立體幾何中與球有關的問題

江蘇 夏雪峰

與球有關的問題是學生在學習立體幾何時經常碰到的內容，一方面從教材(人教2019A必修第二冊)中來看，涉及球的例習題并不多(P118例3、P119例4、P119練習3、P120習題5、P169復習參考題3，共5個)，具體內容主要是常見的組合體、內切球與外接球相關的面積、體積等問題.另一方面從高考題中來看，涉及球的內容倒不少，下表是2016至2021年各卷區高考真題中涉及球的簡單統計：

卷區年份全國甲卷全國卷Ⅰ全國卷Ⅱ全國卷Ⅲ2021球內接三棱錐的體積2020球的表面積根據球的表面積求球心到平面的距離2019三棱錐的內切球體積(理)2018 球內接三棱錐體積的最大值2017 三棱錐外接球表面積(文)球內接圓柱的體積2016 三視圖求球的表面積正方體外接球表面積(文)

從表中以及高考真題可以看出，全國卷對于球的考查有以下幾個特征：

1.考查的題型：選擇或填空，難度以中檔題為主；

2.考查的模型：球內接三棱錐、球內接三棱柱、球內接圓柱、球內接長方體(正方體)、組合體等；

3.考查的問題：球外(內)接幾何體體積、表面積與體積的運算等.

從平時的教學中發現，不少學生對球的相關問題存在解題思路不明、解題方法及計算不到位等問題，這一方面與學生的數學基礎尤其是空間想象能力有關，其次也提醒教師要有針對性地教學.我們知道立體幾何主要培養學生的空間想象能力，球是非常好的載體，這也是高考頻繁考查球相關問題的一個因素.所以非常有必要對球的問題有一個系統的認識與掌握，下面分幾類常見問題說明.

一、組合體問題

【例1】(人教版2019A版必修第二冊P118例3)如圖，某種浮標由兩個半球和一個圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3 m，圓柱高0.6 m.如果在浮標表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么給1 000個這樣的浮標涂防水漆需要多少涂料？(π取3.14)

【解析】一個浮標的表面積為2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.847 8(m2)，所以給1 000個這樣的浮標涂防水漆約需涂料0.847 8×0.5×1 000=423.9(kg).

【教學建議】這是一個組合體，教學中只需引導學生能確定此組合體由圓柱與兩個半球組合而成，計算可以由學生自主完成.

【例2】如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為

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【教學建議】此題的關鍵有兩點，一是找到球與正方體的組合方式——球與正方體四條棱相切；二是確定解題方法——取兩個切點的球的一個大圓截面(如圖)，轉化為圓內的問題來處理.

二、球的截面問題

【例3】球O的兩個相互垂直的截面圓O1與O2的公共弦AB的長為2，若△O1AB是直角三角形，△O2AB是等邊三角形，則球O的表面積為

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A．9π B．12π C．16π D．20π

【解析】如圖，連接OO1，OO2，則OO1⊥圓O1所在平面，

OO2⊥圓O2所在平面，取AB的中點E，連接O1E，O2E，則四邊形OO1EO2為矩形．

則球O表面積為4πR2=4π×5=20π，故選D．

【教學建議】首先，類比平面幾何中的圓與弦的勾股關系，球的截面問題經常利用的核心關系是r2+O1O2=R2，此題也不例外.其次此題中有兩個相互垂直的截面圓，可以引導學生通過建立方程組來求解.

【解析】如圖,取B1C1的中點為E，BB1的中點為F，CC1的中點為G，

又四棱柱ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥D1E，

因為BB1∩B1C1=B1，所以D1E⊥側面B1C1CB，設P為側面B1C1CB與球面的交線上的點，則D1E⊥EP.

【教學建議】此題對空間想象能力要求較高，但只要抓住球的截面始終是圓及如何確定截面圓的圓心，便明確了方向.建議抓住三個要點：①平面BCC1B1球截面得到必然是圓；②確定截面圓的圓心是E；③確定該圓在側面BCC1B1上的部分圓弧位置，計算長度.

