基于自由曲面的空間光學(xué)系統(tǒng)偏振像差分析

張藝藍(lán)，史浩東，王 超，李英超，劉 壯，張 肅，王稼禹，姜會(huì)林

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022）

1 引言

隨著空間技術(shù)的不斷發(fā)展，對(duì)空間觀(guān)測(cè)的精度和要求也不斷提高。偏振探測(cè)可以濾除背景雜光，提高成像對(duì)比度和測(cè)量精度。但偏振像差會(huì)影響系統(tǒng)的成像質(zhì)量和測(cè)量精度［1］。雖然離軸自由曲面光學(xué)系統(tǒng)能夠突破傳統(tǒng)同軸光學(xué)系統(tǒng)的瓶頸，實(shí)現(xiàn)大孔徑、大視場(chǎng)和長(zhǎng)焦距，但同時(shí)也引入了非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的偏振像差。因此，掌握自由曲面對(duì)離軸光學(xué)系統(tǒng)的偏振像差作用機(jī)理，有助于掌握和調(diào)控光學(xué)系統(tǒng)的偏振像差分布，進(jìn)而滿(mǎn)足衛(wèi)星探測(cè)識(shí)別時(shí)的高精度成像需求。

國(guó)外對(duì)偏振像差的研究起步較早。1987 年，Chipman 提出了偏振像差理論，并通過(guò)瓊斯矩陣的特征值分解出二向衰減和相位延遲像差［2］。1994 年，Mcguire 等將偏振像差函數(shù)分解并擴(kuò)展成偏振像差矩陣，對(duì)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)進(jìn)行了偏振像差分析［3］。2014 年，Sasian 從場(chǎng)和波陣面的角度解釋了偏振像差［4］。2015 年，Chipman 等人分析了偏振像差對(duì)天文望遠(yuǎn)系統(tǒng)成像質(zhì)量的影響［1］。國(guó)內(nèi)近年來(lái)針對(duì)光學(xué)系統(tǒng)的偏振效應(yīng)開(kāi)展了研究［5-7］。2009 年，張穎等人研究了透射式旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的偏振效應(yīng)［8］。2013 年，宣斌等人分析了光的偏振正交性對(duì)提高線(xiàn)偏振相移干涉檢驗(yàn)精度的作用［9］。2017 年，楊宇飛等人分析了相干激光通信系統(tǒng)的偏振像差［10］。2020 年，羅敬等人研究了離軸天文望遠(yuǎn)鏡的偏振像差，并分析了偏振像差對(duì)光學(xué)橢率的影響［11］。然而，目前還沒(méi)有針對(duì)自由曲面離軸光學(xué)系統(tǒng)偏振像差特性的理論建模和分析，設(shè)計(jì)者仍難以預(yù)判偏振像差對(duì)此類(lèi)光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的影響，大大降低了偏振成像系統(tǒng)的設(shè)計(jì)效率。因此，研究離軸自由曲面光學(xué)系統(tǒng)的偏振像差分布特性不僅能夠進(jìn)一步完善偏振像差理論體系，而且對(duì)自由曲面在離軸偏振成像系統(tǒng)中的應(yīng)用具有重要的指導(dǎo)意義。

本文基于瓊斯表示方式，構(gòu)建了以條紋Zernike 多項(xiàng)式為表征函數(shù)的自由曲面離軸光學(xué)系統(tǒng)偏振像差解析模型，通過(guò)對(duì)瓊斯矩陣的分解，分析了條紋Zernike 多項(xiàng)式第5 項(xiàng)到第9 項(xiàng)等低階系數(shù)對(duì)視場(chǎng)離軸光學(xué)系統(tǒng)相位像差、相位延遲和二向衰減等偏振像差分布的影響，并根據(jù)理論分析設(shè)計(jì)了含有自由曲面的大視場(chǎng)非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)三反系統(tǒng)，為后續(xù)探索利用自由曲面調(diào)制離軸光學(xué)系統(tǒng)偏振像差提供了理論基礎(chǔ)。

