彈藥傳輸機(jī)械臂固定時(shí)間終端滑模控制

姚來鵬, 侯保林

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 南京 210094)

彈藥傳輸機(jī)械臂是坦克炮彈藥自動(dòng)裝填系統(tǒng)的重要組成部分，其作用是將彈藥軸線協(xié)調(diào)到與待發(fā)射炮管軸線平行的位置[1]. 坦克在運(yùn)動(dòng)時(shí)由于路面不平度的激勵(lì)，車體會(huì)產(chǎn)生基礎(chǔ)振動(dòng)，基礎(chǔ)振動(dòng)對(duì)安裝在車體上的彈藥傳輸機(jī)械臂的定位精度產(chǎn)生嚴(yán)重影響. 現(xiàn)有的彈藥傳輸機(jī)械臂控制器設(shè)計(jì)大多基于固定參數(shù)的PID控制，魯棒性較差[2]. 因此，如何構(gòu)造彈藥傳輸機(jī)械臂的魯棒控制器是一個(gè)亟待解決的難題. 彈藥傳輸機(jī)械臂是一種受擾動(dòng)的不確定性系統(tǒng). 文獻(xiàn)[2-3]根據(jù)一種特殊的Lyapunov函數(shù)構(gòu)造了彈藥傳輸機(jī)械臂的控制策略，仿真研究了有振動(dòng)干擾的彈藥傳輸機(jī)械臂位置控制，但是沒有進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究.

滑模控制是一類特殊的非線性控制方法，由于對(duì)匹配性模型不確定具有不變性，因而廣泛應(yīng)用在受擾動(dòng)不確定系統(tǒng)中[4-5]. 普通線性滑模在系統(tǒng)狀態(tài)抵達(dá)滑模面后，只能無限逼近平衡點(diǎn)，不能有限時(shí)間收斂；而終端滑模可使系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收斂，且比線性滑模具有更好的收斂性能，但是普通終端滑模存在奇異問題. 為了使繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂在復(fù)雜不確定工況下獲得滿意的控制性能，文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了新型非奇異終端滑模方法，確保系統(tǒng)有限時(shí)間收斂，實(shí)現(xiàn)了兩自由度繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂高精度控制. 為了解決高超聲速飛行器在受外界擾動(dòng)下的飛行控制問題，文獻(xiàn)[7]構(gòu)造了一種時(shí)變滑模方法，理論推導(dǎo)證明了系統(tǒng)所有狀態(tài)有限時(shí)間收斂，仿真驗(yàn)證了控制的有效性.

固定時(shí)間控制是一類特殊的有限時(shí)間控制，這類控制的收斂時(shí)間和系統(tǒng)初始條件情況無關(guān)，能夠固定時(shí)間收斂. 和一般的有限時(shí)間控制相比，固定時(shí)間控制中因?yàn)橥瑫r(shí)包含大于1和小于1的分?jǐn)?shù)冪項(xiàng)，所以無論系統(tǒng)初始狀態(tài)是在平衡點(diǎn)附近還是遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)處，都能改善系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，保證系統(tǒng)在固定時(shí)間內(nèi)收斂. 文獻(xiàn)[8]構(gòu)造了新型固定時(shí)間快速終端滑模面，使滑模面的收斂時(shí)間不依賴系統(tǒng)初始條件，和傳統(tǒng)的終端滑模控制器相比具有更好的收斂性能. 文獻(xiàn)[9]針對(duì)航天器受外界干擾下的位置姿態(tài)耦合控制問題，基于固定時(shí)間概念構(gòu)造了終端滑模自適應(yīng)控制策略，能較好地控制航天器的相對(duì)位置和姿態(tài)，干擾抑制能力好. 文獻(xiàn)[10]針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的末制導(dǎo)攔截問題，構(gòu)造了一種新型固定時(shí)間終端滑模制導(dǎo)律，和有限時(shí)間制導(dǎo)律相比，收斂時(shí)間獨(dú)立于系統(tǒng)初始條件，可以根據(jù)制導(dǎo)律預(yù)先給定，優(yōu)化系統(tǒng)收斂速率，縮短攔截時(shí)間，提高攔截精度. 文獻(xiàn)[11]針對(duì)再入飛行器飛行環(huán)境復(fù)雜多變的特征，設(shè)計(jì)了全局滑模跟蹤制導(dǎo)律，實(shí)現(xiàn)了固定時(shí)間收斂的魯棒跟蹤控制. 文獻(xiàn)[12]針對(duì)受海風(fēng)海浪等擾動(dòng)情況下潛射導(dǎo)彈姿態(tài)跟蹤控制問題，設(shè)計(jì)了一種新型固定時(shí)間終端滑模控制器，典型導(dǎo)彈發(fā)射軌跡的仿真證明了控制策略魯棒性良好.

