六棱柱模塊化可展開天線形面精度分析

田大可，范小東，金 路，劉榮強，張 珂

（1.沈陽建筑大學 機械工程學院，遼寧 沈陽 110168；2.沈陽建筑大學 土木工程學院，遼寧 沈陽 110168；3.哈爾濱工業大學 機器人技術與系統國家重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001）

1 引言

空間可展開天線是航天器無線通信系統中不可或缺的重要裝備［1-3］，同時也是國際宇航界研究的前沿與熱點，廣泛應用于星際探測、衛星導航、移動通信、電子偵察和射電天文等領域［4-6］。在“十四五”規劃和2035 年遠景目標綱要中，規劃的空間基礎設施體系建設、星際探測、探月工程四期、北斗產業化等重大航天工程均對空間可展開天線提出了迫切的需求，開展可展開天線相關理論及應用研究具有較為重要的科研價值和實際意義。

航天器與地面距離約在幾萬至幾百萬公里，導致電磁波在穿越星際的過程中會有較明顯損耗。為了增加數據傳輸和接收能力、提高分辨率、增加通信距離，可展開天線需要向高精度化和大型化方向發展，這對天線展開后的形面精度提出了更高的要求。MORTEROLLE 等［7］基于力密度法，提出一種計算索網張力的方法，即利用受拉索的節點力將索網定位在目標表面上。此外，將這些節點力施加在不同的曲面上，驗證了該方法的有效性。YANG 等［8］提出一種索網張力分布迭代方法，該方法具有良好的通用性，無論索網前后表面是否對稱，都能獲得均勻的張力。LIU 等［9］基于非線性有限元法和基因遺傳算法，綜合考慮可展開天線結構柔性變形的影響，提出一種張緊索預應力分布設計方法，通過優化確定了張緊索的最優預緊量和預張力，提高了索肋張拉式可展開天線結構的形面精度和固有頻率。AGRAWAL 等［10］提出一種索網結構網格劃分方法，并給出了誤差計算公式。楊東武等［11］提出了用空間任意三角形逼近拋物面的軸向方均根誤差計算公式，發現拋物面索網天線形面在天線光學口徑面上投影為正三角形網格時原理誤差最小。范葉森等［12］提出一種等張力索網結構找形的坐標迭代算法，使用等張力找形算法得到的索網結構繩索張力的均勻性好于極小范數法和等力密度法。楊癸庚等［13］提出一種基于力密度思想的找形與找力相結合的優化迭代設計方法，將索網結構初始形態設計分為前、后索網設計兩部分，先設計前索網再設計后索網，索網張力的均勻性得到了進一步提升。索網結構由柔性繩索和金屬絲網等組成，不同的材料受熱變形不協調會影響索網結構的預應力分布與形面精度，李團結等［14］通過建立結構力學模型，研究了索網結構的力熱匹配設計問題，提出一種索網結構力熱匹配設計方法，仿真結果表明，在溫變環境下，所提出的方法可使形面精度得到一定程度的提升。日本宇宙航空研究開發機構［15-16］為工程試驗衛星Engineering Test Satellite VIII（ETSVIII）制出一種構架式可展開天線，該天線由14個直徑為4.8 m 的六棱柱模塊組成，天線完全展開后的有效口徑為13 m，形面精度不大于2.4 mm。MITSUGI 等［17］介紹了ETS-VIII 可展開天線的結構組成及表面形狀的調整方法，通過數值模擬和實驗發現可展開天線表面精度主要取決于可展開天線支撐結構的精度。劉兆晶等［18］建立了多模塊可展開天線支撐結構空間幾何模型，并開展了結構設計及展開試驗研究。

