圓形有界磁場中“磁發散”與“磁聚焦”規律的探析

湖南 王躍軍

帶電粒子(不計重力)在圓形有界磁場中的運動問題，在高考及物理競賽中頻繁出現，該類題型通常情境新穎，較好地綜合了物理、數學知識，著重考查學生的綜合分析能力，邏輯推理能力，以及應用數學知識解決物理問題的能力。而當磁場圓半徑等于軌跡圓半徑時，有如下兩條規律。磁發散規律：如圖1所示，若帶電粒子從圓形有界磁場邊界某點沿不同方向射入磁場，則粒子射出磁場時速度方向都相同，且與入射點處的切線方向平行。磁聚焦規律：如圖2所示，平行射入圓形有界磁場的帶電粒子，都將從磁場邊界的同一點射出磁場，且粒子的入射速度方向一定與出射點處的切線方向平行。

圖1 圖2

磁發散規律的證明：

如圖3所示帶負電的粒子(不計重力)從圓形有界磁場O1邊界上的A點射入磁場，AD為過A點的切線，已知粒子在磁場中圓周運動的軌跡圓O2的半徑與磁場圓O1的半徑相等。若粒子經磁場偏轉后從磁場邊界的C點沿CE方向射出。下面來證明CE∥AD。

圖3

連接O1A、O1C、O2A、O2C，由于磁場圓半徑等于粒子軌跡圓半徑，故四邊形AO1CO2為菱形，因而可得：

O1A∥O2C①

AD為磁場圓過A點的切線，則有：AD⊥O1A②

由①和②可得：AD⊥O2C③

CE為粒子在磁場邊界C點的出射方向

CE⊥O2C④

由③和④可得：CE∥AD

由于粒子從A點射入磁場的方向是任意的，而A點的切線方向是確定的，故從A點射入磁場的所有粒子都會平行于AD方向射出，如圖1所示，粒子的入射方向是分散的，但經過圓形有界磁場偏轉后，轉變成平行方向射出，這類比于光學中，經過凸透鏡焦點的入射光線經凸透鏡折射后變成平行光線。同理亦可證明磁聚焦規律。

下面筆者通過三個例題探析規律的應用。

【例1】電子質量為m，電荷量為e，從坐標原點O處沿xOy平面射入第一象限，射入時速度方向不同，速度大小均為v0，如圖4(甲)所示。現在某區域加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強磁場，磁感應強度為B，若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏與y軸平行，求：

(1)熒光屏上亮線的長度；

(2)所加磁場范圍的最小面積。

甲

乙

【點評】本題用到了磁發散規律，解題的關鍵是畫好初速度沿x軸正方向及沿y軸正方向的電子運動軌跡，利用幾何知識確定好磁場圓的圓心及半徑。學生要準備好圓規、尺子、鉛筆等作圖工具進行規范作圖，這有利于直觀呈現題目，快捷準確找出數理關系。

【例2】如圖5，ABCD是邊長為a的正方形。質量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區域。在正方形內適當區域中有勻強磁場。電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場。不計重力，求：

(1)此勻強磁場區域中磁感應強度的方向和大小；

(2)此勻強磁場區域的最小面積。

圖5

圖6

【點評】本題是一個典型的磁聚焦考題，該題考查了學生對于帶電粒子在磁場中運動的綜合分析能力，重點考查了粒子運動的軌跡。這要求我們不僅要熟悉磁發散和磁聚焦規律中粒子在整個圓磁場區域運動情況，也要能在圓磁場局部區域運用所學規律。這要求同學們在學習中要善于分析，見微知著。

【例3】(2021·湖南卷第13題)帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關鍵技術之一。帶電粒子流(每個粒子的質量為m、電荷量為+q)以初速度v垂直進入磁場，不計重力及帶電粒子之間的相互作用。對處在xOy平面內的粒子，求解以下問題。

(1)如圖7，寬度為2r1的帶電粒子流沿x軸正方向射入圓心為A(0，r1)、半徑為r1的圓形勻強磁場中，若帶電粒子流經過磁場后都匯聚到坐標原點O，求該磁場磁感應強度B1的大小；

圖7

(2)如圖7，虛線框為邊長等于2r2的正方形，其幾何中心位于C(0，-r2)。在虛線框內設計一個區域面積最小的勻強磁場，使匯聚到O點的帶電粒子流經過該區域后寬度變為2r2，并沿x軸正方向射出。求該磁場磁感應強度B2的大小和方向，以及該磁場區域的面積(無需寫出面積最小的證明過程)；

(3)如圖8，虛線框Ⅰ和Ⅱ均為邊長等于r3的正方形，虛線框Ⅲ和Ⅳ均為邊長等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分別設計一個區域面積最小的勻強磁場，使寬度為2r3的帶電粒子流沿x軸正方向射入Ⅰ和Ⅱ后匯聚到坐標原點O，再經過Ⅲ和Ⅳ后寬度變為2r4，并沿x軸正方向射出，從而實現帶電粒子流的同軸控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁場磁感應強度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中勻強磁場區域的面積(無需寫出面積最小的證明過程)。

圖8

圖9

圖10

【點評】本題是湖南省2021年高考計算題，本套試卷整體難度較大，學生作答的時間緊，而本題又有近五百字和兩個圖，學生閱讀理解也需花費較多時間，題目綜合用到了磁發散和磁聚焦兩個規律，解題時既要用到物理中的洛倫茲力、圓周運動知識，又要用到數學中的平面幾何知識，綜合性較強，學生容易失分，但如果有了例題1和例題2的鋪墊，學生解題時會游刃有余，從容面對，在緊張而緊湊的高考中節省寶貴時間，提升信心、穩定心態。