在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中聯(lián)合干擾觀測(cè)器技術(shù)形成復(fù)合控制，是解決不確定系統(tǒng)控制問題的有效方法之一. 通過估計(jì)包含外界干擾及不確定性的復(fù)合擾動(dòng)并加以補(bǔ)償，可以有效抑制系統(tǒng)抖振. 文獻(xiàn)[13]針對(duì)無人機(jī)中存在不確定干擾問題，采用滑模干擾觀測(cè)器對(duì)干擾進(jìn)行估計(jì)，實(shí)現(xiàn)了無人機(jī)對(duì)期望指令的有限時(shí)間跟蹤. 文獻(xiàn)[14]針對(duì)目標(biāo)攔截過程中存在不確定性和建模誤差的問題，構(gòu)造了基于固定時(shí)間收斂干擾觀測(cè)器的終端滑模制導(dǎo)律，仿真表明所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律有良好的收斂性能和抖振抑制能力. 針對(duì)受有界擾動(dòng)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，文獻(xiàn)[15]和文獻(xiàn)[16]設(shè)計(jì)了一種基于超螺旋算法的固定時(shí)間干擾觀測(cè)器，使得收斂時(shí)間不依賴系統(tǒng)初始狀態(tài)，計(jì)算結(jié)果證明了控制策略有效. 文獻(xiàn)[17]針對(duì)含有參數(shù)攝動(dòng)、外界干擾的某飛行器彈性模型含有強(qiáng)不確定性問題，采用固定時(shí)間超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器估計(jì)系統(tǒng)的不確定性并補(bǔ)償?shù)娇刂浦校纳屏丝刂破鞯聂敯粜?

為了解決彈藥傳輸機(jī)械臂在基礎(chǔ)振動(dòng)情況下的準(zhǔn)確定位問題，本文以某坦克彈藥傳輸機(jī)械臂為研究背景，針對(duì)某彈藥傳輸機(jī)械臂原理樣機(jī)，設(shè)計(jì)了一種基于固定時(shí)間干擾觀測(cè)器和固定時(shí)間終端滑模控制相結(jié)合的復(fù)合控制策略. 固定時(shí)間干擾觀測(cè)器用于估計(jì)和補(bǔ)償系統(tǒng)總的干擾，改善系統(tǒng)的抗干擾性能. 固定時(shí)間終端滑模用于設(shè)計(jì)彈藥傳輸機(jī)械臂的主控制器，避免了傳統(tǒng)終端滑模的奇異問題，并且使得系統(tǒng)狀態(tài)的收斂時(shí)間存在和系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)的可估計(jì)上界. 采用Lyapunov穩(wěn)定理論證明了系統(tǒng)固定時(shí)間收斂. 3種不同振動(dòng)工況下的原理樣機(jī)實(shí)驗(yàn)表明，與傳統(tǒng)固定參數(shù)PID控制器相比，復(fù)合控制策略魯棒性更強(qiáng)，精度更高，算法先進(jìn)有效.

1 動(dòng)力學(xué)模型

圖1為彈藥傳輸機(jī)械臂原理樣機(jī)的工作原理. 彈藥傳輸機(jī)械臂主要由機(jī)架、升降部分、翻轉(zhuǎn)部分組成. 升降電機(jī)驅(qū)動(dòng)主動(dòng)鏈輪、傳動(dòng)鏈條、從動(dòng)鏈輪轉(zhuǎn)動(dòng)，傳動(dòng)鏈條帶動(dòng)升降部分沿升降導(dǎo)軌進(jìn)行升降運(yùn)動(dòng). 翻轉(zhuǎn)部分由翻轉(zhuǎn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)支臂進(jìn)行回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).

