電機電磁場有限元仿真網格生成方法研究*

2021-12-17 02:03:10王鴻鵠

電機與控制應用 2021年11期

王鴻鵠, 周洋

(上海電機系統節能工程技術研究中心有限公司，上海 200063)

0 引言

電機是工業和民用設備中最常見的驅動設備，電機包含發電機和電機，中國每年通過發電機提供了全國90%以上的發電量，并有超過總發電量60%的電量被電機消耗掉。在工業領域，電機廣泛應用于發電機組、風機、水泵、壓縮機和機床等設備中，為工業設備提供電力和基礎動力；在生活領域，電機也被廣泛應用于電梯、空調、冰箱等各種設備中，特別是目前國家大力推廣的新能源汽車，無論其儲能方式是鋰電池或氫燃料電池，其最終的驅動設備均是電機。因此對電機產品進行深入的設計和研究具有重要意義。

絕大多數電機為軸向一致結構，可以通過二維有限元仿真對電機內的電磁場進行計算。與三維有限元仿真相比，二維有限元仿真的一個明顯的優勢是計算速度快，通常情況下，在達到相近計算精度時，三維仿真的時長一般是二維的幾倍甚至十幾倍，在相同的計算能力下，三維網格在仿真在計算效率上遠低于二維網格，目前二維網格廣泛應用于電機的工程設計中，三維網格一般用于軸向不一致電機電磁分析或對某些特定研究方向的電機電磁場仿真中。

有限元仿真應用廣泛，除了電磁場領域外，在結構、流體等方面有限元仿真均有廣泛應用。模型網格是有限元仿真的基礎，網格的生成是一種通用的算法，其中三角形網格是適應性最好的一種，同一組三角形網格往往可以應用于電磁場、結構場、流體場等多種類型的仿真計算中。目前在三角形網格生成的算法方面已經有了很多研究成果：文獻[1]提出了一種二維Delaunay三角網格的Bowyer-Watson自動生成算法；文獻[2]提出一種從局部最小值點中跳出的方法，有效提高了網格的質量；文獻[3]提出了一種基于三角形刪除的簡化算法，提高了網格簡化效率。在網格孔洞修復[4]和Delaunay 生成網格的優化算法等方面[5-7]，很多學者也做了充分的研究。這些研究成果在各種仿真計算中有著廣泛和重要的應用前景，但在電機電磁場計算網格的生成方面，很少有針對空氣包網格進行優化的方法。

與結構、流體等有限元仿真計算相比，電磁場仿真有一個明顯的區別，在結構、流體中的分析區域，相互分離的區域的計算是相互獨立的，而在電機電磁場仿真中，具有多種材料結構件，這些結構件彼此分離，但通過磁場連接在一起，所有分離的零部件中有同一個電磁場。這就要求在電磁場仿真中，分離的零部件網格必須通過中間過度網格連接起來，過渡網格的材質為空氣，磁導率為真空磁導率，為了描述方便，一般稱為空氣包。

相較于電機零部件建模，電機的空氣包建模有2個難點：(1)空氣包中含有多個模型，如果采用布爾運算進行剪裁，會將空氣包剪出多個孔洞，由于模型中每個孔洞和空氣包模型的參數相關聯，會導致空氣包數據結構復雜，穩定性不好且數據較多而不宜進行調試；(2)考慮到在瞬態場計算中，每一個時刻電機的轉子部分位置均不相同，如果每個時刻均將空氣包進行裁剪后再剖分，會增加計算的復雜度，增加計算時間，降低計算的穩定性。

