問題引領探究,提升教學價值
——以一道“等比數列的應用”例題教學為例

浙江省杭州市余杭高級中學 林 威

普通高中教學課程標準提出:“教學中,教師需根據學生的實際情況與教學內容的特點,設計逐層深入的問題,激起學生的認知沖突,產生探究行為.”可見,問題是引發學生產生探究意識的基礎,探究意識往往萌生于問題的提出,隨著問題的引導,學生會不由自主地產生動手、合作、探究與思考的行為.

“等比數列的應用”對學生來說既熟悉又陌生,熟悉是因為在日常生活中,常聽說的分期付款類問題與等比數列的應用有著密切的聯系;陌生是因為雖然聽說,卻不太清楚其具體內容與計算規則.為了有效地激發學生對這部分知識的探究興趣,筆者以一道例題教學為例,具體談談如何利用問題來引領探究,提升教學價值.

1 教學過程

問題情境小剛爸爸在九年前買了一套萬科的住房,當時跟農業銀行貸款10萬元,期限為10年,當時的月利率只有0.2%,小剛爸爸選擇了等額均還的還款方式,即從放款月起,每個月還款金額相同,復利計算,第120個月還清所有的本金加利息.請你算算,這些年,小剛爸爸每個月還多少錢?

分析：這是一個生活中常見的問題,很多學生家長都在還房貸,但鮮少有學生知道家長具體貸款金額、貸款時限,以及每月還款數額.教師將這個常見的生活問題搬到課堂中,不僅增加了學生對數學知識的探究興趣,還有效地提高了學生的生活能力,為增強學生的數學素養奠定基礎.

師:隨著市場經濟的快速發展,房貸、車貸等分期付款成了受大眾認可的一種消費方式,這種消費形式具有什么特點呢?分期付款的每一期該支付多少錢呢?這是我們本節課將要探討的問題.

設計意圖：從問題的提出到教師的陳述,學生很快就明確了本節課的教學目標,同時也對這個問題情境產生了探究欲.

問題1請大家說說對“等額均還”的理解.

生1:就是每一期所還款的金額相等.

問題2這里涉及到“均還”這個詞,你們對該詞是怎么理解的?

生2:應該是所貸款的本金,加上利息的總和,再除以待歸還的總期數,就是每一期要還款的數額.

問題3大家算算,若貸款p萬元,貸款10年,所產生的利息加上本金,一共是多少?(月利率為r.)

(獨立思考+小組合作學習)

學生在獨立思考的基礎上,展開小組合作,并獲得以下結論(見表1).

表1

問題4如果我們是消費者,看看這種還款方式合理嗎?說說你們的理由.

設計意圖：此問的提出是為了激起學生的認知沖突,讓學生對此產生思考,引導學生在獨立思考的基礎上進行合作交流,以對知識產生更加深刻的認識.

生3:這種情況下要是提前還款,付給銀行的利息就多了.

生4:對呀!按照常理來說,提前還款利息應該也相應的減少.

生5:將貸款本金加上所有利息,再除以還款期數,對消費者來說,一點都不劃算.

師:你們分析得有點道理.

問題5如果每個月存進銀行的還款金額為x萬元,貸款到期一共打給銀行多少萬元?

依然運用獨立思考與合作交流相結合的方式進行探究.經討論,學生獲得以下結論(見表2).

表2

設計意圖：此問題與之前所呈現的“本利和”的問題高度相似,本利到底是表格的最后一項還是所有項之和呢?

筆者依然選擇讓學生采用自主辨析、討論的模式去探究.結果為“所有項之和”勝出.

問題6觀察表1和表2,我們一起來分析下貸款到期時所還的本利,與每個月進行還款直到到期還清所產生的本利之間的關系.

隨著問題的逐層深入,學生的思維越來越清晰.筆者還沒開口,有一部分學生就猜想出教師接下來會問什么問題了.

問題7小剛爸爸每個月需要向銀行還款的金額是多少?

根據以上分析結論,學生很快就列出以下式子,并得出如下解答.

解：假設小剛爸爸每個月的還款金額為x萬元,則可列式為10(0.2%+1)120=x(0.2%+1)119+x(0.2+1)118+……+x,解得x≈0.093 815,即每個月還款金額為938.15元.

為了幫助學生理清思路,筆者帶領學生一起總結這種分期還款的特征,作以下提示:①還款利息按照復利的方式計算;②每一期支付給銀行的還款金額是相等的;③在此過程中,每期所支付的還款與貸款都會產生相應的利息;④到期的本息之和與各期所還款直到還清時的本息之和相等.

隨著教師的引導,學生快速建立了相應的知識體系,并找出了其中蘊含的內在規律.

問題8假設貸款金額為a元,貸款期數為m個月,月利率是r,采用等額均還的還款方式,每個月需還款的金額是多少?

這是典型的知識遷移,即引導學生根據分期付款的特點,進行規律的探索.

因為有前面情境問題的探究過程作為鋪墊,學生在解決此問時,又快又準.此時,教師可趁熱打鐵,提出:談談你們在本節課的收獲.

設計意圖：此問的提出是為了培養學生的反思能力,良好的反思習慣能讓學生在學習的道路上更加順暢.大部分學生在反思中,談到了自己在知識上的收獲,同時肯定了這部分知識對生活的幫助.通過反思,再次強調了數學與生活是相輔相成、互相促進的關系.

通過一個個問題的引導,學生親歷觀察與探索的模式,在合作交流中突破了本節課的重點與難點.這種問題引領探究的教學過程,不僅符合學生心理發展的規律,帶給學生因自主探究而獲得成功的愉悅感,還能有效地增強學生的自信心,獲得更多的學習興趣與動力.

2 教學感悟

2.1 遵循思維發展規律,循序漸進積極引導

縱觀本節課的教學過程,獨立思考、合作交流以及自主探究貫穿于課堂始終,學生的思維隨著一個個問題的引領,拾級而上,呈螺旋狀上升.此教學過程告訴我們,學生的思維需要的是點撥與引導,絕非控制.學生作為具有獨立思維的個體,需要教師給予更多的鼓勵與引導,以及時發現問題、自我矯正,獲得進步.

2.2 把握合作交流時機,提升課堂教學價值

合作交流是培養學生參與、合作與競爭的重要手段,學生在和諧的氛圍中,共同探討、交流,不僅能查漏補缺,發現自我認知的不足,還能形成良好的思維品質與人際關系[3].因此,精心設計問題,能使得課堂教學變得更具價值,尤其是位于知識生長點或難點處的問題,能有效地激發學生的思維,讓各個層次的學生都獲得一定的提高.

總之,以問題引領學生產生探究意識,形成探究行為,是促進學生全面發展的重要手段.提出問題的時機、質量等,決定了探究的效果.因此,教師要盡可能地優化教學過程,創設更多、更合理的問題引發學生的探究,使得每個學生都成為“五育”并舉的現代化人才.