由上述闡述可見，對可展開天線精度的研究大多集中在索網的初始結構形態和索網張力調整等索網結構的精度上，對影響可展開天線形面精度的另一重要因素，即支撐結構的展開精度問題則研究較少。此外，隨著航天科技的快速發展，現有單一模塊構型的可展開天線逐漸暴露出結構耦合度高、擴展性差等缺點，展開口徑為幾十米、甚至上百米的、超多模塊數量的大型模塊化可展開天線將成為發展的主流，故針對這種新構型的精度問題開展研究具有較為重要的研究意義。本文建立了一種可用于大口徑、超多模塊的六棱柱模塊化空間可展開天線支撐結構形面精度分析模型。首先，分析可展開天線的組成，研究模塊的拓撲規律，確定影響結構拓撲的典型模塊；其次，基于結構特點，將單模塊等效為一包絡圓，通過求解典型模塊的包絡圓方程，建立六棱柱模塊化空間可展開天線支撐結構的形面精度分析模型；最后，從數值仿真和試驗驗證兩個方面對所建立的模型進行了驗證及分析。

2 可展開天線的組成及模塊拓撲規律

2.1 可展開天線的組成

典型六棱柱模塊化空間可展開天線屬于金屬網面天線的一種類型，主要由柔性金屬反射網和剛性支撐結構等組成。支撐結構是天線的骨架，主要對金屬反射網起到展開、支撐和定位等作用。支撐結構通常由若干個六棱柱模塊組成，每個模塊又由6 個基本單元（也稱為：肋單元）組成，肋單元是構成可展開天線支撐結構的最小單元。肋單元如圖1 所示。

圖1 肋單元Fig.1 Rib unit

由圖1可知，肋單元是一種具有折疊與展開功能的平面連桿機構，依靠彈簧驅動實現機構展開。

模塊化空間可展開天線支撐結構的組成如圖2 所示，6 個肋單元組成一個六棱柱模塊，若干個六棱柱模塊組成空間可展開天線支撐結構。為了增加結構的剛度，在模塊的邊緣增加張緊索。支撐結構的表面通常是球面，天線的工作表面為拋物面，兩者之間的形狀差異一般采用擬合及豎向拉索等方式進行修正和調節［19］。

圖2 可展開天線支撐結構的組成Fig.2 Composition of deployable antenna support struc?ture

2.2 模塊拓撲規律

為了研究六棱柱模塊化結構的拓撲規律，按照“由少至多、由簡至繁”的思想，對其開展研究。觀察圖3 所示的模塊拓撲規律示意圖可以發現，六邊形結構的拓撲規律既可以看作是分層拓撲，也可以看作是繞中心模塊的環形陣列拓撲。本文將分層拓撲和環形陣列兩種拓撲方式結合起來，即先將六邊形模塊分層，然后再研究每層模塊的陣列拓撲規律。

圖3 模塊拓撲規律Fig.3 Module topology rule

以中心模塊為第一層，環繞中心模塊的6 個模塊為第二層，環繞第二層的12 個模塊為第三層，依次類推。第二層的6 個模塊可看作是由模塊L2-1 陣列而成，第三層的12 個模塊可看作是由模塊L3-1 和L3-2 陣列而成（由模塊L3-1 陣列而成的六個模塊稱為第三層第一類模塊，由模塊L3-2 陣列而成的六個模塊稱為第三層第二類模塊，類似的定義下文不再贅述），第四層的18 個模塊可看作是由模塊L4-1、L4-2 和L4-3 陣列而成，第五層的24 個模塊可看作是由模塊L5-1、L5-2、L5-3 和L5-4 陣列而 成。定義模 塊L1-1、L2-1、L3-1、L3-2、L4-1、L4-2、L4-3、L5-1、L5-2、L5-3 和L5-4 等為典型模塊，其余模塊可由典型模塊經環形陣列得到。