2 基本理論

本文主要研究光學(xué)系統(tǒng)中偏振光相位和振幅的相對(duì)變化，與穆勒矩陣相比，瓊斯表示法可以更直觀(guān)地表現(xiàn)相位像差、二向衰減、相位延遲像差與自由曲面之間的關(guān)系。所以采用以瓊斯矢量和瓊斯矩陣為基礎(chǔ)的偏振理論進(jìn)行研究［12］。

其中：ck為σk的系數(shù)，ρk和?k分別對(duì)應(yīng)ck的實(shí)部和虛部。通常用一個(gè)瓊斯矩陣描述經(jīng)過(guò)光學(xué)元件的整個(gè)光束截面。光學(xué)系統(tǒng)沿著不同光路的這種偏振變化可以用偏振像差函數(shù)J(h，ρ，λ)來(lái)表示：

其中：J表示與光路有關(guān)的瓊斯矩陣，它是關(guān)于物坐標(biāo)h，孔徑坐標(biāo)ρ和波長(zhǎng)λ的函數(shù)。偏振像差函數(shù)J(h，ρ，λ)完整地描述了光學(xué)系統(tǒng)的偏振特性，其中的相位項(xiàng)?0(h，ρ，λ)與幾何光學(xué)的波像差函數(shù)W(h，ρ，λ)之間的關(guān)系為［13］：

McGuire 于1994 年提出了離軸系統(tǒng)偏振像差的矢量表達(dá)式［12］，可以表示系統(tǒng)中光學(xué)元件對(duì)偏振像差貢獻(xiàn)之和，如式（5）所示：

其中：Ptuvwx=Αtuvwx+iΦtuvwx，表示偏振像差系數(shù)，Αtuvwx和Φtuvwx分別是Ptuvwx的實(shí)部和虛部，t表示偏振的類(lèi)型，u表示對(duì)視場(chǎng)H依賴(lài)性的階數(shù)，v表示對(duì)ρ依賴(lài)性的階數(shù)，w表示對(duì)入瞳坐標(biāo)(ρ，?)中角度?的依賴(lài)性，x表示線(xiàn)性二向衰減與相位延遲的方向關(guān)于入瞳坐標(biāo)(ρ，?)中角度?的階數(shù)。

偏振像差函數(shù)可通過(guò)泡利分解，分解為振幅像差、相位像差、相位延遲和二向衰減［14］。其中，振幅像差主要與系統(tǒng)中元件的透過(guò)率有關(guān)，本文不做研究；相位像差與光程差關(guān)系密切，自由曲面的引入會(huì)直接改變光程差，因此自由曲面對(duì)相位像差的影響不可忽略；相位延遲和二向衰減像差與光線(xiàn)入射角度等因素有關(guān)，由于自由曲面面形的非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性，光線(xiàn)入射角會(huì)發(fā)生微量的變化。因此，研究離軸自由曲面光學(xué)系統(tǒng)的偏振像差特性，其本質(zhì)是對(duì)相位像差、相位延遲以及二向衰減進(jìn)行深入的分析和計(jì)算。

3 自由曲面偏振像差建模

自由曲面的多自由度特點(diǎn)導(dǎo)致界面上各點(diǎn)光線(xiàn)的入射角度不同，自由曲面的引入也會(huì)改變系統(tǒng)整體的偏振矩陣表征。本文基于條紋Zernike 多項(xiàng)式表示自由曲面面形，解析自由曲面與相位像差之間的關(guān)聯(lián)，運(yùn)用自由曲面偏振光線(xiàn)追跡算法，得到全視場(chǎng)全口徑的二向衰減和相位延遲的分布，從而分析自由曲面對(duì)整個(gè)系統(tǒng)瓊斯矩陣的影響。

3.1 自由曲面相位像差建模

Zernike 多項(xiàng)式對(duì)非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)表面的全局面形擬合能力較強(qiáng)，通常選用Zernike 多項(xiàng)式表征自由曲面的面形特征。

根據(jù)式（4）可知，波像差與相位像差有定量的關(guān)系，而自由曲面面型的多自由度會(huì)不同程度地影響系統(tǒng)的光程差，進(jìn)而影響波像差。因此，本文通過(guò)波像差將條紋Zernike 多項(xiàng)式表示的自由曲面與相位像差相關(guān)聯(lián)，將Zernike 多項(xiàng)式的表達(dá)式矢量化，利用波像差理論對(duì)Zernike 多項(xiàng)式自由曲面產(chǎn)生的像差進(jìn)行解析，進(jìn)而找到Zernike 自由曲面與相位像差之間的關(guān)系，從而建立Zernike 多項(xiàng)式自由曲面的相位像差分析方法。