1—升降電機(jī)；2—主動(dòng)鏈輪；3—升降導(dǎo)軌；4—支臂；5— 翻轉(zhuǎn)電機(jī)；6—從動(dòng)鏈輪；7—傳動(dòng)鏈條；8—機(jī)架

為便于分析，此處只考慮彈藥傳輸機(jī)械臂在垂直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示. 其中，XOY為笛卡爾坐標(biāo)系；B1、B2、B3分別表示安裝機(jī)架、升降部分與翻轉(zhuǎn)部分，C2與C3分別為B2與B3的質(zhì)心；假設(shè)B3的轉(zhuǎn)軸過C2點(diǎn)，yr1為安裝機(jī)架的基礎(chǔ)振動(dòng)位移；yr2為B2相對(duì)B1的位移；θ3為彈藥傳輸機(jī)械臂支臂繞C2的翻轉(zhuǎn)角位移；L3為C2和C3之間的距離.

圖2 彈藥傳輸機(jī)械臂的簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型

設(shè)B2與B3的質(zhì)量分別為m2與m3，B3相對(duì)其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J3. 選擇q=[yr2,θ3]T為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，則由第二類Lagrange方程可得彈藥傳輸機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型為

(1)

式中：KT2、KT3分別為升降電機(jī)和翻轉(zhuǎn)電機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)；I2、I3分別為升降電機(jī)和翻轉(zhuǎn)電機(jī)的控制電流；i2、i3分別為升降部分和翻轉(zhuǎn)部分的傳動(dòng)比；η2、η3分別為升降部分和翻轉(zhuǎn)部分的傳動(dòng)效率.

2 固定時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

(2)

2.1 固定時(shí)間干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

受文獻(xiàn)[18]啟發(fā)，固定時(shí)間干擾觀測(cè)器可設(shè)計(jì)為：

(3)

定理1對(duì)于系統(tǒng)(2)，若干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)為式(3)，則觀測(cè)器的估計(jì)誤差σ固定時(shí)間收斂到原點(diǎn)，收斂時(shí)間T1滿足

式中：

(i=1,2),ε=(k1/k2)1/(p+1/2).

證明對(duì)σ求導(dǎo)，代入式(2)和式(3)可得

代入式(3)可得

由文獻(xiàn)[18]可知，觀測(cè)誤差σ在固定時(shí)間T1內(nèi)收斂到原點(diǎn)，T1滿足

2.2 固定時(shí)間終端滑模控制律設(shè)計(jì)

s=φ(e1)e1+sigr2(e2).

(4)

式中：φ(e1)=diag(φ(e11),φ(e12))為對(duì)稱矩陣，其元素為φ(e1i)=(α|e1i|g1-1/(kr2)+β|e1i|g2-1/(kr2))kr2，i=1,2；α、β、k、r2、g1、g2為常數(shù)，且α、β>0,k>1,2>r2>1, 1/r21.

定義非負(fù)函數(shù)φ(x)為

式中：τ為常數(shù)，τ>0，函數(shù)φ(x)滿足x→0,(φ(x))/x→0.

結(jié)合固定時(shí)間收斂雙冪次趨近律[19]，則固定時(shí)間終端滑模控制律可設(shè)計(jì)為

(1/r2)diag(φ(|e2|r2-1))diag(|e2|1-r2)×

[l1siga1(s)+l2siga2(s)]-

(5)

定理2對(duì)于式(2)，若采用固定時(shí)間觀測(cè)器(3)、滑模面式(4)和控制律(5)，則系統(tǒng)誤差在時(shí)間T內(nèi)收斂到原點(diǎn)，收斂時(shí)間T滿足

T≤T1+T2+T3.

證明取Lyapunov函數(shù)為V=0.5sTs，對(duì)其求導(dǎo)得

sT{-diag(φ(|e2|r2-1))[l1siga1(s)+l2siga2(s)]+

(6)

r2diag(|e2|r2-1)ηsign(s)}=

即

如果e2i≠0則φ(|e2i|r2-1)>0,(i=1,2)，系統(tǒng)狀態(tài)空間被劃分如下兩個(gè)區(qū)域：

Ω1={(e1i,e2i)||e2i|r2-1>τ,i=1,2}，

Ω2={(e1i,e2i)||e2i|r2-1≤τ,i=1,2}.

內(nèi)到達(dá)滑模面[12].

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)在區(qū)域Ω2時(shí)，代入控制律(5)到系統(tǒng)(2)中可得

[l1siga1(s)+l2siga2(s)]-ηsign(s).

(7)

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面后，由滑模面(4)可知，

(8)

定義輔助變量χi=|e1i|1-g1k,(i=1,2)，則式(8)可以改寫成

(9)

式中μ=(g2-g1)/(1-g1k).

對(duì)式(9)進(jìn)行積分，可得

故系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面后在固定時(shí)間T3內(nèi)到達(dá)原點(diǎn).