根據上述拓撲規律，每層模塊的數量g（i）與層數i滿足關系：

同時，每層中，典型模塊的數量（fi）與層數i滿足關系：

典型模塊的總數h（i）與層數i滿足關系：

所以，當需要建模研究一個i層的模塊化結構時，只需要建h（i）個典型模塊的模型，其余模塊可經過陣列或坐標變換得到。

3 形面精度分析建模

可展開天線的形面精度通常用均方根誤差來衡量。均方根誤差又稱為標準誤差，是指測量值與其理論值偏差的均方根。均方根誤差越小，則被測物體的形面精度就越高。實測值可通過試驗測得，理論值則需要通過數學模型計算得到。模塊化空間可展開天線支撐結構是由若干個六棱柱模塊所組成，所以求取模塊間連接點的三維坐標是開展可展開天線支撐結構形面精度分析的前提和基礎，故需要建立連接點的空間數學模型，即形面精度分析模型。

3.1 建模流程

首先，用半徑為r的圓代表六棱柱模塊，該圓即稱為對應六棱柱模塊的包絡圓，如圖4 所示。此時，只要6 個肋單元的尺寸完全相同，無論如何調整肋單元夾角，點A1～A6始終在包絡圓上。由于可展開天線支撐結構的所有肋單元尺寸相等，所以所有六棱柱模塊均可等效為半徑相等的包絡圓，這將有利于后續的建模過程。

圖4 包絡圓Fig.4 Envelope circle

其次，將每個六棱柱模塊都用一個包絡圓表示，就得到了可展開天線支撐結構的包絡圓模型。最后，求出包絡圓交點坐標即可得到對應模塊連接點的坐標。形面精度分析模型建模流程如圖5 所示。

圖5 形面精度分析模型建模流程Fig.5 Modeling process of surface accuracy analysis model

3.2 形面精度分析模型

將六棱柱模塊等效為包絡圓之后，需要計算出所有包絡圓在空間直角坐標系中的方程，進而通過聯立方程組解出相鄰包絡圓的交點坐標（即對應模塊連接點的坐標）。下面分別介紹包絡圓方程在空間中的表示方法、交點坐標的計算和肋單元夾角的計算方法這3 個具體建模過程。

3.2.1 包絡圓數學模型

在空間中，球面與平面的交線為一個空間圓。平面的點法式方程可由平面上的一點和平面的一個法向量所確定，假設空間直角坐標系建在球心，那么任何一個包絡圓的方程均可表示為：

其中：Sn為圓n的圓心，其坐標為(xSn，ySn，zSn)，R為球面半徑。所以，求包絡圓n方程的問題可以轉化為求包絡圓n的圓心坐標。

3.2.2 圓心坐標計算

圖6 是圖5 中空間直角坐標系的俯視示意圖（并非嚴格的俯視圖，只是為了說明位置關系的一種示意圖），圖6 中的包絡圓為圖3 中提到的典型模塊所對應的包絡圓。

圖6 典型包絡圓Fig.6 Typical envelope circle

根據模塊的拓撲規律可知，包絡圓1，2，4，7，11 的圓心在平面y=x?tan(π/6)上，包絡圓3 和8 的圓心在平面y=0 上，包絡圓5 和6、9 和10 的圓心分別關于平面xoz對稱。也就是說，包絡圓1～11 中，一類包絡圓的圓心在某個平面上，另一類包絡圓的圓心雖然不在特殊位置，但相互間關于某些平面對稱。

基于對上述包絡圓圓心在空間中兩類特殊位置關系的分析，針對每類位置關系提出一種圓心坐標的計算方法。

3.2.2.1 點面法

點面法是一種根據兩個已知條件來求圓心坐標的方法。兩個已知條件分別為：a.已知所求包絡圓上某一點的坐標；b.已知所求包絡圓的圓心在某平面上且該平面的方程為已知。點面法適用于所求包絡圓的圓心在某已知平面上的情況。

