面向在軌裝配的冗余索并聯機構變剛度控制

于金山，李 瀟，王國星，陶建國*，王浩威

（1.哈爾濱工業大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.北京空間飛行器總體設計部，北京 100094；3.北京衛星制造廠有限公司，北京 100094）

1 引言

隨著航天技術的發展，航天器的結構尺寸越來越大。很多大型航天器如空間天線、大型SAR衛星等，其結構尺寸超出了運載火箭的裝載體積。因此，大型空間結構需要采用在軌裝配的方式［1］。按照有無人直接參與，在軌裝配可分為有人在軌裝配和無人在軌裝配兩種類型［2］。有人在軌裝配是指由航天員操縱工具直接進行在軌裝配作業，在此過程中航天員身體會暴露在惡劣的空間環境中，因此該方式具有很大的危險性。無人在軌裝配是指借助空間機器人或機械臂采用遙操作或自主操作的方式進行在軌裝配作業。該方式具有很高的安全性，可以滿足長期工作要求，因此成為了在軌裝配的主要方式。

目前，空間在軌裝配操作任務所采用的機械臂多為桿支撐串聯機械臂［3］。這種機械臂的特點是控制方便；但是當關節數量較多時質量會極大地增加，提高了系統能耗，此外，當臂桿較長時機械臂的剛度會降低，因此難以滿足大跨度、高精度的在軌裝配需求。相對于桿支撐串聯機構，索并聯機構結合了繩索驅動的優勢和并聯機構［4-5］的特性，具有結構簡單、易于構建、質量輕、工作空間大以及承載能力強的特點［6］，廣泛應用在起重［7］、天文觀測［8］及飛行器風洞試驗［9］等領域。由于具有這些特點，索并聯機構在空間在軌裝配領域具有良好的應用前景。

索并聯機構的剛度是影響其工作性能的一項重要指標，它在提高系統穩定性以及降低系統振動方面扮演著重要角色。繩索作為柔性體具有彈性，這不可避免地對系統的剛度產生了消極的影響，尤其是在繩索較長的情況下。這種影響造成機構定位精度下降。然而，較低的剛度能提高機構的柔順性，這對于一些接觸性作業是有利的。Verhoeven 等研究了索并聯機構的工作空間、剛度和奇異性，并通過仿真分析了不同位置處機構的剛度，但在研究過程中忽略了繩索拉力對機構剛度的影響［10］。事實上，由于應力剛化原理［11］，繩索拉力對索并聯機構的剛度具有重要影響。王克義等對一種索牽引康復機器人進行了研究，在運動學和動力學方程的基礎上，通過仿真分析了繩索彈性對機器人運動控制的非線性影響，但在繩索彈性對機器人影響機理方面缺乏更為深入的研究［12］。隋春平等根據微分變換原理對一種3 自由度索驅動并聯操作臂的剛度進行了分析，發現操作臂的剛度與繩索拉力有關，在此基礎上通過位置和張力混合控制策略對操作臂進行了剛度控制［13］。但該方法只針對具有一個冗余度的四索三自由度并聯機構，對于更多冗余度的索并聯機構的剛度控制有待進一步的研究。Behzadipour 等首先建立了單根繩索的剛度模型，然后進一步建立了多根繩索組成的索并聯機構的剛度模型［14］。該研究在建立索并聯機構完整剛度模型的基礎上，重點研究了機構穩定性與剛度模型的關系，卻未對機構的變剛度問題進行深入研究。劉欣等基于微分變換和線幾何理論，建立了包含關節彈性變形以及繩索張力等因素的索并聯機器人剛度模型，通過大射電望遠鏡5 m 縮尺模型進行了實驗驗證［15］，但未在該模型的基礎上進行剛度控制方面的研究。Yeo 等研究了索并聯機構的變剛度特性，考慮到在繩索張力范圍較小的情況下，通過改變繩索張力難以使機構剛度產生有效的變化，因此設計了一種由扭矩彈簧組成的變剛度機構，但該機構的引入增加了系統設計和控制的復雜性［16］。Jamshidifar 等設計了一種冗余運動學約束的索并聯機構，對冗余繩索張力對機構剛度的影響進行了研究，并且以期望方向的剛度最大化為目標對機構進行了剛度控制［17］，但在控制過程中只考慮了繩索拉力約束，未進一步考慮避免外界擾動力導致繩索過度張緊或松弛的安全邊界。Nelson 提出了一種提高索并聯機構剛度的方法，即將繩索與運動平臺鉸接點變為滑輪，繩索穿過該滑輪后再與支架固連，這種方法可以使實際繩索數量增加為原來的一倍，顯著提高了機構的剛度［18］，但該方法增加了滑輪的數量，一定程度上也增加了繩索的數量，提高了系統的復雜性，還會導致機構的工作空間有所減小。Picard 等提出了一種面向剛度的索并聯機構張力分布算法，用來降低運動平臺因外力干擾導致的位移，通過仿真和實驗驗證了算法的有效性［19］，但該研究只考慮了機構某單一方向（側向）的剛度，未能建立考慮多個方向剛度的張力分布算法，在應用中具有一定的局限性。

