的偏斜對稱矩陣，即：
航天器的角速度誤差可以通過下式給出：
其中，C表示從FO到FB的坐標變換矩陣，并且矩陣C可以通過下式進行計算：
此外，航天器的姿態動力學方程可以表示為：
其中：J∈R3×3是航天器關于本體坐標系FB的慣性矩陣，u∈R3和d∈R3分別表示系統的控制力矩和未知但有界的擾動力矩。
結合式（3），（5）和（7），航天器姿態的誤差運動學和動力學方程可以被寫為：
考慮到航天器模型的不確定性，可以假設：
其中，J0和ΔJ分別表示已知的系統的名義慣性矩陣和慣性矩陣J的不確定部分。式（8）中給出的動力學方程可以被寫為：
其中，系統耦合不確定部分ρ∈R3被定義為如下形式：
參考文獻［1］，系統耦合不確定部分的上界可以通過下式確定：
本文要解決的問題如下：通過設計控制輸入u，使包含系統不確定性和外界干擾的剛性航天器的姿態誤差ev和角速度跟蹤誤差ωe在給定的時間內收斂到零。
3 預定義時間穩定性的基本理論
首先介紹關于有限時間、固定時間和預定時間穩定性的一些的定義和引理以用于控制器預定義時間穩定性的證明。
考慮一個非線性系統：
其中：x∈Rn表示系統狀態，向量ρ∈Rb代表系統（13）的系統參數。函數f：Rn→Rn可以被認為是非線性和連續的，并且它的原點被假設為系統（13）的平衡點，即f(0；ρ)=0。
定義1.全局有限時間穩定性［16］：如果系統（13）的原點是全局漸近穩定的，且系統（13）的任何解x(t，x0)在某個有限時刻達到平衡點，即?t≥T(x0)=0，則系統（13）的平衡點被認為是全局有限時間穩定的，其中T：Rn→R+?{0}被稱為穩定時間函數。
定義2.固定時間穩定性［8］：如果系統（13）的原點是全局有限時間穩定的且穩定時間函數有界，即?Tmax>0：?x0∈Rn，T(x0)≤Tmax，那么系統（13）的平衡點是固定時間穩定的。
定義3.預定義時間穩定性［17］：對于系統（13）的系統參數ρ和常數Tc=Tc(ρ)>0，如果系統（13）的平衡點是固定時間穩定的，且穩定時間函數T：Rn→R 滿足以下條件：
則系統（13）的平衡點被認為是預定義時間穩定的，且Tc叫做預定義時間。此外，如果穩定時間函數滿足，那 么Tc被稱作 強預定義時間，否則，Tc被稱作弱預定義時間。
理論1.［13］如果存在滿足以下條件的連續正定徑向無界函數V：Rn→R：
其中：x∈Rn{0}；α，β，p，q，k為滿足kp<1，kq>1 的正常數。那么，系統（13）的平衡點是預定義時間穩定的，預定義時間為Tc。如果設參數向量，則預定義時間函數滿足Tf=γ(ρ)，其中γ(ρ)可以通過下式計算得出：
4 預定義時間滑?？刂破髟O計與穩定性分析
4.1 預定義時間滑?？刂破髟O計
首先，設計如下滑模變量：
其中：ωe和ev分別是航天器的角速度跟蹤誤差和姿態跟蹤誤差；α，β，p，q分別是定義的正常數且滿足01；γ，mp，mq分別是滿足γ=關系的正常數；Tc1是定義的滑動階段的預定義時間常數
接著，定義如下的預定義時間滑模面：
根據上述的滑模變量（17）和滑模面（18），所提出的PTSMC 可以表示如下：
其中：Tc2表示系統到達階段的預定義時間常數；b1，b1，b2是定義的正常數并滿足不等式（12），對于向量x∈Rn，|x|表示分別對向量的每個元素取絕對值。
圖2 給出了（17）～（19）中所提出的PTSMC的控制信號流程圖，其中u1是使系統在預定義時間內收斂的滑?？刂破?，u2是用于抵抗系統不確定性和外界擾動的魯棒控制器。
圖2 PTSMC 方案的控制信號流程圖Fig.2 Block diagram showing the flow of the control sig?nals for the PTSMC scheme.