以圖6 中包絡圓2 的圓心S2為例，假設點A1的坐標已知，點S2在平面y=x?tan(π/6)上，那么點S2滿足以下方程組：

其中：r為包絡圓半徑，R為球面半徑。式（5）有兩個解，一個為點S1的坐標，另一個為點S2的坐標。

3.2.2.2 兩點法

兩點法是一種根據一個已知條件來求圓心坐標的方法。這個已知條件為：已知所求包絡圓上某不重合兩點的坐標。兩點法適用于所求包絡圓的圓心不在特殊位置的情況。

以圖6 中包絡圓5 的圓心S5為例，假設點D3和點C1的坐標為已知，那么點S5的坐標滿足以下方程組：

上式有兩個解，一個為點S3的坐標，另一個為點S5的坐標。

下面介紹用點面法和兩點法求解圖6 中11個圓的圓心坐標的方法。通過點面法，包絡圓1，2，4，7，11，3，8 的圓心坐標可以計算出來；通過兩點法，包絡圓5，9 的圓心坐標可以計算出來，包絡圓6，10 的圓心坐標可根據對稱關系（包絡圓5 和6，9 和10 的圓心分別關于平面xoz對稱）得到，具體的計算流程如圖7 所示。

圖7 圓心坐標計算流程Fig.7 Calculation process of center coordinates

參考圖4 和5，點S1和點A1的坐標可以用列向量的形式表示為：

所以，將點A1的坐標作為輸入，用點面法可得點S2的坐標。

包絡圓2 的方程與平面y=0 聯立方程組可解得點B1的坐標：

上式有兩個解，一個為點A1的坐標，另一個為點B1的坐標。

所以，將點B1的坐標作為輸入，用點面法可得點S3的坐標。

點S4，S7，S8，S11的計算方法與點S2～S3類似。

用兩點法計算點S5的過程見式（6），點S9的計算方法與點S5類似。

另外，圖7 中關于平面的對稱關系（包絡圓5和6、9 和10 的圓心分別關于平面xoz對稱）是指，點S6和點S10的坐標可通過點S5和點S9的坐標得到：

所以，按照圖7 所示的圓心坐標計算流程，典型包絡圓的圓心坐標S1～S11均可被計算出來，代入式（4），即可得到對應包絡圓的方程。

將圖3 中的61 個模塊編號，得到模塊對應包絡圓的編號，如圖8 所示。

圖8 包絡圓編號Fig.8 Envelope circle number

根據模塊的拓撲規律，其余包絡圓的圓心坐標可由典型包絡圓（包絡圓1～11）的圓心坐標經坐標變換得到：

其中：n為包絡圓編號，取值范圍為：1～61；Rot（z，θ）為機器人學中繞z軸旋轉的坐標變換矩陣：

式（12）給出了剩余50 個包絡圓圓心坐標的計算方法，所以，五層共61 個模塊包絡圓的圓心坐標均已得到，將其代入式（4），即可得到對應包絡圓方程。

3.2.3 包絡圓交點坐標計算模型

模塊連接點的三維坐標是可展開天線支撐結構設計及形面精度分析過程中的一個重要參數。上述包絡圓模型中，相鄰包絡圓的交點即為對應六棱柱模塊的連接點，包絡圓交點坐標即為對應六棱柱模塊連接點的準確坐標。確定包絡圓模型中所有包絡圓交點坐標的方法，即為包絡圓交點坐標計算模型。

若包絡圓m和k相交，交點分別為W1和W2，那么點W1和W2的坐標可通過聯立兩個空間圓的方程來求解，即：

其中：Sm，Sk分別為包絡圓m和k的圓心坐標；m和k的取值范圍均為1～61；Sm，Sk的確定方法見式（12）。式（14）有兩個解，分別對應點W1和W2的坐標。

3.3 肋單元夾角數學模型

在保證所有肋單元的尺寸均相等的情況下，通過調整肋單元夾角的方法實現六棱柱模塊連接點均在同一個球面上的目標，所以，肋單元夾角與模塊連接點坐標一樣，是可展開天線支撐結構設計及形面精度分析過程中必須要確定的一組參數。由前文模塊拓撲規律可知，只拓撲五層時，一共有61 個六棱柱模塊，其中50 個模塊可由11 個典型模塊經陣列得到，所以，只需要研究典型模塊的肋單元夾角。典型模塊1～11 以及每個模塊的肋單元夾角，如圖9 所示。

