四桿張拉整體單元的彎曲變形

羅阿妮，鄒云濤，肖詩松，劉賀平

（哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001）

1 引言

張拉整體是由連續受拉索和離散的受壓桿構成的空間結構［1］，所有受拉索連續、受壓桿分散，且只承受軸向力，因而材料利用率高。在穩定構型中，桿、索構件的自由度均為零，并且破壞掉任意一根桿、索構件，整個結構都會發生坍塌。結構既不是冗余的，也不是過約束的，具有一定的連續性［2］，可以通過調整個別構件來改變整體剛度。不論是自然狀態下還是受到沖擊振動，不利因素都可以自動分散至整個結構，找到穩定狀態。

張拉整體作為一種空間可展結構，具有獨特的構型方式，被廣泛應用于伸展臂［3-4］、載體運輸工具［5］、橋梁、建筑［6-7］、以及多種藝術品［8］中。Schorr［9］等人利用曲桿代替直桿，通過控制模型的整體重心使張拉整體實現二維平面的滾動，張拉整體曲桿的建立方式為彎桿張拉整體彎角節點提供了幫助。Li［10］等人將張拉整體應用于交通吸振，提出一種混合張拉整體支撐柱，該支撐柱可有效減少因車輛碰撞或其他因素產生的不利振動，耗散因振動而產生的能量，將張拉整體優良的緩沖、吸振及自穩定性應用到實際工程中。Liu［11］等人將球形張拉整體部分索構件用彈簧代替，增強了張拉整體的緩沖性能，為張拉整體壓縮提供一種方式，但整體剛度變小、穩定性變差。González 等人［12］通過驅動部分構件或全部構件實現模型從初始狀態至完全壓縮，找出模型在壓縮過程中始終保持穩定的一種方式，為研究張拉整體在壓縮過程中的節點坐標變化奠定基礎。Kan［13］等人分析了多層張拉整體節點的展開速度和展開過程中的振幅和振動頻率。他們的分析方法同樣可應用于研究張拉整體的壓縮過程，如壓縮速度對結構的動態響應、壓縮過程系統的穩定性等。

張拉整體具有質量輕、折展比大、緩沖抗振能力強、材料利用率高及使用條件不嚴格等特點，因此成為了空間結構領域的研究熱點。但是張拉整體自身幾何尺寸的限制，在某些情況下載物與壓桿間會產生干涉，如果偏轉角選擇不當，自身桿構件也會發生干涉。這就對如何保持原有的結構特性，增大內部有效利用空間，提高緩沖性能，實現一定的自身折展［14-15］提出了更高的要求。本文對張拉整體軸向折疊方式及折展特性進行了理論分析及實驗研究，提出了兩種張拉整體軸向折疊的方法，不僅避免了桿構件間的干涉，而且提高了有效利用空間。

2 張拉整體基本單元的構建

2.1 四桿張拉整體基本單元

圖1 為四桿張拉整體基本單元（彩圖見期刊電子版）。構成單元的基本要素是：下底面圓上均勻分布4 個節點n1，n2，n3，n4，任意兩個相鄰節點與下底面圓圓心均成90°，4 個節點構成正方形；距離下水平面為h的上方以同樣的形式均布4 個節點，并且上下水平面間形成一定單元內轉角φ。藍色表示受壓桿構件，紅色表示受拉索構件，構件均勻分布，并具有一定的對稱性。每個節點都有4 個構件相連接，并且受力是平衡的。

圖1 四桿張拉整體基本單元結構示意圖Fig.1 Schemati diagram of 4-bar basic tensegrity unit

2.2 節點坐標

該系統的基本工作原理為：張拉整體節點坐標是構件張拉整體結構的基礎，得到節點坐標便可知任意桿、索的空間位置和長度，節點坐標也是判斷結構是否穩定的主要依據。四桿張拉整體共有8 個節點，下水平面節點坐標用Nd表示，上水平面節點用Nu表示，R為上下水平面外接球半徑，節點矩陣表示如下：

式中i∈(0，1，2，3)。當四桿張拉整體單元穩定時，偏轉角φ為：

2.3 連接矩陣

連接矩陣是將節點與節點間相互連接的介質，它能將節點坐標與矢量聯系在一起。構件的兩端點分別為起始點和終點，對于4 桿張拉整體，每節點有4 個構件與之相連，所組成的連接矩陣為連接桿構件與桿構件間的矩陣成為桿連接矩陣連接索構件與索構件間的矩陣成為索構件矩陣，它們的關系如下：