4.2 穩定性分析
對于所提出的PTSMC 的穩定性分析可以分為到達階段和滑動階段進行分析。同時，為了簡化證明過程，我們將式（10）重寫為以下形式：
4.2.1 系統到達階段的穩定性分析
所提出的滑模面（18）關于時間的導數為：
帶入式（20），可以得到：
將式（22）帶入所提出的控制輸入（19），有：
對式（23）進一步化簡可以得到：
考慮一個Lyapunov 候選函數為V1(s)=|s|，則它的一階導數為：
根據理論1，我們可以得到，系統在到達階段是預定義時間穩定的，且預定義時間為Tc2。
4.2.2 系統滑動階段的穩定性分析
一旦系統的跟蹤軌跡被約束到滑模面上，即當t>Tc2時s=0，系統進入滑動階段，根據式（17）和（18），可以得到：
設滑動階段的Lyapunov 候選函數為V2(ev)=|ev|，于是可以得到：
同樣地，根據理論1，系統在預定義時間Tc2內沿滑模面收斂到平衡點。
根據上述證明，我們可以得到，所提出的控制器可以在系統不確定和存在外界擾動的情況下實現剛性航天器的預定義時間收斂，其收斂時間為Tc=Tc1+Tc2。
備注1.由于存在系統的耦合不確定性ρ，即使系統的初始誤差ev→∞，系統誤差也會在預定義時間Tc之前收斂到原點，即Tc為弱預定義時間。同時，我們可以考慮一種特殊情況，當k0=成立時，式（25）和（26）中的等號成立，此時Tc為系統的最小收斂時間上界，根據定義3，Tc為強預定義時間。相較于現有的預定義時間控制方法，如文獻［5-9］中所提出的控制方案，本文中的Lyapunov 函數的導數僅在式（25）考慮耦合不確定時進行了縮放，而其他控制方案則在推導過程中進行了多次縮放，因此本文中所提出收斂時間上界是更不保守的。
備注2.考慮到符號函數sign(·)會導致系統控制輸入的抖振，為了改善符號函數導致的系統抖振，將所提出的控制器（19）中的sign(s)修改為同時，將式（19）中的函數a修改為如下形式：
其中，ε∈R 是一個很小的正常數。
5 實驗驗證與分析
在本章節中，為了證明所提出控制方案在系統收斂時間的保守性和跟蹤誤差精度等方面的優越性，分別與現有的預定義時間控制方案，NTSMC 方案和傳統PD 控制方案進行仿真對比。所有的數值仿真實驗均基于Simulink/MATLAB 2020a 進行，基本采樣時間設為10-4s。
與文獻［7］中給出的航天器系統的參數相同，假設名義慣性矩陣為J0=［201.20.9；1.217 1.4；0.91.415］kg·m2，慣性矩陣的不確定度設為ΔJ=diag（2，2，3）kg·m2。期望的角速度設為ωd=0.05［sin（πt/100）sin（2πt/100）sin（3πt/100）］rad/s，外界擾動設為d=［0.1sin（t）0.2 sin（1.2t）0.3sin（1.5t）］N·m。系統的初始狀態設為q0=［0.3-0.2-0.3 0.883 2］Trad 和ω0=［0.06-0.04 0.05］Trad/s。對于所提出的PTSMC 方案，其控制參數分別設為p=1，q=3，k=0.5，α=4，β=0.25，Tc1=Tc2=3，ε=10?4，b0=1.8，b1=17.2，b2=3。
5.1 與現有的預定義時間控制方案的對比仿真實驗
考慮文獻［14］中所提出的二階預定義時間滑?？刂破鳎⊿econd Order Predefined-Time Slid?ing Mode Control，SOPTSMC）：
為了公平比較，修改控制器（30）中的k為本文中所提出的k0，sign(σ)修改為本文中在備注2中所設定的其他參數參考文獻［14］中給出的相應參數值，即q1=1.2，p1=1，q2=0.5，p2=1，α2=10?3，β2=1 將其預定義參數設為Tc1=Tc2=3。