確定所有肋單元夾角的方法（例如，五層時，圖9 中的α1～α66），即為肋單元夾角數學模型。

圖9 典型模塊肋單元夾角Fig.9 Rib unit angles of typical module

圖4 所示的六棱柱模塊有6 個肋單元夾角，分別為 ：∠A1S1A2，∠A2S1A3，∠A3S1A4，∠A4S1A5，∠A5S1A6，∠A6S1A1。以肋單元夾角∠A1S1A2為例說明肋單元夾角的計算方法，在△A1S1A2中，由余弦定理，可得：

六棱柱模塊內的其他5 個肋單元夾角以及其他模塊內的肋單元夾角計算公式均與肋單元夾角∠A1S1A2具有相同的形式，不同的僅是這一項。所以，為了用一個比較統一的形式來表達肋單元夾角的計算，定義函數F(x)：

其中，r為包絡圓半徑。

若W1和W2為空間中的兩點，那么，點W1和W2的距離為：

所以，圖9 中66 個肋單元夾角α1～α66的數學模型可表示為：

4 數值仿真分析

采用數值仿真軟件MATLAB，分別對包絡圓模型和形面精度分析模型進行驗證，并對肋單元夾角的變化規律進行分析。

4.1 包絡圓模型驗證

取參數R=4 701 mm，r=600 mm，五層共61個包絡圓的仿真模型，如圖10 所示，灰色半球面的半徑為R，61 個圓的半徑均為r，每個圓都是某個平面與球面的交線。

圖10 包絡圓模型（5 層共61 個包絡圓）Fig.10 Envelope circle model（61 envelope circles in 5 layers）

由圖10 可以看出：

（1）第一層包絡圓的數量為1，第二層為6，第三層為12，第四層為18，第五層為24。這表明每層模塊的數量與層數的關系正確，即式（1）是正確的，也即模塊的分層拓撲規律正確。

（2）五層共61 個包絡圓與球面吻合良好。這表明式（4）和式（12）所表示的包絡圓模型是正確的，同時也表明模塊的陣列拓撲規律正確。

（3）任意相鄰三個包絡圓有且僅有一個交點，前四層中每個包絡圓上均有6 個交點且交點分布較為均勻。這表明不改變肋長而僅改變肋單元夾角的結構設計思路可行，用包絡圓代表六棱柱模塊的建模思路（即包絡圓思想）可以準確地確定模塊連接點的坐標。

4.2 形面精度分析模型驗證

構成六棱柱模塊化空間可展開天線支撐結構的所有肋單元尺寸相等。肋單元的主要尺寸取表1 中的值，肋單元夾角由式（17）確定，參數R的值取4 701 mm，參數r的值取600 mm。

表1 肋單元主要尺寸Tab.1 Main dimensions of rib unit

將模塊化空間可展開天線支撐結構的形面精度分析模型在MATLAB 中用可視化的方式呈現出來，仿真結果如圖11 所示。由于模塊數量較多，部分繪圖細節無法全部展示，所以取第三層與第四層之間的A位置、第二層與第三層之間的B位置、第一層與第二層之間的C位置、第四層與第五層之間的D位置等4 個位置增加局部放大圖，以此來說明模塊是否實現了準確連接。

圖11 形面精度分析模型的MATLAB 仿真結果Fig.11 MATLAB simulation results of surface accuracy analysis model

由圖11 可以看出：

（1）通過對圖11 中的模型整體及4 個特征位置的局部放大圖的分析，發現模塊間可以實現準確連接，連接處的偏差為0。這說明通過形面精度分析模型計算得到的模塊連接點坐標和肋單元夾角是正確的。

（2）模塊數量越多，整個可展開天線支撐結構的外形越像一個“大六邊形”。這說明整個模塊化結構滿足60°環形陣列拓撲規律，整個模塊化結構可由若干個典型模塊經陣列得到。