連接矩陣中元素僅由0，-1，1 構成，表1 為連接矩陣各元素的含義。

表1 連接矩陣中各元素的含義Tab.1 Element meanings of connection matrix

則上圖中的桿連接矩陣為：

索連接矩陣為：

2.4 矢量矩陣

張拉整體構件矢量是將節點向向量進行轉換的一種方式，通過終點坐標與起始點坐標做差得到構件矢量。構件矢量的向量長度即為桿構件長度，起始點向量已知，便可以表示出桿構件的空間位置。圖2 為四桿張拉整體構件矢量示意圖。

圖2 張拉整體構件矢量示意圖Fig.2 Schematic diagram of component vectors of tensegrity

桿構件的矢量矩陣為：

索構件的矢量矩陣分為上、下水平索以及分布在上下水平索中間的斜索3 部分，其表達式為：

3 四桿張拉整體軸向折疊

3.1 軸向折疊的意義

張拉整體是一種自平衡結構，任意構件受力時，該桿件的受力變形會發散至整體結構，使整體結構分散均勻受力，具有良好的穩定性。受拉構件分布在周圍，受壓構件分布在內部，有效地減小結構內部的損傷程度。由于只承受軸向力，并且構件材料利用率高，張拉整體的構件數目少、質量輕。

四桿張拉整體在構型不同時其力學性能是不同的，它共有3 種穩定構型。其中，第二種穩定構型桿構件間是相互干涉的，并且桿數越多相互干渉越嚴重。為了使張拉整體結構使用前占用空間小，需對結構進行軸向壓縮。對張拉整體軸向加力時，索構件進一步被拉伸，桿構件進一步被壓縮，但桿構件的軸向變化率較小，超過某根桿構件可承受強度，還可能造成整體模型的破壞。

3.2 軸向壓縮方式

張拉整體軸向壓縮過程中，桿構件進一步被壓縮，索構件進一步被拉伸，因此軸向壓縮主要有兩種方案：

方案一：將受拉索構件更換為具有較大彈性的構件，例如在索構件中添加彈簧，將張拉整體斜索用彈簧代替［16］，如圖3 所示，也可以將水平索用彈簧代替。

圖3 張拉整體斜索等效替換Fig.3 Vertical string equivalent substitution of tensegrity

方案二：將桿構件復雜化，將單根直桿變成帶有套管的組合構件，套管中間放置彈簧［16］結構，兩端分別與桿構件相連，實現桿構件的壓縮，如圖4 所示。

圖4 伸縮桿Fig.4 Telescopic bar

這兩種方法均添加了額外的彈簧結構，當模型下降至全模型高度的60%時，桿構件間發生干渉，軸向無法繼續壓縮。

4 彎桿張拉整體設計

為了解決上述問題，本文將張拉整體直桿變成彎桿。張拉整體直桿變為彎桿不僅可以改變張拉整體承受軸向力時桿構件的受力方式，而且解決了直桿間干涉的問題。當施加軸向力時，整體構件會隨著外力的增大發生明顯的形變，這就使張拉整體在外力的作用下儲存了一部分能量。很多領域將張拉整體作為緩沖裝置，如NASA 航天局外太空探測器的緩沖投放裝置、深海領域探測器的緩沖投放裝置、陸地補給箱的緩沖投放裝置等。張拉整體直桿變彎可實現軸向壓縮，減小占用空間，并且提升緩沖性能，為張拉整體的伸展性及折疊性提供了一種新的思路。

4.1 模型節點的構建方式

彎桿張拉整體是在傳統直桿平行面張拉整體結構的基礎上，添加彎曲角度θ，將內部的直桿變彎。張拉整體彎桿節點在整體高度H的一半處，這樣建立起來的彎桿張拉整體仍然為完美的對稱結構，便于力學研究。

彎角處節點坐標的求解方式有二種。首先，為保證結構對稱性，彎角節點選在α=H/2 平面處，且過桿構件端點nj，nj+p的中垂面β上。在這種條件約束下，彎角節點坐標被限制在一條直線上。圖5 為彎角節點坐標與兩平面間的關系，即直線Am為兩平面相交所得。將直線njnj+p的中點設為A，在交線上除A點外任取一點m與兩端點相連會形成∠njmnj+p。預設彎桿張拉整體彎曲角度，可以找到確定的兩個點，令m'為m點關于點A的對稱點。為了增大內部空間，m點與m'點中有一點是向外彎曲的，另一點則是向內部彎曲（舍棄）。這樣每給出一個確定的彎曲角度就會的到一個確定的彎點，這種思路適用于任意桿數P的彎桿張拉整體。

