立足生本，在“證據”中探尋思維本質

王娟

【摘 要】數學是思維的體操，但如何讓學生的思維“尋跡可現”，就需要我們去把握學生思維生長的“證據”，讓“證據”去體現學生的思維過程。本文將基于學生學習過程中的“證據”，從課前的自學導航、課中的實際操作、課后的作業草稿和思維導圖幾個方面著手，探尋學生的思維成長路徑，培養學生良好的數學學習習慣，進而優化學生的思維品質。

【關鍵詞】數學思維 學習力 數學學習習慣

數學作為一門研究數量關系和空間形式的科學，具有嚴密的邏輯性、高度的抽象性和概括性。因此，教學活動應當圍繞學生的思維生長規律開展，這是數學思維本質屬性的必然要求，它決定了教師的“教”和學生的“學”都要有“據”可循。比如，課前的自學導航、課中的實際操作、課后的作業草稿和思維導圖等，這些事實性的材料均可以展現學生的思維過程，促使學生的思維過程從內隱到外顯，提升學生數學思維的能見度。在此基礎上，教師能夠更加精準地把握學生的真實學情，從而及時調整教學策略，提高課堂教學效率。

但在傳統的課堂教學中，教師的備課往往是依據以往的教學經驗和教材，對學生的課堂呈現進行預設，然后再按照教案按部就班地教學，教學策略死板、生硬，對于課前、課中、課后的“生成”關注不夠，錯失了大量的優質教學資源。究其根本原因，是因為教師在備課時僅僅關注到了“備教材”而忽視了“備學生”。這就要求教師需要通過多種方式鼓勵學生個性化地表達自己的思考過程，從而真實有效地展示出不同層次學生思維發展情況，在交流碰撞中深化對知識點的理解，發展學生的數學思維，實現“不同的學生在數學上得到不同的發展”的教學目標。

一、自學導航，讓每一次教學優化都“有理有據”

自學導航作為學生前置性學習的有效載體，能夠有效引導學生課前的自主學習、動手操作、獨立思考等，是架構學生自主學習和課堂教學的橋梁。教師在設計自學導航時通過提出明確的自學要求，通過任務分解、學習指導、練習檢測等方式讓學生提前介入學習。學生在自學導航中呈現的學習痕跡就是思維發展的重要“證據”。教師需要在實際上課之前分析學生的自學導航情況，“尋跡”學生的思維發展過程，做出判斷并分析，進而及時調整教學策略。所以說，自學導航在強化學生的自主學習能力的同時，也為教師的教學優化提供了依據——教師通過學生的自學導航做出判斷、分析，在實際課堂教學時再以“關鍵性的追問”引導學生向思維更深處漫溯。它是探尋學生思維過程、優化課堂教學、促進思維發展的一個重要“證據”。

【案例】在教學小數乘小數之前，學生已經掌握了小數加減法和小數乘整數的計算法則，因此在已有經驗的基礎上，教師要求學生先借助自學導航自學這部分內容，由于學生已經知道在計算小數加減法時小數點要對齊，小數乘整數時小數點是和乘數中的小數的小數點對齊，導致學生在自學計算一位小數乘一位小數時，受經驗思維和習慣性思維的影響，認為積的小數點也應該和乘數的小數點對齊（如圖1）。

通過收集、分析學生的自學導航，教師發現大多數學生在自學過程中都認為“積的小數點應該和乘數的小數點對齊”，于是在授課時教師將重點放在了引導學生理解小數乘法計算中小數點的確定上（如圖2）：

把3.8擴大到10倍看作38，把3.2擴大到10倍看作32，那么積就擴大到100倍，所以1216要除以100，也就是12.16。

在這一環節中，教師引導學生通過觀察、比較分析，主動地抽象、尋找出小數乘小數計算中乘數與積的小數位數的關系，明確點小數點的方法，進一步體會知識點之間的內在聯系。基于自學導航中的“證據”，教師了解到學生受經驗思維的影響產生了錯誤的結論。借此教師通過優化的教學設計，用大量的時間引導學生理解、體會正確方法的形成，發展學生的理論思維和分析思維，感受數學知識和方法的應用價值，促進學生良好思維品質的發展。

二、實驗操作，讓每一次思維進階都“有路可循”

數學課程標準在“基本理念”中指出，“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動”;在“關于目標”中強調，“探索主動參與特定的數學活動，通過觀察、實驗、推理等活動發現對象的某些特征或與其他對象的區別和聯系”;在培養學生推理能力方面要求，“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點”。由此可見，“實驗操作”是促進學生思維發展的重要途徑。

【案例】通過課堂教學，學生已經掌握三角形的面積=底×高÷2，并且能夠理解三角形面積公式的推導過程：把兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，再把平行四邊形的面積除以2。由于學生之前已經學習過平行四邊形的面積計算，對于這種轉化方法也比較容易接受。但在備課的時候，教師發現在教材第10頁“你知道嗎”又介紹了關于《九章算術》中三角形的面積計算。（圖略）