首先，將原本用極坐標(biāo)表示的Zernike 多項(xiàng)式矢量化。Zernike 多項(xiàng)式自由曲面的高階震蕩部分可以表示為：

其中：Cx和Cy是一組Zernike 多項(xiàng)式系數(shù)。通過(guò)對(duì)Zernike 多項(xiàng)式進(jìn)行變換，結(jié)合矢量乘法法則，可以將Zernike 多項(xiàng)式中的每一組系數(shù)進(jìn)行矢量化，得到：

在這里已對(duì)進(jìn)行修正，規(guī)定表示在右手坐標(biāo)系下始于+Y軸方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度。

眾所周知，波像差的本質(zhì)是由光程差引起的。同樣，自由曲面引入波像差的本質(zhì)應(yīng)該也是由面形帶來(lái)的光程差異。這里以一個(gè)反射自由曲面表面為例，對(duì)該面產(chǎn)生的光程差進(jìn)行說(shuō)明，如圖1 所示。當(dāng)入射光線(xiàn)角度不是很大時(shí)，入射和出射光線(xiàn)的光程均可等效為入射點(diǎn)的面形矢高，則入射光線(xiàn)和出射光線(xiàn)的光程差可以表示為：

圖1 Zernike 多項(xiàng)式的面形矢高Fig.1 Surface vector height map of Zernike polynomial terms

其中：n1和n2為入射和出射光線(xiàn)所在的介質(zhì)折射率，λ為波長(zhǎng)，Z(ρ)為根據(jù)公式矢量化后的Zernike 多項(xiàng)式。為方便表示，令，則：

根據(jù)偏振像差函數(shù)J(h，ρ，λ)中的相位項(xiàng)?0(h，ρ，λ)與幾何光學(xué)波像差函數(shù)W(h，ρ，λ)之間的關(guān)系，則當(dāng)自由曲面遠(yuǎn)離光闌位置時(shí)，自由曲面的相位像差的貢獻(xiàn)量為：

需要特別注意的是，光學(xué)系統(tǒng)的波像差分布與光闌位置密切相關(guān)。因此，相位像差分布也與光闌位置密切。在入瞳直徑不變的情況下，當(dāng)光闌位置分別位于球面和遠(yuǎn)離球面時(shí)，軸外視場(chǎng)光線(xiàn)經(jīng)光闌入射到反射鏡上的區(qū)域之間存在一個(gè)光瞳偏移矢量Δh，該偏移矢量將使光學(xué)系統(tǒng)的相位像差重新分布，如下：

當(dāng)視場(chǎng)角不是很大時(shí)，偏移矢量與視場(chǎng)成線(xiàn)性的關(guān)系可表示為：

其中：yˉ表示軸外視場(chǎng)主光線(xiàn)的入射高度，y表示軸外視場(chǎng)邊緣的光線(xiàn)高度。

當(dāng)光闌與自由曲面位置重合時(shí)，可以看成是遠(yuǎn)離光闌位置的一種特殊情況。此時(shí)在同一口徑下，各視場(chǎng)光線(xiàn)入射到自由曲面表面的區(qū)域均相同，面形對(duì)各視場(chǎng)光線(xiàn)的作用也相同，因此自由曲面所產(chǎn)生的相位像差貢獻(xiàn)量與視場(chǎng)無(wú)關(guān)。而當(dāng)光闌位置遠(yuǎn)離自由曲面時(shí)，由于Δh與視場(chǎng)矢量H相關(guān)，所以自由曲面產(chǎn)生的相位像差分布會(huì)隨視場(chǎng)發(fā)生改變。為了能夠分析自由曲面在光學(xué)系統(tǒng)中任意位置時(shí)對(duì)相位像差分布的影響，以下將針對(duì)遠(yuǎn)離光闌位置的自由曲面相位像差解析式進(jìn)行推導(dǎo)。