綜上所述，系統(tǒng)狀態(tài)在固定時(shí)間T≤T1+T2+T3內(nèi)收斂到原點(diǎn). 證畢.

為了說明本文所采用滑模面的優(yōu)越性，選取傳統(tǒng)非奇異終端滑模面和文獻(xiàn)[21]的非奇異快速終端滑模面與本文的非奇異固定時(shí)間終端滑模面進(jìn)行仿真對(duì)比研究.

1)傳統(tǒng)非奇異終端滑模面為

式中：σ1為大于0的常數(shù).

2)文獻(xiàn)[21]的非奇異快速終端滑模面為

式中：σ2、r3為大于0的常數(shù)，且r3>r2.

為了便于公平比較，仿真中選取系數(shù)α=β=1,k=2,r2=5/3,g1=3/10,g2=7/10,σ1=σ2=1,r3=7/3. 則本文的非奇異固定時(shí)間終端滑模面可化為

傳統(tǒng)非奇異終端滑模面可化為

文獻(xiàn)[21]的非奇異快速終端滑模面可化為

仿真選取初始狀態(tài)x(0)=0.1(狀態(tài)變量距離平衡點(diǎn)較近)和x(0)=10(狀態(tài)變量距離平衡點(diǎn)較遠(yuǎn))兩種情況進(jìn)行對(duì)比. 仿真結(jié)果如圖3所示.

(a) 初始狀態(tài)x(0)=0.1

(b)初始狀態(tài)x(0)=10

從圖3(a)和3(b)可以看出，與滑模面s1、s2相比，本文采用的固定時(shí)間終端滑模面無論系統(tǒng)初始狀態(tài)是在平衡點(diǎn)附近還是遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)處，都能改善系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，具有更快的收斂速度. 證明了本文固定時(shí)間終端滑模的優(yōu)越性.

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為檢驗(yàn)提出的控制器的有效性，搭建了如圖4所示的彈藥傳輸機(jī)械臂樣機(jī)實(shí)驗(yàn)裝置. 基礎(chǔ)振動(dòng)臺(tái)用來模擬路面產(chǎn)生的激勵(lì).

圖4 彈藥傳輸機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)裝置

圖5為彈藥傳輸機(jī)械臂系統(tǒng)控制框圖. 實(shí)驗(yàn)控制算法在上位機(jī)中采用LabVIEW編寫，執(zhí)行電機(jī)選用 Maxon 公司的EC45型無刷直流電機(jī)，控制器采用70/10型EPOS2數(shù)字位置控制器，控制器通過USB 和上位機(jī)進(jìn)行通訊交換數(shù)據(jù)，編碼器采用 HEDL9140 型光電編碼器，電機(jī)工作在電流模式下.

圖5 彈藥傳輸機(jī)械臂系統(tǒng)控制框圖

彈藥傳輸機(jī)械臂樣機(jī)參數(shù)如下：m2=8.6 kg,m3=3.6 kg,J3=1.6 kg·m2,L3=0.25 m，g=9.8 m/s2，KT2=KT3=45.5 mN·m/A,η2=η3=0.9,i2=113,i3=353. 控制器參數(shù)設(shè)置為：k1=20,k2=15,k3=5,p=3,α=1,β=1,k=2,r2=16/15,g1=5/12,g2=1,l1=1,l2=2,a1=2,a2=1/2,η=1,τ=0.005.

為說明所設(shè)計(jì)方法的實(shí)用性和優(yōu)越性，選取工程上彈藥傳輸機(jī)械臂系統(tǒng)常用的固定參數(shù)PID控制方法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn). 升降部分的PID控制參數(shù)取值為Kp1=4 400,Ki1=1 200,Kd1=1 800；翻轉(zhuǎn)部分的PID控制參數(shù)取值為Kp2=290,Ki2=40,Kd2=40.

進(jìn)行考慮3種不同正弦垂直振動(dòng)工況下的定位實(shí)驗(yàn)，工況1：振動(dòng)臺(tái)振幅為10 mm，頻率為1 Hz；工況2：振動(dòng)臺(tái)振幅為20 mm，頻率為1 Hz；工況3：振動(dòng)臺(tái)振幅為50 mm，頻率為0.5 Hz. 升降定位目標(biāo)為0.3 m，翻轉(zhuǎn)定位目標(biāo)為π/3·rad. 3種工況實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖6～8所示.