圖5 彎曲節點的坐標空間位置Fig.5 Coordinate space position of bending nodes

其次，為了方便實現彎桿張拉整體模型的繪制，通過向量合成方式得到圖像。欲得到m點的準確坐標，需要得到nj A，∠mnj A。通過水平面的法向量，即向量［0，0，1］與njnj+p方向向量做外積得到Am方向向量，方向向量取模后便得到單位方向向量。該向量長度為：

A點坐標為(nj+nj+p)/2，從A點出發做向量Am，向量終點m即為彎桿張拉整體彎角處坐標。通過繪圖命令將中點m分別與原直桿兩端點相連，得到彎桿張拉整體結構示意圖。該方法同樣適用于任何構型，任何桿數的張拉整體。

彎桿角度為150°，H=270 mm，Ru=Rd=200 mm，P=4 的3 種結構示意圖如圖6 所示，從左到右單元內轉角分別為135°，180°，225°。

圖6 四桿彎曲張拉整體Fig.6 Four-bar bending tensegrity

4.2 基本參數之間的關系

張拉整體構型具有很強的規律性，已知一些參數，如上底面半徑Ru，下底面半徑Rd，高度H，偏轉角φ，便可以得到p-1 種確定的構型。當構型確定后，張拉整體結構也唯一確定。然后，進一步給出彎曲方向及彎曲角度λ，那么彎角處的節點坐標也唯一。這里從節點坐標出發，推導出彎桿長度、彎曲角度和斜索長度之間的關系。

在得到彎曲前桿構件長度后，根據斜桿彎曲角度得到每一根彎桿的長度，如圖7 所示。利用相同的方法對任意p桿，任意p-1 種構型進行推導，得到桿索長度的一般表達式。第j種構型節點1 斜索與節點p-（j-1）相連，節點1 桿構件與節點p+1 相連，單元內轉角φ=π/2+jπ/p，彎桿角度為λ。節點1、節點p+1、節點p-（j-1）的坐標如下：

圖7 彎桿長度Fig.7 Bending length

其中：i=p+1，p?(j?1)。

桿構件長度為：

斜索長度為：

彎桿張拉整體彎曲角度為λ，由三角函數關系得每一根彎桿長為：

4.3 結構分析

在張拉整體模型中節點所連接桿構件的數目稱為張拉整體階數，一階、二階張拉整體如圖8所示。一階張拉整體每個節點有且僅有一根桿構件相連，二階張拉整體每個節點有且僅有兩個桿構件相連。張拉整體的復雜程度隨著階數的增加而提高。

圖8 不同階數的張拉整體Fig.8 Tensegrity with different orders

彎桿張拉整體在直桿基礎上，添加角度利用彎桿代替直桿，其復雜程度介于一階與二階之間。在中間平面彎曲節點處，每個節點連接兩根桿構件，而對于未發生變化的上、下水平面處的節點仍連接一根桿構件。在同一張拉整體模型中，既有連接一根桿構件的節點，也有連接兩根桿構件的節點，故可將彎桿張拉整體理解為一階向二階過渡的一種結構。相比于直桿張拉整體而言，彎桿張拉整體在中間平面增加了彎角節點，因而原有的節點矩陣、連接矩陣和構件矩陣維度等均會發生變化。彎曲節點表達式稍復雜，這里僅用mx，my表示。

對于P桿直桿張拉整體，節點數為2P，節點矩陣維數為3?2P；彎桿張拉整體將直桿一分為二，因而節點數變為3P，節點矩陣維數為3?3P。當P=4，j=1 時，節點矩陣為：

直桿連接矩陣2P個節點，P根桿，3P根索，直桿連接矩陣維數為：2P?4P；彎桿張拉整體索數量不變，桿數由P變為2P，因此彎桿連接矩陣維數為：3P?5P。當P=4，j=1 時，連接矩陣為：

構件矩陣是節點矩陣與連接矩陣的乘積。直桿張拉整體共P根桿構件，3P根索構件，共4P個向量，直桿構件矩陣維數為：3?4P；彎桿張拉整體共2P根桿，索構件數量不變，彎桿構件矩陣維數為：3?5P。當P=4，j=1 時，構件矩陣為：S=，仍然是彎桿節點矩陣與彎桿連接矩陣的乘積。