當(dāng)自由曲面遠(yuǎn)離光闌位置時(shí)，照射到自由曲面上的光線(xiàn)口徑會(huì)發(fā)生偏移，口徑偏移矢量為Δh，此時(shí)自由曲面的相位像差貢獻(xiàn)量為：

由式（14）可知，雖然Zernike 多項(xiàng)式只與口徑有關(guān)，但當(dāng)其遠(yuǎn)離光闌位置時(shí)，其像差貢獻(xiàn)量有可能還與視場(chǎng)有關(guān)。

為了具體地分析自由曲面所引入相位像差的分布特性，本文對(duì)Zernike 多項(xiàng)式的前9 項(xiàng)分布進(jìn)行分析討論。這9 項(xiàng)中，前3 項(xiàng)屬于純相位變化，對(duì)成像質(zhì)量沒(méi)有影響，第4 項(xiàng)表示離焦，可以通過(guò)調(diào)整像面位置進(jìn)行消除。因此，本文將運(yùn)用上述分析流程從第5 項(xiàng)開(kāi)始逐一分析引入相位像差的分布特性，得到自由曲面項(xiàng)在遠(yuǎn)離光闌的位置時(shí)相位像差?0的表達(dá)式為：

借助光學(xué)軟件對(duì)一個(gè)自由曲面單反射鏡系統(tǒng)的偏振像差分布進(jìn)行分析。設(shè)反射鏡球面半徑為100 mm，視場(chǎng)角為2°，將光闌置于距反射鏡前50 mm 處時(shí)，在反射鏡上引入自由曲面，運(yùn)用光學(xué)設(shè)計(jì)軟件與Matlab 對(duì)該單反射鏡系統(tǒng)進(jìn)行全口徑自由曲面偏振光線(xiàn)追跡，得到自由曲面項(xiàng)對(duì)相位像差的影響，如圖2 所示。由圖2 可以看出項(xiàng)自由曲面面形對(duì)相位像差的影響主要是引起像散的變化。相位像差?0的改變主要體現(xiàn)在偏振像散在引入自由曲面前后的變化。項(xiàng)自由曲面面形對(duì)相位像差的影響主要是引起偏振像散和偏振彗差的變化。相位像差?0的改變主要體現(xiàn)在偏振像散和偏振彗差在引入自由曲面后的變化上。Z9項(xiàng)自由曲面面形對(duì)相位像差的影響主要是引起偏振球差、偏振像散和偏振彗差的變化。相位像差?0的改變主要體現(xiàn)在偏振球差、偏振像散和偏振彗差在引入自由曲面后的變化上。

圖2 Zernike 多項(xiàng)式自由曲面對(duì)系統(tǒng)偏振像差的影響Fig.2 Influence of freeform surface of Zernike polynomial on polarization aberration of system

3.2 自由曲面引入二向衰減和相位延遲建模

傳統(tǒng)偏振光線(xiàn)追跡算法采用二維偏振光線(xiàn)追跡［17-19］，是利用瓊斯矩陣表征光學(xué)界面的偏振特性［20-22］。由于自由曲面上各個(gè)點(diǎn)的法向量都不同，不同角度入射的光線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的出射光方向也不相同，在傳統(tǒng)的二維矩陣中加入光線(xiàn)的傳播矢量k，可以更好地分析含有自由曲面光學(xué)系統(tǒng)的偏振特性。這里基于Zernike 自由曲面表達(dá)方法，構(gòu)建自由曲面偏振光線(xiàn)追跡算法，進(jìn)而分析自由曲面對(duì)二向衰減、相位延遲像差的影響。

自由曲面偏振光線(xiàn)追跡與光線(xiàn)的傳播矢量k緊密相關(guān)。如圖3 所示，在自由曲面上，各處的曲率都不相同，入瞳內(nèi)每個(gè)點(diǎn)的入射角不同。根據(jù)菲涅爾公式，不同角度入射光中s和p分量的反射率（折射率）發(fā)生變化，光線(xiàn)經(jīng)各個(gè)光學(xué)元件后，s和p分量的變化會(huì)改變出瞳處光束的偏振態(tài)，因此，系統(tǒng)的偏振特性與其結(jié)構(gòu)、膜系參數(shù)都緊密相關(guān)。

圖3 第q 平面上偏振光線(xiàn)折反射示意圖Fig.3 Schematic diagram of polarized light refraction and reflection on qth plane