以上研究中，有些對影響索并聯機構剛度的因素考慮不全面，所建立的剛度模型不完整，從而限制了它在控制中的應用；有些改變機構剛度的策略只能應用于某一種特定構型的機構，局限性很大；還有一些研究提出了用來改變機構剛度的設計方案，但增加了機構元件的數量，提高了系統的復雜性。本文針對大型空間結構的在軌裝配任務，提出了大跨度索并聯機構方案，即通過驅動多根繩索牽引執行器進行在軌裝配作業。針對該冗余索并聯機構的剛度展開研究，為了提高它在不同工況下的工作性能，提出了一種變剛度控制算法，該算法無需增加元件，通過直接調節繩索張力的方式使期望方向的剛度達到理想要求；同時考慮機構不同方向的剛度，通過分配權重的方式對多個方向的剛度進行不同優先級的控制。仿真與實驗驗證了該變剛度控制算法的性能，尤其在改變索并聯機構薄弱方向的剛度方面具有良好的效果。本文所提的變剛度控制算法也可應用于不同類型的冗余索并聯機構中。

2 機構描述及剛度模型建立

2.1 機構描述

圖1 為面向在軌裝配的索并聯機構示意圖，它主要由框架、驅動單元、繩索以及運動平臺組成。驅動單元包含電機、減速器及滑輪等元件，通過驅動繩索牽引運動平臺實現大范圍的運動。運動平臺上面安裝有各種適配器［20］，用于執行在軌裝配過程中的夾持、旋擰等操作。

圖1 面向在軌裝配的索并聯機構示意圖Fig.1 Schematic diagram of cable-driven parallel mecha?nism for on-rail assembly

本文所設計的索并聯機構預期安裝空間為一長方體區域，運動平臺形狀為長方體，其幾何參數如表1 所示。由于繩索具有單向受力性，因此索并聯機構必須采用冗余驅動的方式，即繩索數量必須大于運動平臺的自由度數，從而實現對運動平臺的完全約束［21］。在軌裝配作業中，運動平臺需要實現空間內6 個自由度的運動。為了滿足機構約束要求，同時使布局具有對稱性，選取繩索數量為8，其構型如圖2 所示。

圖2 索并聯機構構型示意圖Fig.2 Schematic diagram of cable-driven parallel mecha?nism configuration

表1 索并聯機構幾何參數Tab.1 Geometric parameters of cable-driven parallel mechanism

該構型采用繩索上下交叉布局的方式，即頂部的4 個出繩點通過繩索與運動平臺底部的4 個頂點相連，底部的4 個出繩點與運動平臺上部相連。為了避免繩索發生干涉，運動平臺上部的4個繩索連接點并不位于頂點位置，而是向中間移動一段距離。這種構型可以使機構具有更大的承載能力，同時可以使運動平臺實現更大的傾轉角度［22］。

在空間環境中，繩索不會產生由于重力作用導致的懸鏈線變形，因此可以直接建立為直線模型。圖2 中，O-XYZ為全局坐標系，P-xyz為局部坐標系。Bi和Pi（i=1，2，...，8）分別表示繩索出線點和運動平臺連接點。Obi為出繩點在全局坐標系中的位置矢量，O p為局部坐標系原點在全局坐標系中的位置矢量，pi為繩索與運動平臺連接點在局部坐標系中的位置矢量，ORP為局部坐標系到全局坐標系的旋轉矩陣。

