偶次平均間斷有限元單元內(nèi)部超收斂點(diǎn)結(jié)構(gòu)

鄭玉軍 華玉春 湯 瓊

偶次平均間斷有限元單元內(nèi)部超收斂點(diǎn)結(jié)構(gòu)

鄭玉軍1華玉春1湯 瓊2

（1.湖南科技學(xué)院 理學(xué)院，湖南 永州 425199；2.湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 株洲 412007）

在常微分方程數(shù)值解法中，間斷有限元法不僅具有高精度，而且對(duì)解的光滑性要求較低。考慮常微分方程初值問(wèn)題的偶次平均間斷有限元，在數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)上研究了單元內(nèi)部的超收斂點(diǎn)結(jié)構(gòu)及影響因素。

常微分方程初值問(wèn)題；偶次平均間斷有限元；超收斂點(diǎn)；結(jié)構(gòu)

常微分方程初值 問(wèn)題廣泛出現(xiàn)在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中，它有多種數(shù)值求解方法，如Euler法、Runge-Kutta法等差分法和有限元法[1-6]。近年來(lái)廣泛關(guān)注的間斷有限元法不僅具有高精度，而且對(duì)解的光滑性要求較低，因此可應(yīng)用到求解波動(dòng)方程與熱傳方程問(wèn)題。本文考慮常微分方程初值問(wèn)題的偶次平均間斷有限元[3-6]，在進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)上研究了單元內(nèi)部的超收斂點(diǎn)結(jié)構(gòu)及影響因素。

1 偶次平均間斷有限元格式

考慮如下問(wèn)題

2 偶次平均間斷有限元單元內(nèi)部超收斂點(diǎn)結(jié)構(gòu)

圖1、3、5、7、9、11為偶次平均間斷零次元誤差圖，圖2、4、6、8、10、12為偶次平均間斷二次元誤差圖，圖2、4、6、8誤差的量級(jí)為10?4，圖10誤差的量級(jí)為10?5，圖12誤差的量級(jí)為10?3。可見(jiàn)，偶次平均間斷二次元比零次元精度高些。

圖1 例1的零次元誤差

圖2 例1的二次元誤差

圖3 例2的零次元誤差

圖4 例2的二次元誤差

圖5 例3的零次元誤差

圖6 例3的二次元誤差

圖7 例4的零次元誤差

圖8 例4的二次元誤差

圖9 例5的零次元誤差

圖10 例5的二次元誤差

圖11 例6的零次元誤差

圖12 例6的二次元誤差

觀察4剖分下十二個(gè)誤差圖。例1、3、5的二次元誤差圖在遠(yuǎn)離起點(diǎn)的幾個(gè)單元之后，單元上誤差曲線與三次Legendre多項(xiàng)式相當(dāng)接近，零點(diǎn)與圖中的三階Gauss點(diǎn)非常接近；例1、3、5的零次元誤差圖，單元上誤差曲線與一次Legendre多項(xiàng)式相當(dāng)接近，每單元內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)。例2、4、6的二次元誤差圖在遠(yuǎn)離起點(diǎn)的幾個(gè)單元之后，單元上誤差曲線與二次Legendre多項(xiàng)式相當(dāng)接近，零點(diǎn)與圖中的二階Gauss點(diǎn)*非常接近；而例2、4、6的零次元誤差圖，每單元內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)。文獻(xiàn)[5-6]表明這些Gauss點(diǎn)*是超收斂點(diǎn)。

為探討單元內(nèi)部超收斂點(diǎn)的結(jié)構(gòu)與哪些因素有關(guān)，改變初值。

圖13 例的零次元誤差

圖14 例的二次元誤差

圖15 例的零次元誤差

圖16 例的二次元誤差

圖17 例的零次元誤差

圖18 例的二次元誤差

圖19 例的零次元誤差

圖20 例的二次元誤差

表1 單元內(nèi)部超收斂點(diǎn)個(gè)數(shù)

[1]陳傳淼.有限元超收斂構(gòu)造理論[M].長(zhǎng)沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社,2001:19-255.

[2]陳傳淼.科學(xué)計(jì)算概論[M].北京:科學(xué)出版社,2007:11,138-159.

[3]Delfour M, Hager W, Trochu F. Discontinuous Galerkin methods for ordinary differential equations[J]. Mathematics of Computation, 1981, 36(154):455-473.

[4]李燦華.常微分方程的一類(lèi)強(qiáng)間斷有限元法[D].長(zhǎng)沙:湖南師范大學(xué),2006.

[5]鄭玉軍.常微分方程初值問(wèn)題的一類(lèi)間斷有限元[J].湖南科技學(xué)院學(xué)報(bào),2011,32(8):11-12,18.

[6]鄭玉軍,陳傳淼,湯瓊.非線性常微分方程初值問(wèn)題的偶次平均間斷有限元[J].延邊大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,38(4):270-274.

O241.8

A

1673-2219（2021）05-0007-04

2021-03-13

2018年湖南科技學(xué)院科學(xué)研究項(xiàng)目（18XKY063）；2020年度湖南省自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（2020JJ4323），2020年度湖南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目（20A211）；2020年湖南科技學(xué)院科學(xué)研究項(xiàng)目（20XKY059）。

鄭玉軍（1982－），男，湖南永州人，碩士，講師，研究方向?yàn)橛?jì)算數(shù)學(xué)。

（責(zé)任編校：宮彥軍）