“二元一次不等式確定平面區域”方法的優化探究

江蘇省蘇州市田家炳實驗高級中學 鄧志敏 江蘇省蘇州市桃塢高級中學 繆詣欣

1 對教材意義的認識

“簡單的線性規劃問題”是數學實際應用的典范,是培養學生“數學建?！彼枷牒湍芰Φ闹匾硐胨夭?對于高中學子而言,簡單的二元變量線性規劃問題貼近生活實際,讓他們覺得數學“并不遙遠”.而且,高中階段“線性規劃”問題一般涉及在一定條件下合理配置資源,為使某種目的達到最佳,統籌人力、物力等作出最優決策而提供數學解決依據.因此,該學習內容能夠激發學生學習數學的興趣,提高運用所學知識解決實際問題的積極性,并在問題解決中獲得“成功體驗”.該內容能進一步加深學生對“函數”的理解,多角度鍛煉學生“數形結合”能力,培養學生“應用數學”意識,是增強學生分析、解決問題能力的良好載體[1].

2 問題的提出、解決及結論的推廣

2.1 問題的提出

關于二元一次不等式(組)所表示的平面區域的確定,以Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,A2+B2≠0為例,一般有以下三種方法:

(1)取點判別法:直線定邊界,一點定區域,“合則在,不合則不在”.

(2)B符號判別法:直線定邊界,符號定區域,“同上異下”.

(3)A符號判別法:直線定邊界,符號定區域,“同右異左”.

其中后兩種判別法具體敘述如下:已知二元一次函數f(x,y)=Ax+By+C(A2+B2≠0).

①B符號判別法:若B≠0,則有點P1(x1,y1)在直線Ax+By+C=0上方?B與f(x1,y1)同號;點P1(x1,y1)在直線Ax+By+C=0下方?B與f(x1,y1)異號.

②A符號判別法:若A≠0,則有點P1(x1,y1)在直線Ax+By+C=0右側?A與f(x1,y1)同號;點P1(x1,y1)在直線Ax+By+C=0左側?A與f(x1,y1)異號.

良好的教學載體往往蘊含著豐富的數學思想和深刻的教育內涵.筆者對這部分內容作了一些研究,在研究和教學實踐過程中一直思索如下三個問題:一是哪種方法更貼近學生實際?二是怎樣揭示數學本質的思維,培養學生能力?三是怎樣讓學生快速、有效記憶數學知識和結論,以達到切實理解和準確運用?

2.2 問題的解決

方法：左右側判定法.

背景:在平面直角坐標系中,一旦直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的位置確定,則直線把平面區域分為“左上、右下”和“左下、右上”兩大類情況,如圖1、圖2.

圖1

圖2

結論1對于二元一次不等式Ax+By+C>0或Ax+By+C<0(A2+B2≠0),若A>0,則有:

不等式Ax+By+C<0表示的區域,在直線Ax+By+C=0的“左側”(含左上、左下);

不等式Ax+By+C>0表示的區域,在直線Ax+By+C=0的“右側”(含右上、右下).

背誦口訣:(在A>0的前提下)不等號小于零,區域在直線左側;不等號大于零,區域在直線右側.簡稱“左小右大”!

證明及思維引導(以斜率為正的情況為例):

設f(x,y)=Ax+By+C(A2+B2≠0).

(1)在直線左側任取一點P1(x1,y1),則它離直線“有一小段距離”,想一想怎樣才能“刻畫或計算”這個距離?

(2)引導學生作直線y=y1交直線l于點P0,設P0的坐標為(x0,y1),如圖3,則“距離”可以考慮用與“x1-x0”相關的式子來表示.

圖3

(3)進一步思考,怎樣計算能夠出現“x1-x0”?

(4)由P0(x0,y1)在直線l上,則f(x0,y1)=0.

考慮f(x1,y1)=f(x1,y1)-f(x0,y1)=(Ax1+By1+C)—(Ax0+By1+C)=A(x1-x0).

因為P1(x1,y1)在直線l左側,所以x1-x0<0,而A>0,則f(x1,y1)-f(x0,y1)<0,故f(x1,y1)<0,即直線左側區域的點(x,y)必滿足Ax+By+C<0.

因此A>0時,不等式Ax+By+C<0表示的區域在直線Ax+By+C=0的“左側”.

同理,若在直線右側取點,則x1-x0>0,由A>0,得f(x1,y1)-f(x0,y1)>0,故f(x1,y1)>0,即直線右側區域的點(x,y)必滿足Ax+By+C>0.

因此當A>0時,不等式Ax+By+C>0表示的區域在直線Ax+By+C=0的“右側”.

2.3 結論的推廣

根據結論1不難得出直線l同側的兩個點對應的二元函數的值符號相同,異側的兩個點對應的二元函數值符號相反,于是有如下結論:

結論2已知二元一次函數f(x,y)=Ax+By+C(A2+B2≠0),則有:

①點P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線Ax+By+C=0同側?f(x1,y1)·f(x2,y2)>0;

②點P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線Ax+By+C=0異側?f(x1,y1)·f(x2,y2)<0.

證明略,可以留作學生思考.相信在結論1的基礎上,結論2很容易被學生接受.

3 方法對比和體會

“取點判別法”,即取特殊點,計算函數值,判斷點與直線的位置關系再確定平面區域.而“A,B符號判別法”需由A(或B)的符號與不等式的符號的異同來確定平面區域,其口訣“同上異下”“同右異左”的理解具有一定的難度.

相比之下,筆者認為“左右側判定法”是對“A符號判定法”的深化和進一步簡便,優勢在于:

(1)從根本上避免了“取點判別法”和“A,B符號判別法”中代入求f(x1,y1)的計算過程;

(2)先將不等式(或直線)的系數A化為“正”,符合直線的“一般式方程”系數A為正的要求,以及學生的一般思維習慣;

(3)對于給定的二元一次不等式(組),要快速判定相關區域得到線性規劃問題的“可行域”只需兩步:①在坐標系中快速畫出直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0).②依據結論1的口訣“左小右大”,快速確定相關區域.

4 運用舉例

解：在坐標系中分別作出兩條直線(如圖4),則x-3y+6<0表示的平面區域在直線x-3y+6=0(虛線)左上側,x-y+2≥0表示的區域在直線x-y+2=0(實線)的右下側,故可行域應是圖中的陰影區域,且兩直線的交點坐標為(0,2).

圖4

設z=2x+y,得y=-2x+z,當斜率為-2的直線經過點(0,2)時,縱截距z最小,且zmin=2×0+2=2.

故2x+y的取值范圍是(2,+∞).