單位繩索矢量可表示為：

令ti=tiui(i=1，2，...，8)為繩索拉力矢量，ti為繩索拉力值，fp為運動平臺所受外力，τp為運動平臺所受外力矩。由力平衡條件可得：

式（2）和式（3）合并得到：

2.2 剛度矩陣

當作用在運動平臺上一個微小外力旋量dF時，運動平臺會產生一個微小位姿變化dX，因此索并聯機構的剛度可表示為：

式中K為索并聯機構的剛度矩陣。把式（4）代入式（5），得：

可以看到索并聯機構的剛度矩陣由兩部分組成，將這兩部分分別設為K1和K2。對K1進行計算得到：

索并聯機構的雅可比矩陣為：

式中：L為繩索長度矩陣，L=[l1l2...l8]T。J與索并聯機構的結構矩陣互為轉置。

把式（9）代入式（8），得：

令ki為繩索i的剛度，則：

式中：Ei為繩索i的彈性模量，Ai為繩索i的截面面積，loi為繩索i的初始長度。則式（10）中：

把式（12）代入式（10），得到：

于是得到索并聯機構的完整剛度矩陣：

3 索并聯機構變剛度控制策略

由式（14）可以看出，索并聯機構的剛度不僅與繩索剛度有關，還與繩索張力有關，因此，與繩索剛度有關的K2稱為被動剛度，與繩索張力有關的K1稱為主動剛度［15］。在索并聯機構位姿確定的情況下，通過調節繩索張力可以改變索并聯機構的剛度，實現機構的變剛度控制。對式（4）進行求解，得：

式中：JT+為JT的Moore-Penrose 逆，JT+F為式（4）的特解。N=nul（lJT）為結構矩陣JT的零空間，N∈R8×2，λ=[λ1λ2]T為任意矢量。Nλ為式（4）的齊次（零空間）解，其表現為索并聯機構的內力，對運動平臺整體不產生力作用。由于繩索只能受拉而不能受壓，因此繩索張力必須大于零。而在求解過程中，并不能保證特解JT+F的所有元素為正，這會違反繩索張力大于零的要求，因此可以通過設置任意矢量λ的值來調節齊次解部分，使整體繩索拉力大于零。

在實際應用過程中，為了避免繩索發生虛牽，索并聯機構的繩索拉力應高于一個最小值-t。此外，受驅動器最大驅動力矩以及繩索許用拉力（與繩索抗拉強度、繩索橫截面積等有關）的限制，繩索拉力存在上限值-t。因此，繩索拉力的約束條件為：

于是，求解索并聯機構繩索拉力矩陣T的問題可以簡化為求解λ，使之滿足繩索拉力約束條件式（16）。令滿足約束條件的矢量λ的集合為Λ，其在二維空間內呈現為多邊形，如圖3所示。

圖3 矢量λ 集合Λ 的可行多邊形Fig.3 Feasible polygon of λ set Λ

綜上，當索并聯機構的位姿確定時，在滿足繩索拉力約束條件的情況下，通過調節任意矢量λ可以改變繩索的拉力分布，從而實現對機構的變剛度控制。

剛度矩陣中的主對角線元素分別為機構沿x，y，z軸的平動剛度Kx，Ky，Kz以及繞各軸的旋轉剛度Kα，Kβ，Kγ，非對角線元素為不同方向的耦合剛度，如下：

由于非對角線元素相對整個剛度矩陣的影響很小，因此在研究中通常只針對主對角線元素進行分析。以運動平臺位姿X=［00 12.5000］T為例，設置繩索拉力下限值-t和上限值-t分別為100 N 和2 000 N，繩索采用直徑為2 mm 的Dyneema 繩。當運動平臺所受外力為0 時，計算得到不同繩索拉力分布對索并聯機構剛度的影響，如表2 所示。

由表2 可以看出，主動剛度K1與被動剛度K2相比較小。以繩索張力約為100 N 時為例，索并聯機構由主動剛度K1產生的3 個平動方向的剛度（K1（1，1），K1（2，2），K1（3，3））遠小于被動剛度K2的3個平動方向剛度（K2（1，1），K2（2，2），K2（3，3））。隨著索并聯機構張力的增加，主動剛度K1的值顯著增大，但與被動剛度K2相比仍然具有很大差距。因此，在被動剛度較大的情況下，通過改變繩索張力的方式調整機構整體剛度不會產生明顯的效果。值得注意的是，在被動剛度較小的方向（繞z軸的旋轉剛度Kγ），通過增大繩索拉力可以顯著提高該方向的剛度。在繩索拉力約為100 N 時，繞z軸的旋轉剛度Kγ=1 714 N/rad；當繩索張力增加到約1 000 N 和2 000N 時，該方向的旋轉剛度分別達到7 130 N/rad 和13 200 N/rad，因此，在索并聯機構剛度較低的方向，通過改變繩索張力的方式可以取得良好的變剛度效果。此外，非主對角線元素位置的耦合剛度相對極小，對整體剛度的影響可以忽略。