對比仿真結果如圖3～5 所示。圖3 和圖4 分別表示與SOPTSMC 控制方案相比的姿態跟蹤誤差和角速度跟蹤誤差，從圖中可以看出，給定相同的預定義收斂時間Tc=Tc1+Tc2=6 s，所提出控制方案中的跟蹤誤差在4 s 后收斂到零，而SOPTSMC 方案的實際收斂時間小于3 s。一般而言，我們總是希望航天器系統跟蹤誤差的實際收斂時間更接近于所設定的預定義收斂時間，這將有利于系統收斂時間的合理設置，因為更快的收斂時間往往意味著更多的能量消耗。圖5 顯示了控制力矩的對比，從圖中可以看出，所提出控制方案的初始力矩約為50 N，遠小于SOPTSMC 方案中的初始輸出力矩。此外，所提出的控制方案的控制力矩更加平滑，抖振更小，這對于剛性航天器的姿態跟蹤控制是更有利的。
圖3 PTSMC 與SOPTSMC 的姿態跟蹤誤差Fig.3 Attitude tracking errors of PTSMC and SOPTSMC
圖4 PTSMC 與SOPTSMC 的角速度跟蹤誤差Fig.4 Angular velocity tracking errors of PTSMC and SOPTSMC
圖5 PTSMC 與SOPTSMC 的控制輸入Fig.5 Control inputs of PTSMC and SOPTSMC
5.2 與NTSMC 方案和傳統PD 控制方案的對比仿真實驗
參考文獻［7］中的所提出的NTSMC 方案
其中：控制參數滿足0參考文獻［18］中給出的PD 控制方案：
其中，kp和kd為給定的控制參數，分別定義kp=6I3，kd=8I3。
圖6 和圖7 分別顯示了所提出的控制方案與PD 控制和NTSMC 方案的姿態跟蹤誤差和角速度誤差，從圖中可以看出，PD 控制中的姿態跟蹤誤差漸進地收斂到零點。同時，由于PD 控制對系統的耦合不確定性不具有魯棒性，因此它有較差的誤差跟蹤精度。相較于NTSMC 方案，所提出的控制方案中系統的跟蹤誤差精度要遠高于NTSMC 方案，其姿態跟蹤誤差精度高于1.5×10-6rad，角速度跟蹤誤差精度高于2×10-6rad/s。最重要的是，PD 控制的跟蹤誤差是漸進收斂的，它的收斂時間趨近于無窮大，NTSMC 是有限時間收斂的，但它的收斂時間取決于系統的初始狀態。而本文中所提出的PTSMC 方案的收斂時間可以通過控制器中的預定義參數直接進行調節，對于航天器的姿態控制而言，這有利于它在規定的時間內完成姿態調整。
圖6 PTSMC，PD 和NTSMC 的姿態跟蹤誤差Fig.6 Attitude tracking errors of PTSMC，PD and NTSMC
圖7 PTSMC，PD 和NTSMC 的角速度誤差Fig.7 Angular velocity errors of PTSMC，PD and NTSMC
總之，仿真結果表明，本文所提出的PTSMC方案相較于目前存在的預定義時間控制方案，其收斂時間的上界更加不保守。相較于現有的NTSMC 和PD 控制方案，有更高的跟蹤精度和魯棒性，并具有預定義時間收斂的特性。同時，在所提出的控制器中只需要采集航天器的實際姿態與角速度，這對于航天器的姿態控制是可實現的，可以被應用在航天器的實際姿態控制中。
5.3 基于三自由度氣浮平臺的實驗驗證
由于在地面難以開展空間狀態的飛行器姿態跟蹤實驗，為了進一步驗證所提出的控制方案在實際應用中的有效性，本章節利用本課題組研制的三自由度自由飛行機器人氣浮式平臺［19］模擬飛行器姿態控制，進行了多次姿態跟蹤控制實驗，實驗裝置如圖8 所示。該裝置的運動是一個剛體的平面運動，包括平面x，y軸方向的移動，和一個繞自身的轉動量?。
圖8 三自由度自由飛行機器人氣浮平臺Fig.8 3-DOF free-flying robot floating platform
為了測試文中所提出的控制方案，分別進行了四次關于直線軌跡的跟蹤實驗，同時，在直線軌跡的跟蹤過程中伴隨平臺角度的跟蹤。四次實驗的軌跡跟蹤結果如圖9 所示，實驗均在氣浮平臺所在的大理石平臺上進行?？梢钥闯?，四次實驗均獲得了較高的位置跟蹤精度。對于軌跡1，在跟蹤軌跡末端位置誤差變大，這是由于軌跡1 中氣浮平臺運行時間較長，平臺后期供氣不足導致的。對于軌跡1 和軌跡2，氣浮平臺的初始位置與命令軌跡均有較大誤差，但氣浮平臺在文中所提出的控制方案的作用下，均能迅速地跟蹤到指令軌跡。