為此，教師不禁有這樣的疑問：想要推導三角形的面積公式是不是只能通過轉化成平行四邊形？很顯然答案是否定的。基于這樣的想法以及學生已經掌握的知識，教師設計了如下的實驗方案（見下表）：

通過教師的引導，學生之間的小組合作、交流討論，最終學生得出了多個三角形面積的推導方法。（如圖3-1、3-2、3-3）

在上述實驗操作中，學生經歷了再發現、再創造的探究，在此過程中學生的思維在不斷進階，對三角形的面積計算有了進一步的鞏固，并且掌握得更加扎實，對轉化的數學思想也有了進一步的感悟，促使數學知識的再次生長。

三、作業草稿，讓每一次思考過程都“留有痕跡”

數學課程標準在數學思考方面明確地提出了：在解決問題的過程中能進行簡單的有條理的思考。如果再適當地加上思考的“痕跡”，那么會在學生學習的過程中呈現充分的思考“依據”。另外，將復雜的文字描述轉換成數學語言，也能培養學生的抽象邏輯思維以及應用意識和創新意識，利用圖像表征，將數學符號意識和數學幾何直觀意識運用到數學學習中，這樣的轉換思維模式所留下的“痕跡”是彌足珍貴的。因此，在實際教學中，教師要鼓勵學生在作業或試卷中保留思考的“痕跡”，并以“草稿”的形式表現出來。

在實際教學中，教師們經常會發現，學生的作業答案明明是正確的，卻說不出自己的思考過程。這是因為學生在寫作業或考試時思維往往是“靈光一現”，隨著作業的完成或者考試的結束，這“一現”也就“銷聲匿跡”了。為了提升學生思維的持久性，也為了便于學生進行回顧反思，教師應要求學生在答題的過程中盡量寫下一些重要的步驟、簡要的過程，留下自己思考推理的“痕跡”。

【案例】在分數乘法和分數除法的學習中，由于單位“1”的變化，學生對于分數意義的理解最容易出錯，因此在實際教學中，教師應要求學生在遇到這樣的題目時，要先標注單位“1”，再寫下具體的份數，然后再分析數量之間的關系，最后推理結果（如圖4）。

這樣的題目學生能全做對的很少，有些學生看到題目里的幾個量顛來倒去就已經迷糊，接下來就只能靠運氣了。通過這樣的方法引導學生分析數量之間的關系，寫出一些簡要的過程，留下自己推理的“痕跡”，既能加深理解，也能為日后的回顧留下“依據”。

此外，在教授完《分數的基本性質》后，學生都知道“分數的基本性質”是指：分數的分子和分母同時乘或除以一個相同的數（0除外），分數的大小不變。可是在做題目時，一旦題目出現“分子增加幾”，他們也想當然地認為“分母也增加幾”。因此，教師要引導學生用草稿的形式將自己的思考過程寫下來。（如圖5）

俗話說：“好記性不如爛筆頭。”在上述兩個案例中，學生可以通過寫出簡要的思考過程，將需要記憶的或思考的內容呈現出來，以減少學生在腦中進行信息加工的時間，提高效率。同時，留下推理的“痕跡”也有利于學生在復習時迅速喚醒思維，提升學習力。

四、思維導圖，讓每一次學習能力都生長提升

數學知識之間是有聯系的，具有嚴密性和系統性的特點。教師要引導學生將平時所學到的知識進行分類，形成知識網，延續學生的思維過程。同時還要將知識點進行比較、分析，從而達到“學一點懂一片，學一片會一面”的目的，加深對所學知識的理解，舉一反三、觸類旁通，提高學生的發散思維和創造性思維。

【案例】在新授之前，教師要求學生在自學的基礎上，將所學到的知識點以思維導圖的形式整理出來，在授課結束后，再進行補充、完善。同時教師還把學生中一些比較好的思維導圖在全班學生面前進行展示。（圖略）

不可否認，數學中一些知識點的學習是枯燥乏味的，但像上述案例中思維導圖的應用不僅可以有效提高學生理解掌握數學知識的效率，還可以發展學生的思維，增強學生的數學素養，甚至還有利于營造輕松和諧的課堂氛圍，激發學生的學習興趣，讓課堂變得更加精彩。巧妙地運用思維導圖，會讓學生逐漸愛上數學課，主動地學習數學，從而有效提高學生學習數學的能力。

立足生本，從來都不能只是一句口號。教師要通過探尋學生在學習過程中留下的思考“痕跡”，在“證據”中探尋學生的思維發展歷程，把握思維生長本質，最終實現學生思維的進階。這是當下主流教學理念的一種繼承與創新，對于提升學生的數學學習力，發展數學思維，提升數學核心素養有著重要的現實意義。