表2 不同繩索拉力分布對索并聯機構剛度的影響Tab.2 Influence of different tension distribution on stiffness of cable-driven parallel mechanism

進一步分析矢量λ變化對旋轉剛度Kγ的影響，如圖4 所示。可以發現，隨矢量λ的變化，旋轉剛度Kγ變化顯著，且剛度極值發生在繩索約束條件的極限部分。

圖4 矢量λ 變化對Kγ 的影響Fig.4 Influence of λ on Kγ

考慮到在矢量λ集合Λ 的可行多邊形邊界位置處，繩索拉力處于約束條件的極限值，此時在有外力擾動的情況下，繩索會發生過度張緊或松弛，使得繩索拉力超出約束條件的邊界值，導致系統失效或破壞。為了避免這種情況，定義了可行多邊形的安全邊界［19］，如圖5 所示。圖中，λBC為可行多邊形的質心，λM和λSM分別是可行多邊形邊界和安全邊界上的點，且為介于(0，1)之間的系數，用于限定安全邊界所包含區域的范圍。

圖5 矢量λ 可行多邊形安全邊界Fig.5 Safe margin of feasible polygon of λ set

為提高計算效率，消除剛度矩陣中對整體影響極小的耦合項，只保留主對角線元素，將它改寫為矢量形式：

期望剛度為：

期望剛度與實際剛度的差值為：

于是索并聯機構的變剛度控制可轉化為優化問題（見式（21）），即在滿足安全邊界條件的情況下，通過調節矢量λ來改變繩索張力，從而使實際剛度最大程度接近期望剛度。

式中 ：W為權重對角矩陣，W=由于使索并聯機構所有方向的剛度均達到期望剛度值是不可能也是不必要的，因此，可以通過分配權重的方式使機構某個方向的剛度優先被控制，從而達到理想的變剛度效果。該優化問題的求解算法流程如圖6 所示。

圖6 求解優化問題算法的流程Fig.6 Flow chart of algorithm for solving optimization problems

4 仿真與實驗

4.1 ADAMS 仿真

以運動平臺搭載適配器進行旋擰操作為例，如圖7 所示。操作時，運動平臺需要承受z向的擾動力fp和擾動力矩τp，因此要求機構在這兩個方向上具有較強的剛度。設在位姿X=［0012.5000］T處，z方向平動剛度的期望值Kdz=8 000 N/m，轉動剛度期望值Kdγ=12 000 N/rad。由表2 知z方向的平動剛度較大，且繩索拉力分布對其影響不明顯，因此只考慮z方向旋轉剛度的控制，取權重對角矩陣W的元素w66=1，其余元素為0，安全邊界系數ξ設為0.8，則通過變剛度控制算法計算得出繩索張力分布為：

圖7 旋擰操作時運動平臺受力Fig.7 Force diagram of moving platform during screwing operation

此時Kz=9 309 N/m，Kγ=10 091 N/rad。由于受安全邊界限制，為了避免繩索張力在擾動力的作用下超出約束條件，轉動剛度值Kγ未能達到期望值，而在安全邊界處達到最大值。

在ADAMS 環境下采用繩索模塊建立索并聯機構的模型，如圖8 所示。對8 根繩索分別施加由變剛度控制算法得出的拉力分布值，在運動平臺上施加微小載荷，求解載荷方向的變形量，從而測量索并聯機構的實際剛度，計算結果與理論結果如表3 所示。

圖8 ADAMS 中索并聯機構的模型Fig.8 Model of cable-driven parallel mechanism in AD?AMS

表3 索并聯機構剛度的理論值與測量值比較Tab.3 Comparison of theoretical and measured stiffness of cable-driven parallel mechanism

對比剛度的測量值與理論值，發現測量值相對理論值較小，這是由于在ADAMS 環境中建模時，為了使繩索可以繞過滑輪，對繩索進行了一定程度的延長，從而降低了機構的剛度。此外，引入滑輪使得出線點的實際位置相對理論位置發生了較小的變化，帶來了一定的誤差。整體來看，測量值與理論值的誤差不大，驗證了剛度模型的正確性。

在該模型的基礎上，進一步驗證變剛度控制的性能。在運動平臺的z方向施加擾動力fpz（t）和擾動力矩τpz（t）如下：

分別對8 根繩索施加采用本文提出的變剛度控制算法求解出的繩索張力以及未考慮變剛度的質心法（即λ取值為可行多邊形質心λBC［23］）求解出的繩索張力，分析施加上述擾動時運動平臺的振動情況，結果如圖9 所示。

