探討求解三角形周長與面積的范圍

四川 唐有強

在數學一輪復習備考教學過程中,如何實現高頻考點的突破，解決教學難點，從做一個試題，到會一類試題，達到觸類旁通；如何做到挖掘典型試題，從一題多變、一題多解、一題優解到萬題歸一，從而啟迪學生的思維，品味數學試題的精髓.本文筆者將以求解三角形中的周長、面積的取值范圍問題為例，呈現教學片段，以供參考.

縱觀求解有關三角形的周長或面積的取值范圍問題，在高考真題與模擬試題中的基本模式為已知三角形的一邊及其對角，求解三角形的周長或面積的最值或取值范圍問題.為讓學生主動掌握此類問題的求解技巧和解題環節，筆者設計了如下幾個教學環節：

(1)△ABC的周長取值范圍是;

(2)△ABC的面積的最大值為.

環節一：試題分析與求解：在分析中找準試題的突破點與解題策略

提問：品味試題，弄清試題已知什么，求解什么，如何尋求突破點？

學生1：由求解范圍、最值，我想到的突破點為借助三角函數工具.

學生2：不等式也可以求范圍，我想能否從不等式角度找到突破口.

老師：兩位同學的思維都有一定的代表性,那又如何建立函數或不等關系呢?請同學們繼續思考.

學生3：既然是三角形，我想到正弦定理，以角為自變量建立函數關系，思路如下:

將周長與面積都建立成關于角B的三角函數關系式，再求解.

老師：很好，學生3的思路很清晰，但要提醒同學們注意兩點：①角B是否有取值范圍，②三角恒等變換力求準確.除了這個思路，不等式能求解嗎？

老師：學生4的思路很清晰，設想構建合理，我想問一下同學們，整個過程中是否有缺陷？

學生5：好像最后只能得到目標的最大值或最小值，但范圍是否還缺點什么？在求三角形的周長時，是否還要用到隱含條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

老師：學生5的思維非常嚴謹，考慮非常仔細，結合上面5位同學的思路，請同學們馬上整理思路，書寫試題解析 ：

于是△ABC的周長為

△ABC的面積為

解法2：在△ABC中，由余弦定理得,

a2=b2+c2-2bccosA,

所以3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc.

評析：通過以上兩種方法的比較，解法1側重三角恒等變換，對學生在三角化簡方面有較高要求;解法2側重代數結構分析和不等式的變形轉化，對學生在代數結構分析方面有較高要求，從解答過程中發現，當涉及范圍問題，建議用解法1，涉及單邊最值問題，建議用解法2.

環節二：試題升華、歸納總結：在提煉中研究試題，在研究中優解試題

提問：同學們在試題整理和解答中，是否有其他的發現？

學生6：感覺周長和面積的最大值都在三角形為等腰三角形時取得.

學生7：已知三角形的一邊及其對角，由正弦定理可得這樣的三角形的外接圓的半徑是一個定值.

老師：結合兩位同學提出來的思考，我們一起來探索一下看看有什么新的發現.

命題：已知△ABC是以A為頂角的等腰三角形，在圓周上任取(異于點A,B,C)一點A1，連接A1B,A1C，證明：A1B+A1C

延長CA1至點B1,使得A1B1=A1B，則A1B+A1C=CB1.連接AA1,AB1,延長BA1交AB1于點E,

因為A,A1,B,C四點共圓，所以∠EA1A=∠BCA,

因為AB=AC,所以∠AA1C=∠BCA,

則有∠EA1A=∠AA1C，而∠B1A1E=∠BA1C,

故有∠B1A1A=∠BA1A，而A1B1=A1B，AA1=AA1,

則△AA1B1≌△AA1B,

于是AB1=AB,

故AB+AC=AB1+AC

>B1C=A1B1+A1C=A1B+A1C,

另外,要使△ABC的面積達到最大，由于底邊a一定，只需高最大即可，結合三角形的外接圓，即高過三角形外接圓圓心，面積達最大值，實質就是底邊a的中垂線過圓心與圓的交點，取得對應的點A,故△ABC為等腰三角形時，周長與面積取得最大值.

試題總結：結合上述證明過程得到如下結論：在三角形中，已知三角形一個內角及其對邊，當三角形是已知角為頂角的等腰三角形時，三角形的周長與面積取得最大值.

公式推導△ABC的周長：

證法1:在△ABC中，A+B+C=π，所以C=π-A-B，

于是△ABC周長為

因為f(x)=sinx在x∈(0，π)上為凸函數，由凸函數的性質可得，

證法2：在△ABC中，A+B+C=π，所以C=π-A-B,

于是△ABC周長為

設f(x)=sinB+sin(A+B)

=(1+cosA)sinB+sinAcosB,

f′(x)=cosB+cos(A+B)=cosB-cosC，

令f′(x)=0,當且僅當B=C時成立，此時f(x)取最大值，

△ABC的面積：

(當且僅當∠B=∠C時取等號)，

環節三：體驗反饋、高考鏈接

反饋訓練1：(2021·上海卷·9)在圓柱中，底面圓半徑為1，高為2，上頂面圓的直徑為AB，C是底面圓弧上的一個動點，繞著底面圓周轉，則△ABC的面積的范圍.

過點C作CD⊥AB,過C作CE⊥⊙O,由三垂線定理可知DE⊥AB,

評析：本題以圓柱為背景，求解三角形的面積取值范圍問題，考查空間中點、線、面位置關系與動點到直線的距離，打破了常規的命題角度，考查學生的綜合能力和創新能力.解法1，結合圓柱中的點、線、面關系，把三角形的面積問題最終轉化為點到線的距離問題.解法2，將立體問題平面化，研究動點C形成的三角形的面積問題，采用極限思維，借助三角形面積最值產生的條件，最終動點問題靜態求解.

反饋訓練2：(2020·全國卷Ⅱ理·17)△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(1)求A；

(2)若BC=3，求△ABC周長的最大值.

解:(1)由正弦定理可得,BC2-AC2-AB2=AC·AB,

(2)由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=AC2+AB2+AC·AB=9,

即(AC+AB)2-AC·AB=9.

評析：本題以三角形背景，考查邊角互化、正余弦定理的應用以及三角形的周長最值,第(1)問側重考查學生對三角恒等式結構分析以及借助正、余弦定理實現邊角互化，第(2)問考查三角形的周長最大值轉化到邊的最大值，可以直接借助余弦定理和基本不等式求得周長的最大值，另外也可以把邊利用正弦定理轉化到對應角的三角函數上，再利用三角函數的相關知識求解.

環節四：課后補償，鞏固提高

2.在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且2acosC=2b-c,若a=1,求b+c的取值范圍．

參考答案：(1,2]

(1)△ABC的周長取值范圍是.

(2)△ABC的面積的最大值為.