圖9 三自由度自由飛行機器人氣浮平臺的姿態跟蹤實驗Fig.9 Attitude tracking experimental results of the float?ing platform of a 3-DOF free-flying robot
進一步地，在四次跟蹤實驗中，氣浮平臺的關于x，y軸和轉動量?隨時間的指令變化量與實際變化量如圖10 所示。在每次實驗中，控制器的預定義時間被設為20 s，從圖中可以看出，各自由度的姿態跟蹤誤差大約均在10 s 內收斂，這說明了所提出的預定義時間滑?？刂破鞯挠行?。同時，從實驗結果可以看出，氣浮平臺具有優異的姿態跟蹤性能，其中，角度跟蹤誤差小于0.1 rad，x和y軸方向的跟蹤誤差小于0.2 m。
圖10 氣浮平臺的x，y 和? 隨時間的變化Fig.10 Changes of x，y and ? of the floating platform with time
6 結論
本文在保證性能的前提下，解決了航天器的預定義時間姿態跟蹤問題。通過Lyapunov 控制理論，我們嚴格證明了所提出的控制方案對于航天器的姿態跟蹤的調整時間是可以通過控制參數被指定的。同時，相較于現有的預定義時間控制策略，文中所提出的控制方案的收斂時間是更不保守的，這有利于航天器姿態調整時間的合理設置。最后，通過仿真實驗證明剛性航天器的姿態跟蹤誤差精度可達1.5×10-6rad，角速度跟蹤誤差精度可達2×10-6rad/s，同時也說明了本方案相較于現有控制方案的優越性，包括更不保守的收斂時間上界，良好的抗干擾性和較高的跟蹤誤差精度。通過3 自由度氣浮平臺的姿態跟蹤實驗說明了控制方案的有效性，角度跟蹤誤差小于0.1 rad，位置跟蹤誤差小于0.2 m。
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1 引言
近年來，航天器的姿態跟蹤問題由于在空間應用中的重要作用而得到了廣泛的研究［1-2］。航天器的姿態調整是一個復雜的控制問題，因為其存在相互作用的非線性運動學和動力學模型，以及空間環境中不可預測的外界擾動［3-4］。
滑?？刂疲⊿liding Mode Control，SMC）是處理具有不確定性和外界擾動的非線性系統的最有效的方法之一［5］。由于其對系統不確定性和外界干擾的強魯棒性，SMC 已被廣泛應用到航天器的姿態控制中。但傳統的SMC 算法只能獲得漸近穩定的結果，這意味著航天器的姿態跟蹤誤差需要很長的時間才能收斂到平衡點，而許多任務要求航天器實現快速的姿態調整［6］。為了滿足這一要求，有限時間控制的概念被提出，它可以提高系統誤差的收斂速度，使其在有限的時間內收斂。終端滑模控制就是一種典型的有限時間控制方法，其中，一種新型的非奇異終端滑模控制（Non-singular Terminal Sliding Mode Con?trol，NTSMC）已經被應用到航天器的姿態調整中［7］。但有限時間控制方案的收斂時間依賴于系統的初始狀態，因此難以提前獲得航天器準確的姿態穩定時間界限。與有限時間控制方案不同的是，固定時間控制可以保證系統的收斂時間獨立于系統的初始值，即系統收斂時間的上界是一個不依賴于系統初始狀態的常數［8］。目前，一些固定時間的SMC 也已經被成功地應用于航天器的姿態跟蹤控制中［1，9］。
