山地軌道運載機牽引鋼絲繩空間結構分析與幾何建模

歐陽玉平，王天玉，孫 晗， 孫旭東,2，洪添勝，黃志平，姜小剛,2

(1. 華東交通大學 機電與車輛工程學院，南昌 330013；2. 載運工具與裝備教育部重點實驗室(華東交通大學)，南昌 330013；3. 華南農業大學 工程學院，廣州 510642；4. 廣東振聲科技股份有限公司，廣東 梅州 514700)

隨著我國水果產業的壯大，實現果園運輸機械化不僅僅是農業機械化的一個重要組成部分，同時也是水果產業不斷發展的重要標志. 傳統的果園種植缺少科學合理規劃，立地條件差，果樹大多生長在難以形成較完善交通運輸網，甚至是陡峭的梯田上. 這就導致了常規的水果采運車難以在該環境下推廣使用，直接給成熟果子的運輸造成了較大的困難[1]. 目前，我國90%的柑橘種植在山地，土地條件差，山地果園機械化水平低，生產主要靠人力完成，勞動強度非常大. 特別是山地果園肥料和果品運送方面主要靠肩挑或背簍背負，必須用機械化代替艱苦的勞動. 柑橘產業要持續發展，農機農藝相融合是唯一出路. 未來強壯的“果農”就是農機農藝融合[2]. 山地果園鋼絲繩牽引式雙軌運輸機是一種由鋼絲繩牽引，載物滑車沿著具有一定坡度的軌道行駛的運載工具，軌道由2條相互平行的圓管及輔助橫梁焊接而成，軌道坡度集中在10°～40°之間[3]. 國內外已研制出多種山地果園軌道運輸機械，山地果園牽引式雙軌運輸機是其中一種代表機型[4]. 該運輸機緩解了山地地區果農的勞動強度，有效實現了果品及其他農資省力化運載需求[5]. 由于運輸機作業環境復雜，運載果品時若頻繁振蕩，易造成鋼絲繩振蕩沖擊損傷，因此有必要對該類運輸機的牽引系統的失效行為及鋼絲繩受力情況進行研究[6].

鋼絲繩是一種金屬結構，在許多工業工程、海洋工程和土木工程領域已經使用了很長一段時間[7-8]，在吊橋、起重機、建筑電梯和礦井提升機等領域也有其應用[9-10]. 鋼絲繩經常被使用，因為它們具有較高的抗拉強度和彎曲靈活性[11]，而且與其他結構相比，它們具有更高的強度和更長的壽命[12]. 在理論推導、實驗研究和有限元模擬這三種途徑中，幾何模型是研究鋼絲繩力學模型及失效行為的研究基礎. 通過精確的數學表達式，建立鋼絲繩的精確幾何模型，從而進行相應的力學分析[13]. 王等[14]提出了鋼絲繩和股線中心線的數學表示及其半徑的計算方法, 給出了鋼絲繩和股線纏繞關系的空間參數幾何方程，并用經驗值或迭代法以外的方法計算鋼絲和鋼絞線的半徑是合理的. I.I. Argatov 等[15]建立了基于Archard-Kragelsky磨損定律的微動磨損數學模型，并給出了磨損定律參數校準的示例. W. Ma等[16]首先推導出每根導線的質心軸(單、雙或三螺旋)的坐標方程，然后利用MatlabTM生成形成該軸的控制點坐標的數據文件，最后根據得到的基螺旋的坐標方程，用遞推法建立了高水平螺旋. 吳等[17]利用Frenet框架和微分幾何建立了鋼絲繩二次螺旋的數學模型, 并在此基礎上推導出二次螺旋線的幾何參數，利用Love彈性細桿理論建立鋼絲繩的等效力學模型，推導出鋼絲繩的等效彈性模量和等效剪切模量的計算公式. Ivan Argatov[18]建立了簡單螺旋鋼絲繩股的精細離散數學模型，通過泊松比和局部接觸變形(鋼絲壓扁)研究了鋼絞線橫向收縮的影響.