加入傳播矢量k的瓊斯矩陣是一個(gè)3×3 的矩陣Pq，它表示光線(xiàn)經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)各個(gè)界面時(shí)偏振態(tài)的變化。在全局坐標(biāo)系中，通過(guò)自由曲面偏振光線(xiàn)追跡，可以得到表示光學(xué)系統(tǒng)對(duì)入射光線(xiàn)的偏振變換矩陣Ptotal：

式中：Ein，Eout表征入射和出射光束的瓊斯矢量，矩陣Pq表征第q界面對(duì)入射光束的偏振態(tài)改變，如圖3 所示。Pq與光束在光學(xué)界面處的k，s和p分量關(guān)系為：

式中：as，q，ap，q分別是第q界面s和p分量的振幅透射（反 射）系數(shù)；sm，q?1，pm，q?1，km，q?1(m=x，y，z)表示入射光線(xiàn)在全局坐標(biāo)系中的s，p和k分量的坐標(biāo)；sn，q，pn，q，kn，q(n=x，y，z)表示出射光線(xiàn)在全局坐標(biāo)系中的s，p和k分量的坐標(biāo)。其中，s和p分量為：

針對(duì)某一特定方向的入射光束，采用自由曲面偏振光線(xiàn)追跡算法，可以計(jì)算系統(tǒng)各個(gè)界面對(duì)該光束的偏振轉(zhuǎn)換矩陣Ptotal，對(duì)Ptotal進(jìn)行奇異值分解：

偏振變換矩陣Ptotal被分解為兩個(gè)酉矩陣U，V和一個(gè)對(duì)角陣D。其中，對(duì)角陣D包含的Λ1，Λ2（Λ1≥Λ2）是偏振變換矩陣Ptotal的特征值。矩陣中k0，kQ分別對(duì)應(yīng)入射光傳播方向和經(jīng)過(guò)Q次折反射后出射光的傳播方向。v1，v2和u1，u2分別對(duì)應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)入瞳面和岀曈面內(nèi)的本征偏振態(tài)，它們之間滿(mǎn)足如下關(guān)系：

根據(jù)二向衰減和相位延遲的定義［23-24］，可以計(jì)算出光學(xué)系統(tǒng)的二向衰減和相位延遲的大小和方向。對(duì)一個(gè)自由曲面單反射鏡系統(tǒng)的偏振像差分布進(jìn)行分析。運(yùn)用光學(xué)設(shè)計(jì)軟件與Mat?lab 對(duì)該單反射鏡系統(tǒng)進(jìn)行全口徑自由曲面偏振光線(xiàn)追跡，分別計(jì)算出瞳處各光線(xiàn)的偏振變換矩陣Ptotal，通過(guò)對(duì)矩陣Ptotal進(jìn)行奇異值分解與變換，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的二向衰減和相位延遲，如圖4所示。

圖4 表明，該系統(tǒng)的二向衰減和相位延遲像差都隨著該點(diǎn)到光軸距離的增大而增大，即軸外視場(chǎng)下光學(xué)系統(tǒng)的偏振效應(yīng)更明顯。偏振像差的變化與光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，系統(tǒng)是視場(chǎng)離軸系統(tǒng)，離軸方向在子午面內(nèi)，該系統(tǒng)的二向衰減圖和相位延遲圖均失去其旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性。光學(xué)系統(tǒng)離軸后，越靠近光軸位置入射的平行光，在光學(xué)系統(tǒng)中的入射角度越小，相應(yīng)的二向衰減和相位延遲量也越小。

圖4 含 項(xiàng)自由曲面單反射系統(tǒng)的偏振像差分布Fig.4 Distribution of polarization aberration of freeform single reflection system with term

為直觀(guān)展現(xiàn)自由曲面對(duì)二向衰減像差和相位延遲像差的影響，將含項(xiàng)自由曲面系統(tǒng)的偏振像差與不含自由曲面系統(tǒng)的偏振像差相減，得到自由曲面加入前后二向衰減和相位延遲的變化，如圖5 所示。