雖然與有限時間控制相比，固定時間在系統穩定時間的建立上有顯著的優勢，但固定時間控制器的控制參數與穩定時間之間的關系往往是復雜的。為了進一步解決這個問題，一種更先進的控制概念，即預定義時間控制被提出［10］。預定義時間控制為被控系統提供了一種先進的穩定性特征，即通過調整預定義時間參數可以很容易地確定系統的穩定性上界，從而為系統的行為提供高度的確定性。在文獻［10-12］中，預定義時間控制被用來和SMC 相結合以提高一階控制系統的魯棒性，但這些方法僅能保證系統在SMC中到達階段的預定義時間穩定性。在文獻［13-15］中，預定義時間滑?？刂频南嚓P理論被進一步提出，并被拓展到二階控制系統。此外，在文獻［3］中，預定義時間控制被應用于航天器的姿態跟蹤控制中。但上述預定義時間控制方案的穩定時間上界往往過于保守，這意味著控制器會遠提前于所設定的穩定時間完成航天器的姿態調整。對于航天器姿態控制而言，過快的姿態調節會導致系統能量的浪費，甚至使控制力矩超過系統所允許的范圍。
在本文中，我們提出了一種應用于剛性航天器姿態跟蹤控制的新型預定義時間滑?？刂疲≒redefined-Time Sliding Mode Control，PTSMC）方案用于解決現有預定義時間控制方案的穩定時間上界過于保守的問題。首先，我們設計了一種新型滑模變量和預定義時間滑模面，然后提出了一種新型PTSMC 方案，并采用邊界層技術降低了系統抖振。接著，通過Lyapunov函數證明了所提出的控制器的預定義時間穩定性和系統收斂上界的非保守性。最后通過仿真實驗，分別與現有的預定義時間控制方案，NTSMC 方案和比例微分（Proportional-Deriva?tive，PD）控制進行了對比，并利用3 自由度氣浮平臺進行了實驗驗證，證明了所提出控制方案的有效性和優越性。
2 剛性航天器模型和性質
如圖1 所示，在建立航天器的姿態控制系統時常建立3 個參考坐標系，包括慣性坐標系FI，參考坐標系FO和航天器本體坐標系FB。在本文中，FI被選擇為以地球為中心的慣性框架，FB的原點位于被控航天器的質心，并圍繞FI以ω0∈R+的軌道速率運行。FO與FB有相同的原點，其滾轉軸XO指向飛行器的飛行方向，俯仰軸YO垂直于飛行器的運行軌道，偏航軸ZO指向地心。
圖1 航天器的參考坐標系Fig.1 Coordinate reference frame system of spacecraft
剛性航天器的姿態可以通過航天器本體坐標系FB相對于慣性坐標系FI的姿態四元數進行表示，即（qv，q4）∈R3×R。剛性航天器的運動學方程可以表示為：
其中：ω∈R3表示航天器相對于本體坐標系FB的角速度，I3表示單位矩陣，(·)×表示為由向量元素構建的偏斜對稱矩陣，即：
航天器的角速度誤差可以通過下式給出：
其中，C表示從FO到FB的坐標變換矩陣，并且矩陣C可以通過下式進行計算：
此外，航天器的姿態動力學方程可以表示為：
其中：J∈R3×3是航天器關于本體坐標系FB的慣性矩陣，u∈R3和d∈R3分別表示系統的控制力矩和未知但有界的擾動力矩。
結合式（3），（5）和（7），航天器姿態的誤差運動學和動力學方程可以被寫為：
考慮到航天器模型的不確定性，可以假設：
其中，J0和ΔJ分別表示已知的系統的名義慣性矩陣和慣性矩陣J的不確定部分。式（8）中給出的動力學方程可以被寫為：
其中，系統耦合不確定部分ρ∈R3被定義為如下形式：
參考文獻［1］，系統耦合不確定部分的上界可以通過下式確定：
本文要解決的問題如下：通過設計控制輸入u，使包含系統不確定性和外界干擾的剛性航天器的姿態誤差ev和角速度跟蹤誤差ωe在給定的時間內收斂到零。
3 預定義時間穩定性的基本理論
首先介紹關于有限時間、固定時間和預定時間穩定性的一些的定義和引理以用于控制器預定義時間穩定性的證明。
考慮一個非線性系統：
其中：x∈Rn表示系統狀態，向量ρ∈Rb代表系統（13）的系統參數。函數f：Rn→Rn可以被認為是非線性和連續的，并且它的原點被假設為系統（13）的平衡點，即f(0；ρ)=0。
定義1.全局有限時間穩定性［16］：如果系統（13）的原點是全局漸近穩定的，且系統（13）的任何解x(t，x0)在某個有限時刻達到平衡點，即?t≥T(x0)=0，則系統（13）的平衡點被認為是全局有限時間穩定的，其中T：Rn→R+?{0}被稱為穩定時間函數。