以上研究都對不同環境下的鋼絲繩給出了精準的空間幾何表達式，目的都是為了更好地研究鋼絲繩力學性能及其失效行為，但針對山地軌道運載機牽引鋼絲繩的空間幾何表達式目前還沒有明確的定論. 因此，本文為了后續更深入研究山地軌道運載機牽引鋼絲繩力學模型的建立與損傷機理的研究，對適用于山地軌道運載機牽引鋼絲繩的空間幾何結構進行數學公式推導，同時推導了曲率及撓率方程及其連續變化規律，這樣有利于減少在不同參數和操作條件下進行昂貴的試驗測試的需要.

1 運輸機鋼絲繩選型及捻制特征

1.1 運輸機鋼絲繩選型

山地軌道牽引式雙軌運輸機屬于新式農用運輸機，鋼絲繩應用特點與礦山或港口起重機等有較大差別，需對鋼絲繩繩徑進行重新計算，避免繩徑選擇不適，造成浪費或強度不夠. 運輸機鋼絲繩作業時，鋼絲繩在卷筒、約束輪及滑輪等約束下沿彎曲軌道轉彎運行，應用工況與農用索道類似，選用圓股線接觸右交互捻(SZ)，型號為6×19+FC類鋼絲繩[19]. 在前面研究中建立鋼絲繩牽引系統虛擬樣機模型[4]，簡化示意圖如圖1所示，圖1中A點為載物滑車最低滑行位置，B點為載物滑車最高滑行位置.

1—卷筒; 2—載物滑車; 3—托輥; 4—橫梁; 5—軌道; 6—載物滑車; 7—鋼絲繩; 8—滑輪

鋼絲繩最大有效長度與整繩最小破斷拉力應滿足式(1)、式(2)[20]，當載物滑車運行至A點時，鋼絲繩與卷筒相接處O點承受最大的靜拉力如式(3)所示，鋼絲繩質量如式(4)[20]所示，整繩最大靜拉力如式(5)所示：

L=L1+L2+L3,

(1)

(2)

Fmax-Mg(sinα+f1cosα)+mgL(sinα+f2cosα)，

(3)

m=KgD2,

(4)

Fmax=Mg(sinα+f1cosα)+KgD2gL(sinα+f2cosα).

(5)

式中：Fmax為整繩最大靜拉力，kN；Fmin為鋼絲繩最小破斷拉力，kN；Ka為鋼絲繩許用安全系數；L1為A、B兩點間距離，m；L2為B點至頂端滑輪距離，m；L3為卷筒至頂端滑輪距離，m；M為載物滑車及所載物資總質量，kg；g為重力加速度，m/s2；α為軌道傾角，°；f1為輪軌間滾動摩擦系數；f2為鋼絲繩與托輥間摩擦系數；m為鋼絲繩質量，kg/m；D為鋼絲繩公稱直徑，mm；Kg為鋼絲繩重量系數，kg/100 m·mm2.

鋼絲繩最小破斷拉力Fn、鋼絲繩破斷拉力總和Fmin[21]為

Fn=KminD2Et,

(6)

Fmin=KhFn,

(7)

式中:Et為鋼絲繩公稱抗拉強度，MPa；Kmin為鋼絲繩最小破斷拉力系數；Kh為破斷拉力換算系數.

將式(6)代入式(7)得

Fmin=KhKminD2Et,

(8)

將式(5)及式(8)代入式(2)得如下關系式：

Mg(sinα+f1cosα)+KgD2gL(sinα+f2cosα)≤

(9)

(10)

對于6×19+FC鋼絲繩，f1取0.05，f2取0.1[19]；重量系數Kg取0.36，最小破斷拉力系數Kmin取0.338，破斷拉力換算系數Kh取1.214，g取9.8 m/s2；Ka取7，α取40°，M取500 kg，L取200 m；Et取1 670 MPa[20]；于是

6.03 mm.

查閱機械設計手冊[19]，選取鋼絲繩的直徑為7.7 mm.

