對比教材 改進教學
——以“事件的相互獨立性”為例

廣東 蔣海榕

2017課標版人教A版高中數學教材與2007版人教A版對比，“事件的相互獨立性”內容提前并升級.舊教材以條件概率為背景來研究事件的“獨立性”，而新教材通過歸納推理抽象出事件的“獨立性”.本文從探究概念、深挖內涵、正確判斷、鞏固應用四個方面對新教材中的“事件的獨立性”進行教學探討.

一、問題的提出

1.新舊教材內容的差異

為了落實立德樹人的根本任務，提高學生學科核心素養，在新課程標準背景下，2017課標版人教A版高中數學教材(以下統稱“新教材”)投入使用.與2007版人教A版教材(以下統稱為“舊教材”)對比，內容編排發生了很大改變.尤其是“概率”部分，新教材中“樣本空間”的引入，帶來了整章的知識重構.具體見下圖：

2017課標版人教A版必修二第十章2007版人教A版選修2-3第二章10.1隨機事件與概率10.1.1有限樣本空間與隨機事件10.1.2事件的關系與運算10.1.3古典概型10.1.4概率的基本性質10.2事件的相互獨立性10.3頻率與概率10.3.1頻率的穩定性10.3.2隨機模擬2.1離散型隨機變量及其分布列2.1.1離散型隨機變量2.1.2離散型隨機變量的分布列2.2二項分布及其應用2.2.1條件概率2.2.2事件的相互獨立性2.2.3獨立重復試驗與二項分布2.3離散型隨機變量的均值與方差2.3.1離散型隨機變量的均值2.3.2離散型隨機變量的方差2.4正態分布

從上圖我們可以看到：對比舊教材，新教材把“事件的相互獨立性”從選修提前到了必修內容，由“2.2二項分布及其應用”下的子目錄升級為“10.2事件的相互獨立性”單獨一節.最為重要的是新教材對事件的相互獨立性這一節進行了知識重構，舊教材中是在學習了條件概率基礎上，利用條件概率進行演繹推理，研究相互獨立的兩個事件的概率關系.新教材中并未學習條件概率，是通過兩個試驗探究，進行歸納推理得出結論.目前大部分關于“事件的相互獨立性”教學研究都是以條件概率為背景，無法真正領會新教材編寫意圖.

2.學生認知的障礙

學生在學習“獨立性”之前，就容易對非獨立的兩個事件的積事件的概率進行乘法運算；判斷兩個事件是否獨立時，學生又容易與前面學的互斥事件發生混淆，甚至會認為可以感性判斷兩個事件是否獨立，不需要獨立性公式來判斷.

下面從探究概念、深挖內涵、正確判斷、鞏固應用四方面對新教材中“事件的相互獨立性”進行教學探討.

二、教學探討

1.巧用探究，引出概念

探究1：分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”

探究2：一個袋子中裝有標號分別是1，2，3，4的4個球，除標號外沒有其他差異.采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球，設A=“第一次摸到球的標號小于3”，B=“第二次摸到球的標號小于3”

探究3：將探究2中“有放回”改為“不放回”，分別計算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么發現？

設計意圖：探究1和探究2來源于課本，探究環節從最簡單、學生最熟悉的情境入手.讓學生利用前面所學的有限樣本空間和古典概型的知識，發現共性，得到結論P(AB)=P(A)P(B)，為歸納出“獨立性”概念做準備.

補充的探究3讓學生體會概率中兩個基本事件有可能滿足獨立性，但是并非所有的兩個事件具備獨立性.改變了試驗條件，兩個事件的關系也發生改變.通過探究3，讓學生理解“獨立性”，避免在后面學習中濫用公式.這一過程旨在培養學生歸納推理能力與嚴謹的數學思維.

2.抽象概念，深挖內涵

通過歸納探究1和探究2，得出概念：對任意的兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與B相互獨立，簡稱獨立.

探究4：必然事件Ω、不可能事件?與任意事件相互獨立嗎？為什么？

探究6：“獨立”與“互斥”等價嗎？

探究7:設樣本空間Ω={a，b，c，d}含有等可能的樣本點，且A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}.A，B，C三個事件兩兩獨立，P(ABC)是否等于P(A)P(B)P(C)？

設計意圖：探究4中，因為P(Ω)=1，所以P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，同理可得P(?A)=P(A)P(?)，符合“獨立性”的定義.同時，再次讓學生理解：事件A的發生與不發生對不可能事件與必然事件發生的概率不產生任何影響.從嚴謹的概念再回到感性體會，讓學生深刻理解獨立性的含義.探究5中，類比集合運算，課本給出了詳細的推導過程.幫助學生熟悉概率的運算，進一步理解事件的相互獨立性的性質.

探究4與探究5，新教材利用獨立性的定義“P(AB)=P(A)P(B)”，將問題很好地解決了，不依賴于條件概率，反倒降低了“獨立性”學習的難度，這是新教材編排的優點.

設事件A與事件B互為互斥事件，則有P(AB)=0，易得在P(A)>0，P(B)>0的條件下P(AB)≠P(A)P(B).所以得到結論：P(A)>0，P(B)>0的條件下互斥的兩個事件一定不具有相互獨立性.探究6從定義的角度出發，讓學生經歷“獨立”與“互斥”的概念辨析過程，理解它們是完全不同的概念.

3.善用例題，正確判斷

【例1】甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶率為0.9,求下列事件的概率：(1)兩人都中靶;(2)恰好有一人中靶;(3)兩人都脫靶;(4)至少有一人中靶.

答案：(1)0.72 (2)0.26 (3)0.02 (4)0.98

【例3】一個家庭有n(n≥2)個小孩，假設生男孩和生女孩機會均等，事件A表示“有男孩也有女孩”，事件B表示“最多有一個女孩”

(1)當n=2時，事件A與事件B是否獨立？

(2)當n=3時，事件A與事件B是否獨立？

設計意圖：例1和例2來源于課本，例1學生可以直接判斷兩個事件相互獨立，例2題目直接告知兩個事件獨立.這是最簡單常見的兩種判斷情形，要求學生根據獨立性的概率公式準確作答.例1和例2的設置，容易讓學生覺得，“獨立性”都是可以感官直接判斷的.例3的補充，可以讓學生體會到：P(AB)=P(A)P(B)才是真正能夠判斷兩個事件是否相互獨立的條件.再次讓學生深刻體會“獨立性”的內涵，以此培養學生嚴謹的思維習慣.

4.活用真題，鞏固應用

【練習】(2021·新高考Ⅰ卷·8)有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則

( )

A.甲與丙相互獨立

B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立

D.丙與丁相互獨立

答案：B

設計意圖：從歷年的高考真題我們可以看到，事件的相互獨立性是概率模塊考查的重點內容.不管舊教材還是新教材，利用“獨立性”進行概率計算始終是要求重點掌握的.特別值得一提的是2021年新高考Ⅰ卷第8題，利用P(AB)=P(A)P(B)判斷事件的“獨立性”，并不需要依賴條件概率，著重體現了“獨立性”定義的優點，與新教材編排意圖完全相符.