由關系式引發的思考與教學啟示

陜西 黨維軍 成均武

一、創設情境、問題導入

教師創設情境、提出問題：假如你站在地球赤道上，地球自轉越來越快，你會有什么感覺？

學生可能回答出三種答案：(1)重力或對地面的壓力越來越小；(2)重力或對地面的壓力為零，處于漂浮狀態；(3)發生離心現象被“甩”離地球。

教師總結：可見，隨著地球自轉的加快，會發生一系列有趣的現象，這節課我們以勻質球形自轉天體為模型，運用所學的物理知識來研究這些有趣的現象。

二、三類問題的呈現及解析

1.球形天體自轉引起漂浮的臨界周期問題

【例1】一物體靜置在平均密度為ρ的球形天體表面的赤道上。已知萬有引力常量為G，若由于天體自轉使物體對天體表面壓力恰好為零，則天體自轉周期為

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【思路點撥】本題考查球形自轉天體赤道上物體漂浮的臨界周期。萬有引力對赤道上物體產生兩個作用效果，一是提供物體隨天體自轉的向心力，二是使物體具有重力。自轉越快(周期越小)物體需要的自轉向心力越大，重力越小。若自轉向心力恰好等于萬有引力，則物體的重力恰好為零，即赤道處重力加速度為零，物體處于漂浮狀態，對天體表面壓力恰好為零。

2.球形天體穩定自轉的臨界密度問題

【例2】2018年2月，我國500 m口徑射電望遠鏡(天眼)發現毫秒脈沖星“J0318+0253”，其自轉周期T=5.19 m/s，假設星體為質量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10-11N·m2/kg2。以周期T穩定自轉的星體的密度最小值約為

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A.5×109kg/m3B.5×1012kg/m3

C.5×1015kg/m3D.5×1018kg/m3

【思路點撥】本題考查球形天體穩定自轉的臨界密度問題。天體的自轉是同軸轉動模型，各點角速度和周期相同，赤道處物體繞軸圓周運動的半徑最大，需要的向心力最大，最容易發生漂浮現象。在自轉周期一定的條件下，要保證天體穩定自轉，即不發生離心現象，須滿足條件：赤道處物體需要的自轉向心力不超過星體提供的萬有引力，據此關系可得滿足條件的密度。

3.近地衛星環繞周期與天體密度的關系

【例3】若一均勻球形星體的密度為ρ，萬有引力常量為G，則在該星體表面附近沿圓軌道繞其運動的衛星的周期是

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【思路點撥】利用圓軌道衛星的環繞周期和軌道半徑，根據萬有引力提供向心力，可以計算中心天體的質量，當衛星近地環繞時，軌道半徑與中心天體的半徑相同，會出現一種特殊情況，即跳過質量直接計算出中心天體的密度，這意味著天體的密度直接決定其近地衛星的環繞周期。

以上這三類問題中，例1和例3難度不大，盡量讓學生自主完成，例2稍有難度，教師可以提示學生完成。

三、析殊途同歸，悟物理之美

【思考問題2】從運動和受力的角度分析近地衛星和赤道上的物體有什么異同？

【思考問題3】例1中的臨界周期與例2中的臨界密度有什么關系？

三、針對訓練與拓展延伸

針對本節課的教學內容設計四道原創習題如下，以供課后針對訓練和拓展延伸使用。

【針對訓練1】假設地球的質量與體積不發生變化，而自轉速度逐漸加快。當赤道上的物體對地面壓力為零，處于漂浮狀態時，地球上一晝夜的時間約為(地球半徑取6 400 km)

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A.45 min B.85 min C.125 min D.165 min

【設計意圖】該題貼近學生的生活情境，能夠引發學生聯想，激發學生的學習興趣。可作為課后練習題，鞏固和檢測學生對本節課內容的學習效果。

【答案】B

【針對訓練2】質量超過錢德拉塞卡極限的星體，電子將被壓入原子核中，與其中的質子合并為中子，大量中子緊密排列構成中子星。已知某中子星的密度約為1×1018kg/m3，萬有引力常量為6.67×10-11m3/kg·s2。則該中子星穩定自轉的極限轉速約為

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A.600 r/s B.1600 r/s C.2600 r/s D.3600 r/s

【設計意圖】該題以中子星的形成為背景，出現宇宙學名詞：錢德拉塞卡極限，引導學生了解科技前沿。考查天體穩定自轉的臨界周期和臨界密度，同時考查轉速的概念和數學運算能力。

【答案】C

【拓展延伸1】某行星的自轉速度逐漸加快，當其轉速為n0時，某物體在該行星兩極所受重力與在赤道上所受重力的比值為4∶3，假設該行星可視為質量均勻的球體，且質量和半徑不發生變化，則該行星維持穩定自轉的最大轉速為

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【設計意圖】該題綜合考查萬有引力定律與圓周運動的規律，要能分析極地和赤道處重力加速度的差異，知道穩定自轉的臨界條件和轉速的概念，難度較大，可作為能力提升練習題。

【答案】B

【設計意圖】當勻質球形自轉天體處于穩定自轉的臨界狀態時，地表各處的重力加速度呈現特殊的分布，對于感興趣的學生，可用該題拓展學生思維能力和學習興趣。

【解題指南】當天體處于穩定自轉的臨界狀態時，如圖1所示，對萬有引力F正交分解后，可以證明任意緯度處星球表面的物體所需的自轉向心力，恰好等于萬有引力平行于赤道面指向地軸的分力Fcosθ，而另一分力即重力恰好等于Fsinθ，且方向垂直于赤道面，考慮極地處有F=mg0，代入后可得地表各處的加速度g隨緯度θ的分布。

圖1

【答案】g=g0sinθ，方向均垂直的指向赤道面。

四、結束語