4.4 壓縮過程中的彈性分析

圖9 彎桿張拉整體壓縮過程Fig.9 Compression process of bending bar tensegrity

對任意p桿，任意p?1 種構型進行推導，得到結構進行軸向壓縮過程中桿、索長度及壓縮量的表達式。任何構型節點1 均與節點p+1 以桿構件相連，但斜索連接方式與構型有關，第j種構型節點1 與2p?j+1 相連，同一根桿構件，下底面節點與上底面在下底面投影和下底面圓心間形成的角度稱為單元內轉角（下文均稱單元內轉角），其大小為：φ=π/2+jπ/p。節點坐標如下：

彎桿張拉整體軸向壓縮過程中桿構件連接兩點間距離相互靠近，而繩索伸長量遠遠小于桿構壓縮量，在分析過程中將繩索受拉剛度看作無限大，即繩索不可伸長。在軸向壓縮過程中，上下兩端面有相對轉動趨勢。因此，在結構從高h壓縮至上下水平面重合時，應綜合分析高度和變化過程中偏轉角的影響，如圖10 所示。

圖10 壓縮過程參數變量分析Fig.10 Parameter variable analysis of compression pro?cess of bending bar tensegrity

圖10 中，上底面節點C在下底面投影為C1，下底面節點A、投影點C1及下底面圓心O形成的夾角為φ1；當高度被完全壓縮C點落在下底面C2，投影點C1，C2及底面圓心角O形成的 夾角為φ2。

壓縮過程中，上底面相對于下底面做逆時針方向轉動。上、下底面半徑一定，高度越高，壓縮時的相對轉角越大，但高度過大時，轉動至某一位置，繼續壓縮，斜索便會松弛。在壓縮過程中，C點運動至線段MM'中間某一位置，假設運動至圖中C3點，此時斜索AC為直角△AC3M斜邊，兩直角邊分別為AM'和C3M'，此時為斜索最后繃緊時刻，繼續壓縮兩直角邊長度均會縮短，因而超過這一臨界位置斜索會松弛，張拉整體結構松垮，失去軸向力而快速軸向壓縮，結構不穩定。當發生上述不穩定情況時，桿長的壓縮量超過整根原始桿長的50%，在實際模型搭建過程中是不會出現的，實際壓縮過程中某根索發生松弛的主要原因是搭建模型精度不夠高。只考慮穩定壓縮過程，即C點不會轉至C3便可完成結構完全壓縮。

完全壓縮后斜索AC變化為AC2，△AOC2的兩邊OA和OC2長度為端面半徑R，由此得到：

則在壓縮過程中上下端面的相對旋轉角度為：

同理可以得出φ1。

家族興旺，好事。講個理兒什么的呼啦來一幫，氣勢上就能把對方壓住。要不爺爺動不動就愛跟人顯擺：我有四個兒子，四個孫子。說話的時候，那腰板挺得“杠杠”的。好嘛，“男人幫”的家族版原來在北京何老爺子家。瞧瞧，爺爺給孫子們起的名東南西北，他老人家統領四方！

C1點為C點在下底面的投影，C1點坐標如下：

則向量AC1的長度為：

在旋轉過程中上下端的面相對轉角為：

當張拉整體結構完全壓縮，C點落在C2點，桿構件最終位置為線段BC2，C2點坐標，壓縮后桿長BC2為：

將桿長壓縮率ε定義為：

將P=4，高度h=270 mm，上下底面半徑ru=rd=200 mm 的第一種構型代入上式，通過理論計算分別求得偏轉角φ2=56.79°，壓縮率ε=13.07%。

動力學軟件柔性建模如圖11 所示，測量桿構件從初始狀態至完全壓縮長度的變化量如圖12所示。通過動力學軟件柔性建模，得到偏轉角和壓縮率分別為56.6°和13.46%。

圖11 彎桿張拉整體動力學建模Fig.11 Dynamic modeling of bending bar tensegrity

圖12 壓縮過程桿構件的長度變化Fig.12 Variation of bar length during compression

搭建相同參數的張拉整體模型，并對它進行軸向壓縮，測量偏轉角及桿長變化率，如圖13 所示。壓縮前桿長430 mm，壓縮后桿長370 mm，得到桿長壓縮率為13.95%，端面相對偏轉角為50°。