（3）通過計算發現，隨著模塊數量的增加，越往外層，肋單元夾角需要調整的幅度（以60°為基準，下同）越大。

4.3 肋單元夾角與模型參數的關系分析

式（17）是肋單元夾角數學模型，該模型與模塊連接點的坐標有關，式（14）是模塊連接點坐標計算模型，該模型與參數R、r有關，所以肋單元夾角數學模型受參數R，r影響。由于模塊化可展開天線的拓撲方式靈活，可通過改變模塊的大小和數量來實現口徑的快速縮放，所以研究參數r對肋單元夾角的影響規律，對于實現相同口徑情況下模塊大小和數量的最優配置問題具有參考意義。

最外層模塊由于部分肋單元不受約束（在圖9 中，點F2，F3，G1，H1，J1，J2不受約束，故肋單元夾角α59，α60，α55，α43，α48，α54，α49，α66，α61，α62可 在一定范圍內隨意給定），第一層模塊由于肋單元夾角α1～α6始終為60°而不受參數r的影響，所以本文僅研究參數r對肋單元夾角α7～α42的影響。令參數r為變量，變化范圍為1～600 mm，參數R為：4 701 mm。由肋單元夾角數學模型得到角α7～α42隨參數r的變化曲線，如圖12 所示。

由圖12 可以看出：

圖12 肋單元夾角與參數r 的關系Fig.12 The relationship between rib unit angle and the parameter r

（1）當r趨于0 時，角α7～α42均趨于60°；當r逐漸增大時，肋單元夾角α8，α23，α20，α41，α38，α13，α28，α25，α31，α18，α33，α36，α30隨r增大而減 小，角α7，α15，α9，α11，α16的值一直為60°，其余18 個角隨r增大而增大。說明在R不變的情況下，r越大，肋單元夾角需要調整的幅度越大。

（2）在r增大的過程中，肋單元夾角α32和α29是角α7～α42中的最大角，肋單元夾角α38是角α7～α42中的最小角。說明隨著r的變化，角α38，α32和α29是肋單元夾角α7～α42中的一組極值，角α38，α32和α29的角度 可用于判斷r的取值 是否合理，若角α38，α32和α29偏離60°太多，則說 明r的取值不合適。

（3）模塊2 中，肋單元夾角α7，α9和α11隨參數r的變化曲線重合，α10和α12的曲線重合；模塊3 中，肋單元夾角α13和α18的曲線重合，α14和α17的曲線重合，α15和α16的曲線重合；所以模塊2 和3 的肋單元夾角變化線圖看起來只有3 條曲線。從模塊4 開始，曲線條數逐漸增多，說明模塊數量越多，肋單元夾角變化規律越復雜、對稱關系越不明顯。

5 試驗驗證

數字近景攝影測量是一種通過分析記錄在照片上的影像，來確定被測物體的位置、大小和形狀的非接觸式測量方法，具有測量精度高、速度快、適應性好、便攜性高等特點。本文采用美國GSI 公司研制的工業數字近景攝影測量系統V-STARS/S8 進行測量，該系統在10 m 范圍內測量精度可以達到0.08 mm，被測物體尺寸從0.5 m 到100 m 均可測量。

采用該方法對由7 個模塊組成的模塊化可展開天線支撐結構進行形面精度測量試驗，分析影響形面精度的特征點的誤差。單模塊樣機如圖13 所示。將模塊化可展開天線原理樣機安裝在微重力實驗裝置中，試驗布置如圖14 所示。以兩層共7 個模塊為試驗對象，研究模塊之間的連接精度。將模塊與模塊之間的連接點進行編號，如圖15 所示。

