結構不良試題命題趨勢研究

山東 尹承利

結構不良試題是始于2020年新高考Ⅰ卷(供山東使用)的一種新題型.該題型的引入，增強了試題的開放性，引導考生的思維從知識的習得與記憶更多地轉向問題的解決策略的選擇上，使得數學真正地應用在思維層面，能深入地考查考生的觀察、分析、比較、判斷和對問題的把控能力，有效地考查考生思維的靈活性和建構數學問題的能力，以及分析問題和解決問題的能力.對數學理解能力，數學探究能力的考查起到積極、深刻地作用.因而該題型一經出現，就受到中學數學界的“熱捧”，成為高考及各地模擬考試數學命題的“主打”題型.隨著高考命題改革的推進，結構不良試題呈現出多元化趨勢，無論是從形式還是考查內容上，都在變化發展著.從結構形式上看，2020年高考主要是“條件開放”型，而2021年高考甲卷理科的第18題呈現的則是“條件和結論均開放”型；從考查內容上看，2020年高考和各地模擬題中所考查的知識大多局限于數列和解三角形兩部分內容，而2021年高考新高考Ⅱ卷的第22題(壓軸題)將考查知識擴展到導數；從題型上看，2020年和2021年高考僅局限在解答題中，但可以預見，在2022年乃至以后高考命題中，結構不良試題的命題不止是解答題，也會在選擇、填空題中呈現.為此，筆者原創、改編一組以解析幾何為知識載體的結構不良試題，供2022屆高三復習備考時參考，同時期待與諸位同仁共同致力于研究、預測結構不良試題在題型方面的變化發展趨勢.

一、“結構不良”客觀題

在選擇題或填空題中設計“結構不良”試題，在現行的數學命題中未曾有過，但筆者以為，由于當今高考數學命題的多樣性、開放性和包容性，在高考命題中出現“結構不良”選擇題或填空題是可以預期的，呈現的形式與“結構不良”解答題呈現的形式基本一致.在這里，筆者編擬幾題，旨在拋磚引玉.

1.“結構不良”選擇題

題1.已知O是坐標原點，A,B兩點分別在兩條互相垂直的直線2x-y=0和x+ay=0上，且________，則線段AB的長為

( )

A.11 B.10

C.9 D.8

注：從以上兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.

解析：若選擇①，

由已知兩直線互相垂直可得2×1+(-1)×a=0，解得a=2，所以△AOB外接圓的周長為10π，所以半徑r=5.

又在Rt△AOB中，O是直角頂點，所以AB為△AOB外接圓的直徑，所以|AB|=10，故選B.

若選擇②，已知兩直線互相垂直可得2×1+(-1)×a=0，解得a=2.所以線段AB的中點為P(0,5)，且AB為Rt△AOB的斜邊.因為直角三角形斜邊上的中線PO的長為斜邊AB的一半，且|PO|=5，故|AB|=2|PO|=10,故選B.

( )

注：從以上兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.

解析：若選擇①，

若選擇②，

2.“結構不良”填空題

注：從以上兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.

解析：若選擇條件①，

所以x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0.

若選擇條件②，

二、“結構不良”主觀題

這是結構不良試題的主要呈現題型，條件開放(自選)，具體的表現形式是：給出幾個待選條件，需要考生在較短的時間內，分析和捕捉信息，從所給出的不同條件中由考生自行篩選出自己認為擅長、適合的那一個條件，將其納入、補充到題設條件中，并結合題設中的其它已知條件，然后按結構良好型試題作答的方法步驟進行推理、運算，以求取得滿意的解答.

解題需要考生注意的是題目結尾標注的指導語——“如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分”，以免誤答、多答，浪費時間.

(1)求橢圓E的方程；

(2)已知直線l與橢圓E交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，O為坐標原點，M為AB的中點，________.若存在實數t，使得|OM|·|AB|≤t恒成立，求t的最小值.