圖13 彎桿張拉整體模型測量數據Fig.13 Measuring data of tensegrity structure model

通過理論計算和動力學柔性建模對相同參數模型進行分析，誤差控制在0.5%以內，以驗證推導偏轉角和桿長壓縮率表達式的正確性。微小誤差來源是仿真軟件本身算法或剛體間的接觸力等不確定因素。而實物模型上、下端面的偏轉角誤差在7°，偏大，可能是由于壓縮過程中受拉索被拉長或微小誤差的累計造成的。

4.5 壓縮過程受力分析

僅得到彎桿張拉整體桿構件兩節點間的相對位移長度，還不足得到彎桿的形變情況，形變情況還與彎曲角度，材料基本屬性，如彈性模量、泊松比等有關。假設兩點間距離為400 mm，形變后的長度為280 mm，分別對90°，120°，150°的彎桿張拉整體進行分析。

實際分析中，彎角通過三維建模后3D 打印得到，其打印材料為光敏樹脂。通過施加力得到破壞時可施加的最大外力。圖14 采用一端固定一段加力的方式。考慮到測量關節強度，將實際測量過程中的竹桿變為金屬鋁管。

圖14 彎角強度校核Fig.14 Strength check of bending joint

對模型加力至28.5 N，外力關節并未發生變形，此時金屬管發生明顯彎曲，說明竹結構先發生斷裂，彎曲關節強度大于桿構件強度。

在有限元軟件中關節材料密度為3×102kg/m3，楊氏模量為2×105MPa，泊松比為0.3，屈服極限為50 MPa，初始應變為零；竹節類材料的參數則與多種因素有關，例如：竹節生長環境、竹節受光照時間、以及生長海拔等，另外對于同一根竹節不同部位的材料參數也是不同的，這里取竹節平均值近似研究。密度為1.1×102kg/m3，楊氏模量為9.6×103，泊松比為0.3，屈服極限為30 MPa，初始應變為零。建立長度相同彎曲角度不同的彎角模型，竹桿最大受力點產生的應力如圖15 所示。

圖15 不同彎角壓縮應力云圖Fig.15 Compression stress nephogram at different bend?ing angles

由圖15 可知，最大應力值發生在彎角關節與桿構件連接處外側，最大應力值分別為46，44，30 MPa。竹桿材料的屈服極限近似為30 MPa，由仿真結果可知，彎桿所成角度越小，材料越不易發生破壞，軸向折展性越好。其他尺寸的彎桿變形張拉整體可根據相同方法得到彎曲角度極限值，彎角小于極限值時變形四桿張拉整體均可完全壓縮。對于上述材料，彎桿角度不大于90°時能夠實現軸向完全壓縮。

4.6 實物搭建

綜合上述分析論述，結合張拉整體現有的理論基礎，分別搭建單層和多層四桿彎曲張拉整體模型，實現了它們的軸向壓縮與自動展開，如圖16 所示。此方法可以用于搭建任意層數的彎桿張拉整體結構。

圖16 彎桿張拉整體壓縮前后的實物圖Fig.16 Photos of bending bar before and after compres?sion

5 結論

本文針對張拉整體基本單元的要求，即張拉整體展開前占用空間小，展開后空間利用率高，提出了張拉整體沿軸向進行折疊壓縮的必要性。給出了索伸長和桿壓縮兩種實現軸向折疊的方式，并將兩種折疊方式進行對比，進而提出了彎桿張拉整體，得出了彎桿張拉整體節點坐標的構建方式和節點矩陣與各參數間的關系。對彎桿張拉整體壓縮過程的桿長壓縮率和上、下端面相對偏轉角度進行理論推導和動力學柔性建模分析，將兩種結果進行對比，驗證了結果的正確性。對材料強度進行校核，利用有限元找出特定材料下彎曲角度的極限應力值和受力形變。結果表示：將直桿張拉整體變為彎桿張拉整體，在沒有添加其他構件的基礎上實現了軸向完全壓縮，擴大內部空間的利用率，有效解決了桿構件間的干涉問題。高度為270 mm，半徑為200 mm 的四桿張拉整體軸向完全壓縮時，上、下底面的相對偏轉角為57°，桿長壓縮率為13%。利用竹節作為桿構件時，彎曲節點連接兩桿構件所成角度不得大于90°。