圖13 單模塊樣機Fig.13 Prototype of single module

圖14 形面精度測量試驗布置Fig.14 Test layout of surface accuracy measurement

圖15 特征點編號Fig.15 Feature point number

選取了12 個模塊連接點和7 個模塊中心點，共19 個特征點。通過攝影測量的方式測量圖15中19 個特征點的坐標，共開展10 次試驗，并取測量值的平均值。特征點坐標的理論值可通過第3小節計算得到，將19 個特征點坐標的理論值與測量值通過可視化的方式呈現出來，如圖16 所示。由圖16 可以看出，19 個特征點的實測值與理論值從宏觀角度觀察，其吻合度較高。

圖16 特征點測量值與理論值對比Fig.16 Comparison of measured and theoretical values

進一步分析，特征點坐標的實測值與理論值間的距離為特征點的絕對誤差，實測坐標到原點的距離相對于理論坐標到原點的距離為特征點的相對誤差，特征點的絕對誤差和相對誤差分別如圖17（a）和17（b）所示，絕對誤差和相對誤差的頻率分布直方圖分別如圖17（c）和17（d）所示。

由圖17（a）和17（b）可以看出，點17 的絕對誤差最大，點3 的相對誤差最大。通過分析發現點17 處于支撐結構的最外層，由于運動鏈較長，構件間連接后產生了積累誤差；點3 的相對誤差最大，其可能原因是由于該點離中心模塊的距離較近，相對誤差對這個距離參數比較敏感，一個較小的絕對誤差增量都可能引起相對誤差較大的變化。由圖17（c）和17（d）可以看出，絕對誤差主要分布在5～10 mm，共包含9 個點；相對誤差主要分布在0.05%～0.1%，共包含7 個點，表明誤差值是普遍偏小的。本文被測試對象的模塊化可展開天線原理樣機其展開尺寸約為3 m×3 m，測量系統的誤差約占絕對誤差的0.4%～1.6%，由此可見測量系統的誤差對結果影響較小，可以忽略。

將特征點的理論值和測量值代入式（15）～（17），可計算出肋單元夾角的理論值和測量值，測量值與理論值之差的絕對值為肋單元夾角的絕對誤差。由于第一層模塊中肋單元間的夾角均為60°，故取第二層模塊中受結構約束的肋單元夾角進行分析，即圖9 中角α10（因α10=α12，選擇其一即可），研究第二層中6 個α10的絕對誤差。如圖18 所示。

圖18 肋單元夾角的絕對誤差Fig.18 Absolute error of rib unit angle

由圖18 可以看出，肋單元夾角絕對誤差的最大值為0.5°，其余多分布在0.05°～0.1°之間，誤差較小。在樣機的裝配過程中，該誤差值可通過桿件的彈性變形進行補償。

由以上分析可見，在加工誤差、安裝誤差等因素的影響下，特征點的測量值與理論值偏差較小，支撐結構展開后具有較高的精度，表明所提出的模型是正確的。

6 結論

本文提出一種超多模塊六棱柱模塊化空間可展開天線支撐結構形面精度分析模型，采用數值仿真軟件對模型進行了仿真分析，并開展了支撐結構特征點空間坐標測量試驗。通過研究，得到如下主要結論：

（1）六棱柱模塊的拓撲變換具有較強的規律性，模塊化可展開天線支撐結構可由若干個典型六棱柱模塊經環形陣列形成。

（2）數值仿真模型表明，依據所建立的形面精度分析模型可以實現各模塊間的準確連接，并能夠求解出形面精度分析用連接點的空間坐標。

（3）肋單元夾角是影響支撐結構連接精度的一個重要參數，主要受拓撲層數i、擬合球半徑R和包絡圓半徑r的影響。當參數R=4 701 mm、r=600 mm、i=4 時，肋單元夾角的最大值和最小值分別為：68.57°和45.35°，改變這3 個參數的配置，可讓夾角的最值更趨于60°。

（4）特征點的測量值與理論值偏差較小，絕對誤差主要分布在5～10 mm 之間，相對誤差主要分布在0.05%～0.1%之間，支撐結構具有較高的展開精度，該模型可為超多模塊可展開天線形面精度的研究提供理論參考。