三、外接球問題

1.三棱錐的外接球

【例5】(2019·全國卷Ⅰ理·12)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為

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【解析】因為PA=PB=PC,△ABC為邊長為2的等邊三角形，

可知三棱錐P-ABC為正三棱錐，PB⊥AC，

又E，F分別為PA,PB的中點，

EF∥PB，所以EF⊥AC，

又EF⊥CE，CE∩AC=C,

EF⊥平面PAC，PB⊥平面PAC，

由三棱錐P-ABC為正方體一部分，

【教學建議】在多面體的外接球中，長方體、正方體的外接球較為常見.此題雖然條件中是三棱錐的外接球，但是通過引導學生進一步判斷PA，PB，PC兩兩垂直，所以三棱錐是正方體的一部分，外接球的球心就不難確定了.在這個問題中，通過“判斷”“補形”，將棱錐的外接球轉化為正方體的外接球，非常巧妙，對培養學生的空間想象能力很有幫助.

( )

【解析】如圖，設G為正三角形ABC的外心，

取BD的中點N，則N為直角三角形BCD的外心，

設三棱錐的外接球的球心為O，則ON⊥平面BCD，OG⊥平面ABC，

【教學建議】對學生而言，如何確定三棱錐的外接球的球心是難點，在教學過程中建議把作圖過程特別是如何把球心找出來(或者構造出來)的過程一步一步詳細展示出來，這樣有助于分解難點.過底面(把合適的面作為底面)三角形的外心作底面的垂線，則外接球的球心必在此垂線上，然后由方程確定球的半徑.

2.四棱錐的外接球

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取DE的中點O1，

則O1D=O1E=O1B=O1C=2，

即O1為梯形BCDE的外接圓的圓心，

設四棱錐A-BCDE的外接球的球心為O，等邊三角形ABC的外接圓的圓心為O2，

由側面ABC⊥底面BCDE，

【教學建議】對于四棱錐的外接球，要讓學生理解確定球心的方法與三棱錐類似，此題可以判斷底面四邊形是等腰梯形，它的外心可以確定，然后構造球心即可.

四、內切球問題

【例8】(1)(人教版2019A版必修第二冊P119練習3)將一個棱長為6 cm的正方體鐵塊磨制成一個球體零件，求可能制作的最大零件的體積.

(2)(人教版2019A版必修第二冊P119例4)如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比.

(2)設球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R，高為2R.

【教學建議】這是教材中兩個非常好的例習題，教學中要充分發揮它們的價值.

對于(1)，重點讓學生能理解所求最大體積就是求正方體的內切球的體積，

對于(2)，可以向學生說明著名的阿基米德圓柱體，并介紹相關的數學史料.

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【解析】由題意，最大的球應與四棱錐各個面都相切，

設球心為S，連接SD，SA,SB,SC,SP，

則把此四棱錐分為五個棱錐，設它們的高均為R，求出四棱錐的表面積

【教學建議】教學中，可以通過類比思考的方式，引導學生類比平面幾何中多邊形的內切圓問題，得到棱錐的內接球,通過“等體積法”來確定球半徑的常用方法，這樣類比的方法可以讓學生由淺入深地理解問題，掌握方法.

五、外切球問題

【例10】桌面上有3個半徑為2 021的球兩兩相外切，在其下方空隙中放入一個球，該球與桌面和三個球均相切，則該球的半徑為

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【解析】設三個半徑為R的球的球心分別為O1，O2，O3，與桌面三個切點分別為A，B，C，如圖所示，

則三棱柱ABC-O1O2O3，是一個底面邊長為2R，高為R的正三棱柱，

則小球球心O在底面ABC上的投影為△ABC的中心H，

連接OH，AH，OO1，作OD∥AH交O1A于點D，可得四邊形AHOD為矩形，OD=AH.

設小球半徑為r，則OH=AD=r，O1D=O1A-DA=R-r，

【教學建議】此題對學生的空間想象能力要求也很高，教學中一方面要引導學生抓住要點，即通過球心來構造三棱柱，另一方面通過類比圓的外切的方法，利用半徑之和等于球心距進行計算.