問題引導下的探究式課堂教學的實踐與探索——以格林公式的教學為例

廖春艷 晏玉梅 劉春梅

問題引導下的探究式課堂教學的實踐與探索——以格林公式的教學為例

廖春艷 晏玉梅 劉春梅

(湖南科技學院 理學院，湖南 永州 425199)

探討問題引導下的探究式課堂教學模式。通過實際背景引入課題，圍繞“以學生為中心”的教學理念，層層設計問題引出知識目標格林公式。由公式的類比猜想及驗證猜想的過程逐步得出格林公式成立的條件和結論。教學中避免了直接給出結論及證明的突兀，從簡單到具體，從抽象到實用，精心設計教學內容，幫助學生突破學習的障礙和難關。

格林公式；探究式教學；課程育人

格林公式及其證明是數學分析的重要內容之一，在多元函數積分學的教學內容體系中處于承上啟下、承前啟后的地位[1]。格林公式溝通了二重積分與積分區域邊界上的曲線積分之間的聯系，不僅給出了一個有效的計算平面曲線積分的方法，而且給出了一種已知邊界曲線方程的平面區域面積的計算方法，在實際中有著廣泛的應用[2]。但是在教學中，格林公式的理論性較強，很多學生難以理解公式中的條件和結論究竟是如何得出，學生使用格林公式時經常出錯，如何設計符合學生認知規律的課堂教學來引導學生更好地理解和掌握格林公式至關重要。

1 教學設計思路

本次教學內容設計的主要特點在于：本課主要從實際生活情境入手引入課題，通過設置問題：GPS面積測量儀的原理是什么呢？切入今天的主題。以學生熟知的牛頓-萊布尼茨公式為切入點，對照格林公式，通過類比聯想的方式，闡釋清楚格林公式表達的意思。通過介紹單連通區域的概念、復連通區域的概念、邊界曲線正向的概念，為格林公式的理解與應用以及后續部分內容的講授做準備。最后首尾呼應，利用格林公式去解決開始上課提出的GPS面積測量儀的問題。

本課將問題式、探究式、研討式、啟發式等教學法貫穿始終，通過層層遞進的問題探究逐步形成格林公式理論的條件和結論。在進行教學設計時充分考慮了學生的學情，通過創設情境，用豐富的生活實例、數學史、豐富多彩的圖片，將抽象的數學問題生動地展現在學生面前，并通過嚴謹的數學推導得出格林公式，并將其應用到實際生活中，讓學生領略一個有觀察、有猜想、有推理、有證明、有應用的數學教學過程[3]。在格林公式推導的教學過程中充分發揮多媒體的優勢，結合板書，通過師生間的互動，逐步地給出格林公式的證明。

2 教學過程

2.1 創設問題情境，提出知識目標

通過現代“麥客”拿著GPS面積測量儀開著收割機仗劍江湖的實際背景介紹引入今天的探究主題，激發了學生的求知欲。從數學角度考慮現代科技助力農業發展，并提出探究問題。

探究問題一：GPS面積測量儀的原理是什么呢？究竟里面蘊含了什么樣的數學知識?

今天我們來學習一個綠色環保的公式，從而引出今天學習的主題：格林公式。回顧上節課我們學習過的第二型曲線積分，那么請同學們思考下面兩個問題能否利用曲線積分的定義來進行求解。

探究問題二：能否將第二型曲線積分轉化為定積分進行求解？

引導學生分組自主研討，并由每一小組分享討論結論：在例1中，積分路徑的方程不清楚，自然無法將其轉化成定積分來進行求解，而對于例2，同學在研討的過程中深切體會到當被積函數和積分路徑較復雜的時候，轉化成定積分進行求解非常困難甚至可能無法計算，怎么辦呢？能否找到一種更加有效的方法來計算第二型曲線積分。

2.2 探究猜想，引出公式

啟發思考：我們在上學期一元函數積分學中，為了解決定積分的計算困難，學過一個非常牛的公式，牛頓-萊布尼茨公式，這個公式將定積分在區間內的定積分轉化為原函數在區間的兩個端點處的函數值之差，還記得是什么公式嗎？沒錯，牛頓-萊布尼茨公式。

2.3 嚴密論證，得出結論

圖1 區域D即是X型的又是Y型的區域

由圖1可知：將有向曲線分成兩段，利用第二型曲線積分的計算公式。

不難發現，式(6)右側這個累次積分實際上就是平面區域上的二重積分，綜合以上分析過程就得到

接下來引導學生自主得出型區域下為

探究問題四：對于更加復雜的區域，前面的等式是否仍然成立？

在這里引導學生利用轉化的思想，將未知化為已知的情形進行求解非型、型的區域及復連通區域下上述公式也是成立的。具體證明過程這里就不再贅述了。梳理證明的條件，整合結論，得到格林公式。