由圖5 可知，當(dāng)視場(chǎng)僅在Y軸向上偏移2°時(shí)，自由曲面對(duì)二向衰減和相位延遲像差都有影響，其分布規(guī)律與自由曲面的面形矢高相同。對(duì)稱(chēng)軸相對(duì)Y軸的旋轉(zhuǎn)角度與Z5項(xiàng)、Z6項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系為

圖5 項(xiàng)自由曲面加入后的像差變化Fig.5 Changes of aberrations after adding freeform with term

為了進(jìn)一步展現(xiàn)視場(chǎng)對(duì)自由曲面偏振特性的影響，將該離軸系統(tǒng)中的自由曲面去掉，對(duì)它進(jìn)行全視場(chǎng)自由曲面偏振光線(xiàn)追跡，整理各個(gè)視場(chǎng)下得到的二向衰減和相位延遲，與之前含自由曲面時(shí)得到的數(shù)據(jù)對(duì)比，得到各個(gè)視場(chǎng)下自由曲面項(xiàng)面形對(duì)二向衰減與相位延遲的最大改變量，如圖6 所示。

圖6 全視場(chǎng)的 項(xiàng)自由曲面對(duì)系統(tǒng)偏振像差的影響Fig.6 Effect of freeform with term on polarization aberration in full field of view

由圖6 可知，無(wú)論是中心視場(chǎng)還是邊緣視場(chǎng)，偏振像差都受到了不同程度的影響。其中，二向衰減的最大改變量為9.5×10?5，相位延遲的最大改變量為0.035°。通過(guò)以上仿真結(jié)果可以看出，自由曲面面形會(huì)影響偏振像差的大小和分布。

運(yùn)用該單反射鏡系統(tǒng)分析項(xiàng)和Z9項(xiàng)自由曲面對(duì)二向衰減和相位延遲的影響，得到出瞳處對(duì)應(yīng)點(diǎn)的二向衰減、相位延遲的大小（如圖7 和8 所示）以及自由曲面加入前后二向衰減和相位延遲的變化（如圖9 和圖10 所示）。

圖7 含 項(xiàng)自由曲面單反射系統(tǒng)的偏振像差分布Fig.7 Distribution of polarization aberration of freeform single reflection system with term

圖8 含Z9 項(xiàng)自由曲面單反射系統(tǒng)的偏振像差分布Fig.8 Distribution of polarization aberration of freeform single reflection system with Z9 term

圖9 項(xiàng)自由曲面加入后二向衰減像差和相位延遲像差的變化Fig.9 Changes of diattenuation and retardance after add?ing freeform with term

圖10 Z9 項(xiàng)自由曲面加入后二向衰減像差和相位延遲像差的變化Fig.10 Changes of diattenuation and retardance after add?ing freeform with Z9 term

圖9 和圖10 表明，該系統(tǒng)的二向衰減和相位延遲像差在出瞳處的分布是軸外視場(chǎng)下光學(xué)系統(tǒng)的偏振效應(yīng)與自由曲面的矢高共同作用的結(jié)果。偏振像差的變化與光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，視場(chǎng)離軸系統(tǒng)的離軸方向在子午面內(nèi)，該系統(tǒng)的二向衰減圖和相位延遲圖均在子午面內(nèi)有所偏移。自由曲面對(duì)二向衰減和相位延遲的分布規(guī)律與項(xiàng)和Z9項(xiàng)自由曲面的面形矢高相同。其中，項(xiàng)自由曲面的加入使其對(duì)稱(chēng)軸相對(duì)Y軸的旋轉(zhuǎn)角度與Z7項(xiàng)、Z8項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系為

為了進(jìn)一步展現(xiàn)視場(chǎng)對(duì)自由曲面偏振特性的影響，將該離軸系統(tǒng)中的自由曲面去掉，對(duì)它進(jìn)行全視場(chǎng)自由曲面偏振光線(xiàn)追跡，整理各個(gè)視場(chǎng)下得到的二向衰減和相位延遲，與之前含自由曲面時(shí)得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，得到各個(gè)視場(chǎng)下自由曲面項(xiàng)和Z9項(xiàng)面形引入對(duì)二向衰減與相位延遲的最大改變量，如圖11 和圖12所示。

圖11 全視場(chǎng) 項(xiàng)自由曲面對(duì)系統(tǒng)偏振像差的影響Fig.11 Effect of freeform with term on polarization aberration in full field of view