1.2 鋼絲繩捻制特征

6×19+FC類圓股右交互捻鋼絲繩由側絲繞中心絲左旋捻制成單股，再由6側股繞繩芯右旋捻制而成，側股側絲由內層絲及外層絲組成. 所采用繩芯材質為纖維，因此該類鋼絲繩只有螺旋股，無直股. 鋼絲繩捻制示意圖如圖2所示，每股由1條中心絲，6條內層絲與12條外層絲捻制而成. 為便于闡述鋼絲間空間位置關系，對股及絲進行編號，以初始截面最左端為第1股，逆時針依次編為第1、2、3、4、5、6股；側股中心絲逆時針依次編為1、2、3、4、5、6絲；側股內層絲以每股中心線與繩芯中心線連線逆時針的第一鋼絲中心為第01絲，逆時針依次編為第02、03、04、05、06絲；外層絲以每股中心線與繩芯中心線連線逆時針的第一鋼絲中心為第07絲，逆時針依次編為第08、09、10、11、12、13、14、15、16、17、18絲.

(a)鋼絲繩整體示意圖

(b)鋼絲繩截面示意圖

將整繩解剖后依次展開，如圖3所示，β0、β1、β2分別表示股在繩中、內層絲在股中、外層絲在股中的捻角；r0、r1、r2分別表示股在繩中螺旋半徑(捻制半徑)、內層絲在股中螺旋半徑、外層絲在股中螺旋半徑；S、S0、S1、S2分別表示整繩、側股(中心絲)、側股內層絲、側股外層絲長度；αa、αb、αc分別表示鋼絲繩在捻制過程中，股在繩中轉過的角度、內層絲在股中轉過的角度、外層絲在股中轉過的角度.

圖3 鋼絲繩展開示意圖

由圖3幾何位置可知：

AB=r0αa，BC=r1αb，BD=r2αc，

(11)

由鋼絲繩已知數據和幾何關系可得

r1=0.50 mm，r2=0.97 mm，r0=2.63 mm，

β0=18.30°，β1=7.16°，β2=13.10°.

結合鋼絲繩已求結構參數，型號為6×19+FC鋼絲繩的關鍵幾何參數，如表1所示.

表1 運輸機鋼絲繩幾何參數

2 鋼絲繩螺旋方程

2.1 直線段鋼絲繩空間螺旋方程

直線段鋼絲繩六側股一次螺旋線的初始捻制角依次記為θ1、θ2、θ3、θ4、θ5及θ6，以逆時針為正，初始捻制角分別為0°、60°、120°、180°、240°、300°；側股中6條內層絲二次螺旋線的初始捻制角θ01～θ06分別為45°、105°、165°、225°、285°、345°；側股中12條外層絲二次螺旋線的初始捻制角θ07～θ18分別為0°、30°、60°、90°、120°、150°、180°、210°、240°、270°、300°、330°.

本文以第1股及第1股第18絲為研究對象，建立直線段鋼絲繩空間曲線模型，如圖4所示. 圖4中側股中心絲中心線上點A用向量OA表示，側絲中心線上點B用OB表示，點A處的切向量、法向量、從法向量依次記為t、n、b. 設向量AB為Frenet標架n-b-t內的平面矢量，則側絲空間二次螺旋線可由向量OB=OA+AB表示.

令向量OA在x-y-z標架上為OAx，向量AB在n-b-t標架上為ABn，由圖4鋼絲的位置關系及鋼絲繩已知參數可得

(12)

(13)

圖4 鋼絲繩第1股中心絲及其第18絲空間曲線模型

側股纏繞于繩芯轉換矩陣[n,b,t]表達式為

(14)

為求向量OB在坐標系x-y-z的表達式，ABn需轉換為x-y-z標架表達式ABx. 由空間坐標變換原理可知，向量AB在坐標系x-y-z中表達式可表示為

ABx=[n,b,t]×ABn.

(15)

將式(13)及(14)代入式(15)可得

(16)

由式(12)及(16)可知，向量OB在坐標系x-y-z中表達式為

(17)

令

(18)

由式(12)可得，直線段鋼絲繩第i股中心絲方程表達式：

(19)

將式(18)帶入(17)可得直線段鋼絲繩第i股內層第j絲空間方程表達式與直線段鋼絲繩第i股外層絲第k絲方程表達式：

(20)

(21)

2.2 彎曲段鋼絲繩空間螺旋線方程

運輸機鋼絲繩彎曲段體現在鋼絲繩與約束輪、滑輪及卷筒接觸，如圖5所示. 為研究鋼絲繩彎曲段空間螺旋方程，以鋼絲繩繞過滑輪為例進行說明. 繩與輪接觸時，繩中心軸線呈彎曲圓弧狀態，繩中各股股芯中心線繞滑輪圓弧呈空間一次螺旋線，側股側絲中心線繞圓弧呈二次螺旋線，如圖6所示.