定義2.固定時間穩定性［8］：如果系統（13）的原點是全局有限時間穩定的且穩定時間函數有界，即?Tmax>0：?x0∈Rn，T(x0)≤Tmax，那么系統（13）的平衡點是固定時間穩定的。
定義3.預定義時間穩定性［17］：對于系統（13）的系統參數ρ和常數Tc=Tc(ρ)>0，如果系統（13）的平衡點是固定時間穩定的，且穩定時間函數T：Rn→R 滿足以下條件：
則系統（13）的平衡點被認為是預定義時間穩定的，且Tc叫做預定義時間。此外，如果穩定時間函數滿足，那 么Tc被稱作 強預定義時間，否則，Tc被稱作弱預定義時間。
理論1.［13］如果存在滿足以下條件的連續正定徑向無界函數V：Rn→R：
其中：x∈Rn{0}；α，β，p，q，k為滿足kp<1，kq>1 的正常數。那么，系統（13）的平衡點是預定義時間穩定的，預定義時間為Tc。如果設參數向量，則預定義時間函數滿足Tf=γ(ρ)，其中γ(ρ)可以通過下式計算得出：
4 預定義時間滑?？刂破髟O計與穩定性分析
4.1 預定義時間滑?？刂破髟O計
首先，設計如下滑模變量：
其中：ωe和ev分別是航天器的角速度跟蹤誤差和姿態跟蹤誤差；α，β，p，q分別是定義的正常數且滿足0
接著，定義如下的預定義時間滑模面：
根據上述的滑模變量（17）和滑模面（18），所提出的PTSMC 可以表示如下：
其中：Tc2表示系統到達階段的預定義時間常數；b1，b1，b2是定義的正常數并滿足不等式（12），對于向量x∈Rn，|x|表示分別對向量的每個元素取絕對值。
圖2 給出了（17）～（19）中所提出的PTSMC的控制信號流程圖，其中u1是使系統在預定義時間內收斂的滑?？刂破?，u2是用于抵抗系統不確定性和外界擾動的魯棒控制器。
圖2 PTSMC 方案的控制信號流程圖Fig.2 Block diagram showing the flow of the control sig?nals for the PTSMC scheme.
4.2 穩定性分析
對于所提出的PTSMC 的穩定性分析可以分為到達階段和滑動階段進行分析。同時，為了簡化證明過程，我們將式（10）重寫為以下形式：
4.2.1 系統到達階段的穩定性分析
所提出的滑模面（18）關于時間的導數為：
帶入式（20），可以得到：
將式（22）帶入所提出的控制輸入（19），有：
對式（23）進一步化簡可以得到：
考慮一個Lyapunov 候選函數為V1(s)=|s|，則它的一階導數為：
根據理論1，我們可以得到，系統在到達階段是預定義時間穩定的，且預定義時間為Tc2。
4.2.2 系統滑動階段的穩定性分析
一旦系統的跟蹤軌跡被約束到滑模面上，即當t>Tc2時s=0，系統進入滑動階段，根據式（17）和（18），可以得到：
設滑動階段的Lyapunov 候選函數為V2(ev)=|ev|，于是可以得到：
同樣地，根據理論1，系統在預定義時間Tc2內沿滑模面收斂到平衡點。
根據上述證明，我們可以得到，所提出的控制器可以在系統不確定和存在外界擾動的情況下實現剛性航天器的預定義時間收斂，其收斂時間為Tc=Tc1+Tc2。
備注1.由于存在系統的耦合不確定性ρ，即使系統的初始誤差ev→∞，系統誤差也會在預定義時間Tc之前收斂到原點，即Tc為弱預定義時間。同時，我們可以考慮一種特殊情況，當k0=成立時，式（25）和（26）中的等號成立，此時Tc為系統的最小收斂時間上界，根據定義3，Tc為強預定義時間。相較于現有的預定義時間控制方法，如文獻［5-9］中所提出的控制方案，本文中的Lyapunov 函數的導數僅在式（25）考慮耦合不確定時進行了縮放，而其他控制方案則在推導過程中進行了多次縮放，因此本文中所提出收斂時間上界是更不保守的。
備注2.考慮到符號函數sign(·)會導致系統控制輸入的抖振，為了改善符號函數導致的系統抖振，將所提出的控制器（19）中的sign(s)修改為同時，將式（19）中的函數a修改為如下形式：
其中，ε∈R 是一個很小的正常數。
5 實驗驗證與分析