其中是的取正向的邊界曲線。

2.4 數學史的融入

格林是現代位勢理論的先驅與奠基人之一。短促的一生，格林留下的著作為數雖然不多，卻包含了影響19世紀數學物理發展的寶貴思想；特別是格林那種面對各類挫折、自強不息、自學成才的范例，深受人們贊揚。

2.5 公式的應用，首尾呼應

首尾呼應，解決開始上課提出的兩個曲線積分，嘗試用格林公式來進行求解，讓學生感受到格林公式的精妙。

所以不論是一條什么樣的分段光滑的閉曲線，或正項或逆向，由格林公式得

很輕松的化解了前面無法求解的困難。

啟發式提問：能用格林公式進行求解嗎？

從以上例題可以看出，格林公式為我們提供了一種簡化積分的方法，一些看似無法求解或者較復雜的曲線積分可以利用格林公式較輕松地進行求解。同時在教學中引導學生注意問題的求解過程中，格林公式的使用條件，并且引導學生注意條件的修補。

2.6 學以致用

這樣就得到了利用曲線積分求平面圖形面積的一種新方法，啟發學生用本次新課所學的格林公式以及以前的知識對開始提出的GPS面積測量儀的數學原理進行研究及討論。既呼應課前的引入又使學生能將學到的內容加以應用。

圖2 行進路線圖

利用格林公式，通過算出每一段第二型曲線積分，進而得到所圍繞區域的近似面積。

這樣就得到了所要測量區域的近似面積。

2.7 歸納總結，知識升華，落腳課程育人

利用格林公式計算第二型曲線積分避免了將曲線積分轉化為定積分的過程中參數替代的困難，在很多曲線積分的計算過程中極大簡化了計算的難度。格林公式是從一維的牛頓-萊布尼茨公式過渡到三維高斯公式、斯托克斯公式的過程中至關重要的一步?？偨Y公式所蘊含的規律，回顧由牛頓-萊布尼茨公式類比猜想到格林公式的過程，并提出猜想：這種由整體積分運算轉化為區域邊界上的積分運算能否推廣到三重積分中去，若能，推廣后的情形可能會是什么樣的呢？讓學生對于多元積分學知識體系中的格林公式、高斯公式、斯托克斯公式有初步的理解。

通過面積測量儀等現代科技助力農業發展背景的介紹，融入育人元素：農業生產至關重要，“手中有糧，心中不慌”，堅持底線思維。要讓“中國飯碗”不缺糧、裝好糧，就要讓國家糧食更安全，讓農業質量更牢靠。新“麥客”是農業生產新時代的產物，反過來新“麥客”又見證著農業生產的新時代。這個時代是農業蓬勃發展的時代，是農民顯著增收的時代，是農村日新月異的時代。引導學生用數學知識解決實際問題，并鼓勵學生學好科學文化知識，在新時代還將演繹出更多精彩！同時“手中有糧，心中不慌”，還有另外一層含義，學生只有源源不斷的補充新技術、新知識，與時俱進，才能跟上時代的步伐。從課程育人的角度，讓傳統的、枯燥的數學知識煥發時代的色彩，實現從知識傳授到價值塑造的升華。

2.8 公式的遞進式思考，鞏固知識

這就是下一節課要深入探討的一類問題，給學生留下懸念，課堂起始于問題，結束于產生的新問題，在從一個問題走向另一個問題的過程中完成知識的內化。

4 結 語

在本課的教學過程中，從情景引入到層層遞進的探究問題都圍繞著學生的學，積極調動學生學習興趣與熱情，引導學生進行主動探究，讓學生自己主動探究出格林公式，并逐步完善格林公式使用的條件，進而培養學生的問題意識和科學精神，構建創新思維。

[1]華東師范大學大數學學院.數學分析：下冊[M].5版.北京:高等教育出版社,2019:209-211.

[2]周敏,孫浩,王奕昊.格林公式及其證明教學設計[J].高等數學研究,2019,22(2):42-45.

[3]廖春艷,趙艷輝,唐偉國.基于生活的課堂教學設計案例分析:以求旋轉體體積為例[J].湖南科技學院學報,2019,40(5): 7-9.

[4]吳婷.格林公式及其應用的教學設計[J].內江科技,2020,41 (11):20-21.

O171；G642.1

A

1673-2219（2021）05-0103-04

2021-01-26

2021年湖南科技學院教改項目（XKYJ2021007）；2020年湖南科技學院教改項目：“一流專業”建設點專項（XKYJ2020059）；2020年湖南科技學院教改項目（XKYJ2020001）。

廖春艷（1984－），女，江西吉安人，碩士，講師，研究方向為基礎數學。晏玉梅（1986－），女，湖南婁底人，碩士，講師，研究方向為證據理論及其應用。劉春梅（1981－），女，山東濟寧人，博士，副教授，研究方向為區域分解及多重網格法、快速算法等。

（責任編校：宮彥軍）