(a)鋼絲繩與約束輪接觸 (b)鋼絲繩與滑輪接觸(c)鋼絲繩與卷筒接觸

1—鋼絲繩中心路徑; 2—鋼絲繩單股中心路徑; 3—鋼絲繩單股側絲中心路徑

為構建彎曲段鋼絲繩空間螺旋方程，建立繩輪接觸空間曲線模型，如圖7所示. 以動點C替代直線段鋼絲繩坐標系原點O，建立彎曲段鋼絲繩空間直角坐標系LMN. 圖7中一次螺旋線繞弧線旋轉，二次螺旋線繞一次螺旋線旋轉，彎曲狀態側絲中心線的二次螺旋線向量O′B的表達式為

O′B=O′C+CA+AB.

(22)

1—側股螺旋半徑(整繩螺旋半徑)對應圓; 2—側股側絲中心線；3—側股側絲螺旋半徑畫出的圓; 4—側股股芯中心線

圖7中，將x-y-z標架上的一次螺旋線與二次螺旋線分別視為建立在新標架L-M-N彎曲一次螺旋線與二次螺旋線，則向量O′C在標架L-M-N的表達式O′Cl為

(23)

標架x-y-z向標架L-M-N轉換，對坐標系LMN的轉換矩陣為

(24)

標架n-b-t對坐標系LMN的轉換矩陣[N,B,T]為

[N,B,T]=[X,Y,Z]×[n,b,t]=

(25)

ABn轉換為坐標系LMN上的表達式ABl為

ABl=[N,B,T]×ABn=

(26)

由圖7可知，彎曲的一次螺旋線O′Al的向量方程表達式為

O′Al=O′Cl+CAl，

(27)

(28)

CAx轉換為坐標系LMN上的表達式CAl為

CAl=[X,Y,Z]×CAx=

在廣州，這樣的優秀教師比比皆是，他們的故事書之不盡。華陽小學的曹定金老師為了放飛學生的夢想，獨創了“第30號課室”；文德路小學的陳秀茹老師把一個不幸的孩子送的罐子作為自己的能量罐，讓愛充盈課堂；開發區二小的余雪云老師為了糾正學生的不良習慣，給學生的心靈“解套”，連續4年對學生做思想工作，用不傷害孩子尊嚴的方法糾正了孩子的壞毛病……正是這些好教師，把教育夢想寫成教育故事，在教育現場書寫教育傳奇，支撐起了廣州好學校、廣州好教育的高樓大廈。

(29)

O′Al=O′Cl+CAl=

(30)

O′Bl=O′Cl+CAl+ABl=

(31)

圖8為鋼絲繩側股芯絲與滑輪接觸示意圖，式(31)中含有3個未知量，為求解式(31)關于αa的表達式，需求出圖8中各變量的相互關系.

圖8 鋼絲繩側股芯絲與滑輪接觸示意圖

在彎曲段鋼絲繩中，αd與αa關系為

(32)

令

(33)

將式(18)及式(33)代入式(30)可得彎曲段鋼絲繩第i股中心絲方程表達式為

(34)

將式(18)及式(33)代入式(31)可得彎曲段鋼絲繩第i股內層第j絲方程為

(35)

將式(18)及式(33)代入式(31)可得彎曲段鋼絲繩第i股外層第k絲方程為

(36)

3 鋼絲繩曲率和撓率求解

鋼絲繩空間螺旋方程、曲率和撓率變化規律是研究整繩三維實體建模及力學模型的基礎，曲率是表示曲線在某點的彎曲程度，撓率是表示空間曲線的扭曲程度，鋼絲繩空間螺旋曲線上任意點均有確定的曲率和撓率，整繩曲率及撓率具有一定變化規律.