圖12 全視場(chǎng)的Z9 項(xiàng)自由曲面對(duì)系統(tǒng)偏振像差的影響Fig.12 Effect of freeform with Z9 term on polarization ab?erration in full field of view

由圖11 和圖12 可知，無(wú)論是中心視場(chǎng)還是邊緣視場(chǎng)，偏振像差都受到了不同程度的影響。其中，自由曲面項(xiàng)使二向衰減的最大改變量為0.002 12，相位延遲的最大改變量為0.795°；Z9項(xiàng)使二向衰減的最大改變量為0.000 1，相位延遲的最大改變量為0.036°。

4 視場(chǎng)離軸三反系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及偏振特性分析

為驗(yàn)證上述理論分析結(jié)果，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)大視場(chǎng)離軸三反光學(xué)系統(tǒng)，并對(duì)其偏振特性進(jìn)行分析，流程如圖13 所示。

圖13 自由曲面偏振光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)流程Fig.13 Design process of polarization optical system with freeform surface

具體步驟如下：首先，選擇適當(dāng)?shù)墓鈱W(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，計(jì)算該初始結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)，并進(jìn)行偏振特性分析：通過(guò)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)連接機(jī)制在Matlab 中編程，讀取Zemax 中光學(xué)系統(tǒng)的參數(shù)。將口徑和視場(chǎng)進(jìn)行等分，然后選取單一視場(chǎng)點(diǎn)，對(duì)該視場(chǎng)下的不同光瞳采樣點(diǎn)進(jìn)行偏振光線(xiàn)追跡。當(dāng)光線(xiàn)入射到自由曲面時(shí)，對(duì)自由曲面面形進(jìn)行采樣，并采集該光線(xiàn)的入射角，計(jì)算光線(xiàn)經(jīng)過(guò)每一個(gè)光學(xué)元件的瓊斯矩陣，最終得到單一視場(chǎng)下所有光線(xiàn)經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)后在出瞳面的瓊斯瞳圖和三維矩陣，并分別進(jìn)行泡利分解以及奇異值分解，求出單一視場(chǎng)下該系統(tǒng)的相位像差、二向衰減和相位延遲。切換其他視場(chǎng)采樣點(diǎn)，得到全視場(chǎng)下系統(tǒng)的偏振特性分布。根據(jù)偏振特性分析結(jié)果，通過(guò)ZERN 操作數(shù)對(duì)自由曲面的Zernike 系數(shù)進(jìn)行約束優(yōu)化，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行公差分析，最后得到理想的光學(xué)系統(tǒng)。

為了充分體現(xiàn)自由曲面面形對(duì)偏振像差分布的影響，令該系統(tǒng)各元件不含偏心和傾斜，僅利用視場(chǎng)離軸的方法消除系統(tǒng)中心遮攔。系統(tǒng)的光學(xué)指標(biāo)如表1 所示。

表1 自由曲面偏振光學(xué)系統(tǒng)的主要光學(xué)指標(biāo)Tab.1 Main optical indicators of freeform polarization op?tical system

光學(xué)系統(tǒng)的初始結(jié)構(gòu)為三片二次曲面，在初始結(jié)構(gòu)中的反射鏡上鍍金屬膜，波在金屬內(nèi)傳播時(shí)其波矢量為復(fù)數(shù)，金屬的復(fù)折射率表示為n+inκ，其中n和κ為正實(shí)數(shù)。常見(jiàn)金屬對(duì)于鈉黃光（λ=589.3 nm）的光學(xué)常數(shù)如表2 所示。其中鋁的反射本領(lǐng)隨波長(zhǎng)的變化比較平穩(wěn)，它也具有很好的抗腐蝕性，選用鋁作為反射鏡的鍍膜材料［25］。為消除中心遮攔和一次雜光的影響，設(shè)計(jì)時(shí)選取邊緣視場(chǎng)成像，不僅會(huì)導(dǎo)致成像質(zhì)量下降，同時(shí)也會(huì)增加系統(tǒng)的偏振像差。為平衡實(shí)際視場(chǎng)中的像差水平，在系統(tǒng)中引入自由曲面，考慮到自由曲面面形對(duì)各個(gè)視場(chǎng)的影響，會(huì)在遠(yuǎn)離光闌位置的主鏡上引入自由曲面。初始結(jié)構(gòu)是一個(gè)關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)的光學(xué)系統(tǒng)，在選取視場(chǎng)和自由曲面時(shí)，要注意軸對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題，因此，選取自由曲面Z5項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)制，選取條紋Zernike 多項(xiàng)式Z5項(xiàng)系數(shù)為1.753×10?8。仿真結(jié)果表明，自由曲面的面形對(duì)偏振像差大小有一定的影響，考慮到視場(chǎng)大小為20°×2°，選取中心視場(chǎng)為Y軸上向下偏移8°。經(jīng)過(guò)優(yōu)化，系統(tǒng)各視場(chǎng)的調(diào)制傳遞函數(shù)（Modulation Transfer Func?tion，MTF）在38.5 lp/mm 處大于0.6，如圖15所示。