(a) 升降位移

(c) 升降滑模面

(b)翻轉(zhuǎn)角位移

(d) 翻轉(zhuǎn)滑模面

(a) 升降位移

(c) 升降滑模面

(b) 翻轉(zhuǎn)角位移

(d) 翻轉(zhuǎn)滑模面

(a) 升降位移

(c) 升降滑模面

(b) 翻轉(zhuǎn)角位移

(d) 翻轉(zhuǎn)滑模面

由圖6(a)和6(b)可以看出，工況1振動(dòng)下，F(xiàn)TSMC算法和PID算法都能使得彈藥傳輸機(jī)械臂快速準(zhǔn)確定位到位. 這是因?yàn)镻ID算法的控制參數(shù)是在工況1下整定得到，因而PID算法也有較好的控制精度. 但是，結(jié)合固定時(shí)間收斂干擾觀測(cè)器的FTSMC算法的升降和翻轉(zhuǎn)定位時(shí)間都要明顯小于PID算法相應(yīng)的定位時(shí)間，表明結(jié)合固定時(shí)間收斂干擾觀測(cè)器的FTSMC算法收斂速度更快.

對(duì)比3種振動(dòng)工況的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，3種振動(dòng)工況下FTSMC算法的升降和翻轉(zhuǎn)定位誤差都要小于PID算法相應(yīng)的定位誤差，并且隨著基礎(chǔ)振動(dòng)的加強(qiáng)，F(xiàn)TSMC算法的升降和翻轉(zhuǎn)定位誤差都沒有明顯增加，說明設(shè)計(jì)的固定時(shí)間收斂干擾觀測(cè)器能夠有效地估計(jì)和補(bǔ)償外界的振動(dòng)激勵(lì)影響，表明結(jié)合固定時(shí)間收斂干擾觀測(cè)器的FTSMC算法具有很強(qiáng)的魯棒性. 相比之下，由圖7(a)、7(b)、8(a)和8(b)可知，PID算法在基礎(chǔ)振動(dòng)加強(qiáng)后，升降和翻轉(zhuǎn)的定位誤差都有明顯增加，特別是圖7(b)和8(b)翻轉(zhuǎn)部分的定位誤差已趨于惡化，分別為0.016 rad和0.021 rad，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于FTSMC算法的0.005 rad和0.003 rad. 說明當(dāng)外界振動(dòng)激勵(lì)增強(qiáng)后，PID算法控制精度大大下降，抗干擾能力較差. 同時(shí)，3種工況下結(jié)合固定時(shí)間收斂干擾觀測(cè)器的FTSMC算法的升降和翻轉(zhuǎn)定位時(shí)間都要小于PID算法相應(yīng)的定位時(shí)間，再次驗(yàn)證了結(jié)合固定時(shí)間收斂干擾觀測(cè)器的FTSMC算法收斂速度更快. 升降滑模面和翻轉(zhuǎn)滑模面都能在固定時(shí)間內(nèi)收斂，驗(yàn)證了定理2的結(jié)論.

綜上所述，本文提出的FTSMC算法在定位誤差精度和時(shí)間上都要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)固定參數(shù)的PID控制算法，所設(shè)計(jì)的固定時(shí)間控制律能夠使彈藥傳輸機(jī)械臂在更短的時(shí)間內(nèi)收斂到期望位置，振動(dòng)抑制效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)固定參數(shù)PID算法，魯棒性強(qiáng) ，更有利于實(shí)際工程應(yīng)用。

4 結(jié) 論

1)針對(duì)彈藥傳輸機(jī)械臂在路面激勵(lì)外界擾動(dòng)下的位置控制問題，基于拉格朗日方程，建立了考慮垂直基礎(chǔ)振動(dòng)的彈藥傳輸機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程.

2)提出了固定時(shí)間觀測(cè)器和固定時(shí)間終端滑模相結(jié)合的復(fù)合控制策略，固定時(shí)間觀測(cè)器用于估計(jì)和補(bǔ)償外界的總干擾項(xiàng)，固定時(shí)間終端滑模用于設(shè)計(jì)彈藥傳輸機(jī)械臂的主控制器，采用Lyapunov穩(wěn)定理論證明了系統(tǒng)固定時(shí)間收斂.

3)實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)算法的有效性和強(qiáng)魯棒性. 與固定參數(shù)PID控制算法相比，本文提出的算法具有更高的控制精度和干擾抑制能力，對(duì)其他具有基礎(chǔ)振動(dòng)的機(jī)械臂控制器設(shè)計(jì)有工程實(shí)際參考意義.