鋼絲繩曲率k、撓率τ與空間螺旋曲線方程f(αa)的關系如下[22]：

(37)

(38)

式中:f(αa)為鋼絲繩空間螺旋曲線方程，x、y、z為對應的極角αa的函數. 由式(37)及式(38)，可分別求出直線段、彎曲段鋼絲繩各鋼絲的曲率與撓率空間表達式，但由于鋼絲繩空間螺旋曲線方程較為復雜，求三次導后更為復雜，表示較困難. 應用MATLAB軟件語言符號功能對鋼絲繩的曲率與撓率進行求解，在求解彎曲段鋼絲的曲率及撓率時，設定滑輪直徑為180 mm. 鋼絲繩曲率及撓率在MATLAB中的計算流程如圖9所示.

將鋼絲繩直立及彎曲段的二維曲線函數圖像導入Photoshop進行合并，得到直立與彎曲段鋼絲繩曲率與撓率關系圖，如圖10及11所示. 在圖10中，直線段鋼絲繩的曲率與撓率呈明顯的周期性變化規律，變化周期均為180°；撓率峰值均出現于曲率的波谷處，曲率處于波峰時，撓率變化較為平緩；曲率與撓率的極值較明顯. 在圖11中，彎曲段鋼絲繩曲率與撓率同樣具有明顯的周期性變化規律，變化周期均為360°；曲率處于波峰時，撓率發生突變；曲率處于波谷時，撓率變化率最大；曲率和撓率的極值大小明顯.

圖9 鋼絲繩曲率及撓率在MATLAB中計算流程

圖10 直線段鋼絲繩外層絲曲率與撓率變化規律

圖11 彎曲段鋼絲繩外層絲曲率與撓率變化規律

4 鋼絲繩三維建模

上文推導了鋼絲繩的空間數學方程、曲率和撓率表達式，分析了鋼絲繩在直立及彎曲狀態，側股中側絲的曲率及撓率的連續變化規律. 為更直觀了解該類鋼絲繩的結構，通過已建立鋼絲繩空間數學模型，運用MATLAB參數化功能及Solidworks軟件曲線、掃描和實體陣列等功能建立鋼絲繩三維實體模型.

應用SolidWorks曲線及掃描功能建立鋼絲繩側股芯絲，通過Matlab獲取鋼絲繩側股側絲的二次螺旋線參考點坐標，制成txt文件，如表2為第1股第18絲參考點系列坐標；然后運用Solidworks“XYZ曲線”功能，在參數輸入設置中導入已制好的坐標文件；最后應用SolidWorks掃描、裝配及實體陣列建立鋼絲繩整繩三維幾何模型. 圖12～14分別為單絲、絲與絲纏繞、直立段及繩輪處鋼絲繩三維幾何模型.

(a)側股芯絲 (b)側股芯絲與內層絲纏繞 (c)側股芯絲、內層絲與外層絲纏繞

圖13 直立狀態鋼絲繩整繩三維實體模型

圖14 彎曲段鋼絲繩三維實體模型

經過參數設計及三維建模最后得出第1股第18絲參考點系列坐標表格如表2所示。

表2 第1股第18絲參考點系列坐標

5 結 論

1)在確定運輸機鋼絲繩型號及直徑基礎上，對鋼絲繩股、絲進行編號，運用微分幾何學及空間坐標變換原理，推導了6×19+FC類鋼絲繩在直立及彎曲狀態的空間螺旋方程，并推導了該類鋼絲繩側股外層鋼絲曲率及撓率的連續變化規律，為鋼絲繩在各種載荷下的工作狀態的數值分析和實驗分析提供理論依據.

2)圖10結果表明：直線段鋼絲繩的曲率與撓率呈明顯的周期性變化規律，變化周期均為180°；撓率峰值均出現于曲率的波谷處，曲率處于波峰時，撓率變化較為平緩；曲率與撓率的極值較明顯. 圖11結果表明：彎曲段鋼絲繩曲率與撓率同樣具有明顯的周期性變化規律，變化周期均為360°；曲率處于波峰時，撓率發生突變；曲率處于波谷時，撓率變化率最大；曲率和撓率的極值大小明顯.

3)根據所推導的鋼絲繩空間螺旋方程、曲率及撓率表達式，運用MATLAB參數化及SolidWorks曲線、掃描及裝配等功能，繪制了運輸機鋼絲繩直立及彎曲狀態的三維幾何模型，并得到運輸機鋼絲繩股、絲參考點系列坐標，為后續建立鋼絲繩力學模型及分析結構參數對鋼絲繩損傷的影響奠定基礎.