在本章節中，為了證明所提出控制方案在系統收斂時間的保守性和跟蹤誤差精度等方面的優越性，分別與現有的預定義時間控制方案，NTSMC 方案和傳統PD 控制方案進行仿真對比。所有的數值仿真實驗均基于Simulink/MATLAB 2020a 進行，基本采樣時間設為10-4s。
與文獻［7］中給出的航天器系統的參數相同，假設名義慣性矩陣為J0=［201.20.9；1.217 1.4；0.91.415］kg·m2，慣性矩陣的不確定度設為ΔJ=diag（2，2，3）kg·m2。期望的角速度設為ωd=0.05［sin（πt/100）sin（2πt/100）sin（3πt/100）］rad/s，外界擾動設為d=［0.1sin（t）0.2 sin（1.2t）0.3sin（1.5t）］N·m。系統的初始狀態設為q0=［0.3-0.2-0.3 0.883 2］Trad 和ω0=［0.06-0.04 0.05］Trad/s。對于所提出的PTSMC 方案，其控制參數分別設為p=1，q=3，k=0.5，α=4，β=0.25，Tc1=Tc2=3，ε=10?4，b0=1.8，b1=17.2，b2=3。
5.1 與現有的預定義時間控制方案的對比仿真實驗
考慮文獻［14］中所提出的二階預定義時間滑?？刂破鳎⊿econd Order Predefined-Time Slid?ing Mode Control，SOPTSMC）：
為了公平比較，修改控制器（30）中的k為本文中所提出的k0，sign(σ)修改為本文中在備注2中所設定的其他參數參考文獻［14］中給出的相應參數值，即q1=1.2，p1=1，q2=0.5，p2=1，α2=10?3，β2=1 將其預定義參數設為Tc1=Tc2=3。
對比仿真結果如圖3～5 所示。圖3 和圖4 分別表示與SOPTSMC 控制方案相比的姿態跟蹤誤差和角速度跟蹤誤差，從圖中可以看出，給定相同的預定義收斂時間Tc=Tc1+Tc2=6 s，所提出控制方案中的跟蹤誤差在4 s 后收斂到零，而SOPTSMC 方案的實際收斂時間小于3 s。一般而言，我們總是希望航天器系統跟蹤誤差的實際收斂時間更接近于所設定的預定義收斂時間，這將有利于系統收斂時間的合理設置，因為更快的收斂時間往往意味著更多的能量消耗。圖5 顯示了控制力矩的對比，從圖中可以看出，所提出控制方案的初始力矩約為50 N，遠小于SOPTSMC 方案中的初始輸出力矩。此外，所提出的控制方案的控制力矩更加平滑，抖振更小，這對于剛性航天器的姿態跟蹤控制是更有利的。
圖3 PTSMC 與SOPTSMC 的姿態跟蹤誤差Fig.3 Attitude tracking errors of PTSMC and SOPTSMC
圖4 PTSMC 與SOPTSMC 的角速度跟蹤誤差Fig.4 Angular velocity tracking errors of PTSMC and SOPTSMC
圖5 PTSMC 與SOPTSMC 的控制輸入Fig.5 Control inputs of PTSMC and SOPTSMC
5.2 與NTSMC 方案和傳統PD 控制方案的對比仿真實驗
參考文獻［7］中的所提出的NTSMC 方案
其中：控制參數滿足0 參考文獻［18］中給出的PD 控制方案： 其中，kp和kd為給定的控制參數，分別定義kp=6I3，kd=8I3。 圖6 和圖7 分別顯示了所提出的控制方案與PD 控制和NTSMC 方案的姿態跟蹤誤差和角速度誤差，從圖中可以看出，PD 控制中的姿態跟蹤誤差漸進地收斂到零點。同時，由于PD 控制對系統的耦合不確定性不具有魯棒性，因此它有較差的誤差跟蹤精度。相較于NTSMC 方案，所提出的控制方案中系統的跟蹤誤差精度要遠高于NTSMC 方案，其姿態跟蹤誤差精度高于1.5×10-6rad，角速度跟蹤誤差精度高于2×10-6rad/s。最重要的是，PD 控制的跟蹤誤差是漸進收斂的，它的收斂時間趨近于無窮大，NTSMC 是有限時間收斂的，但它的收斂時間取決于系統的初始狀態。