經歷抽象，完成概念建構

○申武廣

眾所周知，《倍的認識》一課旨在幫助學生初步建立“倍”的概念。教材通過創設“小兔吃蘿卜”的情境，比較胡蘿卜、紅蘿卜和白蘿卜之間的根數關系，觀察和思考“3倍和5倍”的含義，進而引出“倍”的概念。但筆者調研發現，學過例題之后仍有部分學生對“倍”的認識存在諸多誤區。如何幫助學生很好地建立“倍”的概念呢？

一、借助畫圈，初步感知

課始，學生根據教材情境圖提出數學問題。

師：剛才同學們提出了“紅蘿卜是胡蘿卜的幾倍”這個問題，有誰會做嗎？

生：3倍，因為紅蘿卜里面有3個胡蘿卜的根數。

生：胡蘿卜有2根，紅蘿卜有6根，6里面有3個2。

師：說得好！為了看得更清楚，你有什么辦法嗎？

生：我把2個胡蘿卜畫一個圈，紅蘿卜每2個畫一個圈，一共3個圈。

師：那么白蘿卜的根數是胡蘿卜的幾倍呢？請同學們在書上圈一圈，再判斷關系。

生：白蘿卜的根數是胡蘿卜的5倍，因為有5個胡蘿卜的根數。

師：你是怎么圈白蘿卜的？

生：2個2個地圈。

師：看來畫圈這種方法挺好的。接下來，我們來總結一下，不管是2倍，還是5倍，要判斷某種蘿卜的根數是胡蘿卜的幾倍，需要看什么？

生：只要看這種蘿卜包含幾個胡蘿卜的根數。

“倍”對于多數學生來說并不陌生，當提出倍數問題時，教師順勢讓學生講講其中的道理，然后借助畫圈，形象直觀地表示出“幾倍”，感悟“倍”就是“幾個幾”，促使學生頭腦中建立起“倍”的直觀形象。然后再運用畫圈的方法，表示出白蘿卜和胡蘿卜的關系。可以說，畫圈是學生建立“倍”關系的一種重要的直觀操作方法。

二、問題引領，比較變化

（課件展示：增加一根胡蘿卜。）

師：胡蘿卜的根數多了，它們的關系變了嗎？

生：變了，紅蘿卜的根數是胡蘿卜的2倍。

生：因為胡蘿卜是3根，紅蘿卜是6根，有2個3根，所以是2倍。

師：奇怪了！我們只讓胡蘿卜增加了一根，為什么倍數就變了呢？

生：因為原來有2根，紅蘿卜6根，含有3個2根，是3倍的關系；而后來變成3根，紅蘿卜6根，含有2個3根，是2倍的關系。

師：紅蘿卜的根數是胡蘿卜的幾倍，關鍵看什么？

生：關鍵看胡蘿卜的根數。

師：比較這兩次，有什么相同和不同？

生：紅蘿卜的根數相同，胡蘿卜的根數不同。

師：是的，這個胡蘿卜不管是幾，我們都是看作1份，一般叫標準量；紅蘿卜有這樣的幾份，就是幾倍，它叫做比較量。

（課件展示：飛走一根紅蘿卜。）

師：同學們，紅蘿卜少了一根，白蘿卜和紅蘿卜根數有什么關系嗎？

生：白蘿卜的根數是胡蘿卜的2倍。

生：紅蘿卜現在5根，白蘿卜有10根，包含2個5，所以是2倍。

師：剛才我們知道，紅蘿卜的根數是胡蘿卜的2倍。變化前后有什么相同和不同嗎？

生：不同的是，標準量和比較量的根數都不一樣。

生：相同的是，下一行的根數是上一行的2倍。

生：比較量都含有2份。

學生初步感知“倍”之后，還需要繼續深入理解。本環節改變胡蘿卜和紅蘿卜的根數，在比較變化中讓學生領悟概念的本質。當增加了胡蘿卜的根數時，紅蘿卜和胡蘿卜的倍數關系就發生了變化，學生會發現紅蘿卜不變，胡蘿卜變了，倍數關系也會變，根本原因在于1份量（或標準量）變了。當減少紅蘿卜的根數時，都出現了2倍的關系，學生追根究底，發現共同之處，倍的關系確立要同時看兩種量，從而為抽象概括出“倍”奠定基礎。

三、多元表征，抽象概括

（用若干個正方形和圓形表示2倍關系。）

師：雖然大家所畫的圖形個數都不一樣，但要滿足2倍的關系，需要符合什么條件？

生：只要讓圓形包含2個正方形的個數即可。

師：像這樣的情況能寫完嗎？

生：寫不完！

師：是啊！但是有一種方法可以把所有的情況都表示出來。（課件出示一條線段。）師：這條線段表示幾個？

生：表示1個。（遲疑）不一定，也可以表示許多個。

生：表示1份。

師：是的。那么圓形這一行怎么表示呢？

生：兩條線段。（課件展示。）

生：也就是2份。

師：同學們看這種表示方法，不管正方形和圓形多少個，正方形作為標準量總是1份，圓形作為比較量總是2份，所以它們是2倍的關系。

師：從數目來看，（課件展示對應線）圓形的個數是正方形的2倍，也就是圓形包含2個正方形的個數，可以用除法算式來表示，我們一起來看看。

（ ）÷（ ）=2

考慮到小學生的思維特點，為了能夠抽象概括數學概念，把握概念的本質屬性，我們非常注重概念的多元表征。本環節以2倍為例，先讓學生用圖形表示，數量多少不一，大大豐富了“倍”的直觀認知，是學生理解“倍”的感知材料；接下來的線段圖表示為學生抽象“倍”建立了橋梁。同時，教師有意引導學生觀察數量，聯系學過的除法算式，將“倍”的數學表達式表示出來，讓學生完整地認識“倍”，實實在在經歷了必要的抽象過程，收到了良好的教學效果。