表2 金屬的光學(xué)常數(shù)Tab.2 Optical constants of metals

圖15 自由曲面偏振光學(xué)系統(tǒng)的MTF 曲線(xiàn)Fig.15 MTF curves of freeform polarization optical system

經(jīng)過(guò)全口徑自由曲面偏振光線(xiàn)追跡，系統(tǒng)的二向衰減和相位延遲的分布分別如圖16 和圖18所示。同時(shí)，也對(duì)系統(tǒng)中自由曲面引起的二向衰減和延遲進(jìn)行了計(jì)算，分別如圖17 和圖19 所示。設(shè)計(jì)結(jié)果與第3 節(jié)的結(jié)果一致，不同視場(chǎng)下的二向衰減與相位延遲分布不同，其數(shù)值隨著視場(chǎng)角的增大而增大。自由曲面所引起的偏振像差占整個(gè)系統(tǒng)偏振像差的52.5%。因此，自由曲面的面形會(huì)影響系統(tǒng)整體偏振像差的大小和分布，所引起的偏振效應(yīng)會(huì)降低光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量和測(cè)量精度。明確自由曲面的面形對(duì)偏振像差的具體影響，從系統(tǒng)整體上實(shí)現(xiàn)對(duì)偏振像差的調(diào)制和約束，有助于高精度光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)優(yōu)化。

圖16 全視場(chǎng)的二向衰減瞳Fig.16 Diattenuation pupil in full field of view

圖17 自由曲面的全視場(chǎng)二向衰減瞳Fig.17 Diattenuation pupil of freeform surface in full field of view

圖18 全視場(chǎng)的相位延遲瞳Fig.18 Retardance pupil in full field of view

圖19 自由曲面的全視場(chǎng)相位延遲Fig.19 Retardance pupil of freeform surface in full field of view

5 結(jié)論

為定量分析自由曲面離軸光學(xué)系統(tǒng)的偏振像差，本文基于瓊斯表示法提出了自由曲面光學(xué)系統(tǒng)偏振像差分析方法，構(gòu)建了離軸自由曲面光學(xué)系統(tǒng)的偏振像差解析模型。針對(duì)視場(chǎng)離軸的自由曲面單反射系統(tǒng)，獲取了全視場(chǎng)下該系統(tǒng)出瞳處的相位像差、二向衰減以及相位延遲像差的分布特性，直觀(guān)展現(xiàn)了自由曲面對(duì)整個(gè)系統(tǒng)瓊斯瞳的影響。基于自由曲面光學(xué)系統(tǒng)偏振分析方法，有針對(duì)性地選取Zernike 系數(shù)，設(shè)計(jì)了含有自由曲面的大視場(chǎng)非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)三反光學(xué)系統(tǒng)。設(shè)計(jì)結(jié)果表明，自由曲面的引入不僅對(duì)波像差有影響，而且不同程度上改變了系統(tǒng)的瓊斯瞳分布。目前的研究還僅限于不含偏心和傾斜的自由曲面，為了解析離軸自由曲面光學(xué)系統(tǒng)的偏振特性，未來(lái)還需進(jìn)一步分析含偏心和傾斜的自由曲面光學(xué)系統(tǒng)的偏振像差分布，從而達(dá)到全面指導(dǎo)離軸自由曲面偏振成像光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目的。