而本文中所提出的PTSMC 方案的收斂時間可以通過控制器中的預定義參數直接進行調節，對于航天器的姿態控制而言，這有利于它在規定的時間內完成姿態調整。 圖6 PTSMC，PD 和NTSMC 的姿態跟蹤誤差Fig.6 Attitude tracking errors of PTSMC，PD and NTSMC 圖7 PTSMC，PD 和NTSMC 的角速度誤差Fig.7 Angular velocity errors of PTSMC，PD and NTSMC 總之，仿真結果表明，本文所提出的PTSMC方案相較于目前存在的預定義時間控制方案，其收斂時間的上界更加不保守。相較于現有的NTSMC 和PD 控制方案，有更高的跟蹤精度和魯棒性，并具有預定義時間收斂的特性。同時，在所提出的控制器中只需要采集航天器的實際姿態與角速度，這對于航天器的姿態控制是可實現的，可以被應用在航天器的實際姿態控制中。 由于在地面難以開展空間狀態的飛行器姿態跟蹤實驗，為了進一步驗證所提出的控制方案在實際應用中的有效性，本章節利用本課題組研制的三自由度自由飛行機器人氣浮式平臺［19］模擬飛行器姿態控制，進行了多次姿態跟蹤控制實驗，實驗裝置如圖8 所示。該裝置的運動是一個剛體的平面運動，包括平面x，y軸方向的移動，和一個繞自身的轉動量?。 圖8 三自由度自由飛行機器人氣浮平臺Fig.8 3-DOF free-flying robot floating platform 為了測試文中所提出的控制方案，分別進行了四次關于直線軌跡的跟蹤實驗，同時，在直線軌跡的跟蹤過程中伴隨平臺角度的跟蹤。四次實驗的軌跡跟蹤結果如圖9 所示，實驗均在氣浮平臺所在的大理石平臺上進行?？梢钥闯?，四次實驗均獲得了較高的位置跟蹤精度。對于軌跡1，在跟蹤軌跡末端位置誤差變大，這是由于軌跡1 中氣浮平臺運行時間較長，平臺后期供氣不足導致的。對于軌跡1 和軌跡2，氣浮平臺的初始位置與命令軌跡均有較大誤差，但氣浮平臺在文中所提出的控制方案的作用下，均能迅速地跟蹤到指令軌跡。 圖9 三自由度自由飛行機器人氣浮平臺的姿態跟蹤實驗Fig.9 Attitude tracking experimental results of the float?ing platform of a 3-DOF free-flying robot 進一步地，在四次跟蹤實驗中，氣浮平臺的關于x，y軸和轉動量?隨時間的指令變化量與實際變化量如圖10 所示。在每次實驗中，控制器的預定義時間被設為20 s，從圖中可以看出，各自由度的姿態跟蹤誤差大約均在10 s 內收斂，這說明了所提出的預定義時間滑?？刂破鞯挠行?。同時，從實驗結果可以看出，氣浮平臺具有優異的姿態跟蹤性能，其中，角度跟蹤誤差小于0.1 rad，x和y軸方向的跟蹤誤差小于0.2 m。 圖10 氣浮平臺的x，y 和? 隨時間的變化Fig.10 Changes of x，y and ? of the floating platform with time 本文在保證性能的前提下，解決了航天器的預定義時間姿態跟蹤問題。通過Lyapunov 控制理論，我們嚴格證明了所提出的控制方案對于航天器的姿態跟蹤的調整時間是可以通過控制參數被指定的。同時，相較于現有的預定義時間控制策略，文中所提出的控制方案的收斂時間是更不保守的，這有利于航天器姿態調整時間的合理設置。最后，通過仿真實驗證明剛性航天器的姿態跟蹤誤差精度可達1.5×10-6rad，角速度跟蹤誤差精度可達2×10-6rad/s，同時也說明了本方案相較于現有控制方案的優越性，包括更不保守的收斂時間上界，良好的抗干擾性和較高的跟蹤誤差精度。通過3 自由度氣浮平臺的姿態跟蹤實驗說明了控制方案的有效性，角度跟蹤誤差小于0.1 rad，位置跟蹤誤差小于0.2 m。5.3 基于三自由度氣浮平臺的實驗驗證
6 結論
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