從下面兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中并作答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

(2)若選①，

若選②，

所以(4k2+1)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0，

題5.已知動點M到定點F(1,0)的距離比M到定直線x=-2的距離小1.

(1)求點M的軌跡C的方程；

(2)已知________，求證：直線AB恒過一個定點.

從下面兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中并作答.

①O是坐標原點，P(-3,0)，A,B是C上的兩個動點，且OP平分∠APB;

②過點F作C的兩條互相垂直的弦，且弦的中點分別為A,B.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解析：(1)由題意,動點M到定點F(1,0)的距離等于M到定直線x=-1的距離，根據拋物線的定義可知，點M的軌跡C是拋物線.

因為p=2，所以拋物線方程為y2=4x.

(2)若選擇①,設A(x1,y1)，B(x2,y2)，設直線AB的方程為x=ky+m，代入拋物線方程并整理得y2-4ky-4m=0，由Δ=(4k2)-4(-4m)>0，解得m+k2>0，

所以y1+y2=4k，y1y2=-4m.

因為PO平分∠APB，所以∠OPA=∠OPB，所以kPA=-kPB，即kPA+kPB=0.

而y1(x2+3)+y2(x1+3)=y1(ky2+m+3)+y2(ky1+m+3)=2ky1y2+(y1+y2)(m+3)=2k×(-4m)+4k(m+3)=12k-4km，

所以12k-4km=0，由于k可以變動，所以m=3，即x=ky+3，當y=0時，x=3.

所以直線AB恒過定點(3,0).

若選擇②,

設過點F作C的兩條互相垂直的弦分別與C相交于為P,Q和M,N，且弦PQ的中點為A，弦MN的中點為B.

由題意可設直線PQ的方程為y=k(x-1)(k≠0)，

Δ=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0,

于是，直線AB恒過定點(3,0)；

當k=±1時，直線AB的方程為x=3，也過點(3,0).

綜上所述，直線AB恒過定點(3,0).

(1)求點P的軌跡C的方程；

(2)設直線l經過點M(0,1)，且與C相交于E，F兩點，若________，求直線l的方程.

從下面兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中并作答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

(2)若選擇①，

當過點M的直線EF的斜率存在時，設直線EF的方程為y=kx+1.

若選擇②,

得(3+4k2)x2+8kx-8=0.①

三、教學啟示

結構不良試題作為一種新穎題型的確給新高考試卷命題注入了新的活力，復習備考中在關注、重視和研究這種新題型的同時，也切莫風聲鶴唳.“結構不良”僅僅是一種載體，一種為高考命題服務的形式，它的“新”主要還是體現在情境、設問等形式上的新，在復習備考中重視研究、探討和運用這些新題型的時候，更要重視在“新”的背后，考查的依然是核心的數學知識，考查的是數學本質性的東西，復習備考中做好以下幾方面工作應當是堅定地！

1.夯實基礎，注重通性通法

中學數學傳統意義上的主干知識如函數與導數、三角函數、解三角形、數列、立體幾何、解析幾何、概率與統計等是構筑“中學數學”這座大廈的根基，無論高考改革到什么程度，相信對這些主干知識的考查一定不會冷落.因此要指導學生“吃透課本、抓實基礎、注意通性通法，理解中心思想”，才能在高考中考出理想成績.

2.把握“問題本質”

相信高考數學命題無論怎么變化、改革，改變的是形式，不變的是本質！數學問題的本質就是體現和滲透在問題中的知識、方法和規律及數學思想方法乃至數學核心素養，將本質性的東西深刻挖掘了、弄熟吃透了，即使當呈現在大家面前的新問題可能是在原問題的基礎上進行了某種程度的改頭換面，或者進行了適當的變式或包裝，只要能看透變式與包裝背后本質性的東西，那么問題無論如何變幻莫測，解決起來總能游刃有余和得心應手.

3.不盲目追求題量