圖9 擾動力和力矩導致的運動平臺的振動Fig.9 Vibration of moving platform caused by distur?bance force and torque respectively

由圖9（a）可以看出，兩種不同求解方法求解得到的繩索張力在抵抗z向擾動力方面的作用沒有明顯區別。這是由于本文所研究的索并聯機構在z向具有較強的被動剛度，因此在該方向上，由繩索張力產生的主動剛度對整體剛度無顯著影響。而對于z向轉動剛度，由于該方向的被動剛度較弱，因此通過改變繩索張力的方法可以明顯改善整體剛度。由圖9（b）可以看出，對繩索施加由未考慮剛度的繩索張力分布算法得出的繩索張力時，運動平臺在擾動力矩的作用下產生較強的振動。而在該方向設定較強的期望剛度時，對繩索施加通過變剛度控制算法得出的繩索張力后，運動平臺的振幅明顯減弱，由2°降為1.3°，振動降低了35%。因此，本文提出的變剛度控制算法可以有效改變索并聯機構薄弱方向的剛度，使該方向的剛度滿足期望要求，從而極大地改善系統的性能。

4.2 樣機實驗

本文所提出的索并聯機構變剛度控制算法不只適用于冗余度為2 的索并聯機構，也可適用于冗余度為1 或更高冗余度的索并聯機構。其區別在于當冗余度為1 時，λ可行多邊形降維成一條線段，而對于冗余度較高的索并聯機構，λ可行多邊形轉化為空間三維多面體或更高維度的超多面體，其安全邊界也會相應發生變化。本文在已有的一種四索并聯機構樣機（圖10）的基礎上，對變剛度控制算法的性能進行了實驗驗證。該四索并聯機構由4 臺伺服電機驅動卷軸轉動，進而帶動繩索牽引運動平臺進行運動。每根繩索一端與卷軸連接，另一端繞過拉力傳感器與運動平臺相連。拉力傳感器可以對繩索拉力進行實時測量，用于樣機的力反饋過程。樣機的相關參數如表4 所示。

圖10 四索并聯機構樣機Fig.10 Prototype of four-cable driven parallel mechanism

表4 四索并聯機構樣機參數Tab.4 Prototype parameters of four-cable parallel mecha?nism （mm）

該索并聯機構在豎直方向上（z向）的被動剛度為0，因此，可以通過控制繩索拉力的方式提高其z向的主動剛度，從而提高該方向的整體剛度。以運動平臺處于中心位置為例，設置繩索拉力為[10，300]N，只考慮z向剛度，取權重對角矩陣W的元素w33=1，其余元素為0，安全邊界系數ξ設為0.9，通過變剛度控制算法使其z向理論剛度值分別達到800 N/m 和1 000 N/m。將運動平臺懸空放置，在z向施加一系列不同大小的力，測量其微小位移量，計算得出實際剛度。實驗結果如圖11 所示。

從圖11 可以看出，四索并聯機構樣機在z方向的剛度測量值小于理論值，這是因為每根繩索的實際長度大于理論長度。此外，卷軸受力后也產生了一定的變形量，這也是造成樣機剛度測量值降低的一個重要因素［19］。兩種情況下剛度測量值的相對理論值誤差分別為16.3% 和14.6%，結合文獻［19］，該誤差在可接受的范圍內。

圖11 四索并聯機構剛度測量結果Fig.11 Measurement results of stiffness of four-cable driven parallel machenism

5 結論

本文對一種面向在軌裝配的冗余索并聯機構的剛度進行了分析，建立了其完整剛度模型。其次，分析了繩索張力分布對不同方向剛度的影響。然后，考慮影響繩索張力分布的矢量λ的安全邊界，建立了索并聯機構的變剛度控制算法，該算法消除了剛度模型中對整體影響較小的耦合剛度，提高了計算效率，并且可以通過分配權重的方式對不同方向的剛度進行不同優先級的控制。最后，以旋擰操作為例進行仿真，結果表明：在對運動平臺施加擾動力時，相較于未考慮變剛度的索力分布，采用變剛度控制算法求解出的索力分布可以使薄弱方向的振動降低35%。樣機實驗結果表明，在對索并聯機構樣機進行剛度控制后，剛度的測量值與理論值具有較強的擬合性，誤差分別為16.3%和14.6%。本文的變剛度控制方法可以有效改變索并聯機構薄弱方向的剛度，使其達到預期剛度值。這對于提高系統的性能具有重要意義。