1 電機網格生成過程

電機零部件為實體物質，零部件對應模型不應有交叉或重疊，剖分過程一般包含初始剖分、加密剖分2個過程。

1.1 初始剖分

首先將某個實體模型轉化為多邊形，再分割成初始三角形的網格，三角形網格的端點均為模型多邊形的頂點。如果多邊形為凸多邊形，則以任意一點為基點，連接基點和其他多邊形端點，即可得到初始三角形網格，如圖1(a)所示。如果多邊形不是凸多邊形，則可以通過“節點切除法”生成初始網格[8]。在節點切除法中，首先對多邊形節點逆時針編號，然后逐個切除多邊形中小于180°的頂點來生成初始網格。在切除多邊形頂點的過程中，切下的三角形應不包含多邊形的其他節點，如果包含，則必然可以找到另一個節點，其角度小于180°且三角形中不包含其他多邊形節點。這種方法適應性很強，不僅可以應用于凸多邊形和非凸多邊形，而且可應用于中間帶孔的模型中，這種情況下首先將多邊形外表面節點逆時針排序，孔洞中的節點順時針排序，然后采用節點切除法即可生成初始網格，如圖1(b)所示。

圖1 初始網格

從圖1中可以看出，孔洞的處理方法與非凸多邊形處理方法原理相同，通過這種節點切除法可以生成任意形狀的多邊形的三角初始網格。因為初始剖分網格的三角形節點均為多邊形的端點，所以網格尺寸較大，為了提高有限元計算結果的精度，需要對網格進行加密處理。

1.2 加密剖分

1.2.1 加密節點

對初始網格進行加密，必然要引入新的節點來作為三角形網格的節點?？紤]到電機電磁場有限元仿真的算法要求網格較為均勻，因此正三角形網格是一種較好的三角形網格，可引如正三角形節點作為加密點。在新節點生成過程中，可以先生成一個節點的集合，集合中所有節點與相鄰節點的距離均相等，如圖2(a)所示。然后找到并刪除不在模型中的節點，即可得到插入的加密節點。以圖1(b)的多邊形為例，加密節點如圖2(b)所示。

圖2 加密節點

1.2.2 Delaunay三角網格

Delaunay三角網格[9]是目前研究最廣的一種網格，其核心原則是任何一個節點不在相鄰三角形的外接圓內。在電機電磁場有限元仿真中，為了縮短剖分的時間，插入節點的方式為逐點插入式，僅要求當前插入節點不在原網格的相鄰三角形的外接圓內，如不滿足要求，則將相鄰的三角形分解，與新插入點重新生成三角形，直至符合要求。新插入的節點可能在多個相鄰三角形的外接圓內，這就需要原三角形網格的連鎖分解，下面以圖3(a)的初始網格為例進行說明。

圖3 插入新節點

圖3中的1～6為初始剖分的三角形節點，也是多邊形的端點，圖3(a)中的X點為新插入節點，在△1-2-6中，顯然△1-2-6的外接圓包含X點，分解△1-2-6，形成3個新的三角形：△1-X-6、△1-2-X、△2-6-X，如圖3(b)所示。此時△2-5-6變成含節點X的△2-6-X相鄰三角形，其外接圓包含了點X如圖4(a)所示，分解△2-5-6和△2-6-X，得到了新三角形△2-5-X和△5-6-X，如圖4(b)所示。

圖4 分解與生成三角形

同理依次判斷相鄰三角形，直至相鄰三角形的外接圓不包含X或無相鄰三角形，最終得到新的網格剖分如圖4(c)所示。這種循環迭代可采用二叉樹的前序遍歷[10]來處理，軟件實現的過程中，傳統的二叉樹結構一般采用構建二叉樹結構，通過遞歸來實現，考慮到剖分的計算性質和系統棧的大小，可采用創建棧和人工設定遍歷條件的形式，二叉樹前序遍歷的計算流程如圖5所示。

圖5 二叉樹前序遍歷流程

1.2.3 三角形網格的優化

由于插入的三角形節點為正三角形，因此剖分后位于模型中心部分的網格為正三角形，而靠近邊界或孔洞部分的三角形的三邊長度相差很大，和中心部分網格過渡不均勻，不利于計算結果的精度。為了使各部分網格連貫，在加密剖分后需要對網格進行優化。網格優化的核心是調整加密節點的位置，可采用下面2種方法進行操作。

(1) 桁架等效優化法。

桁架等效優化法方法將三角形各邊等效成組合式桁架結構，其中邊界部分為固定結構不能移動，而非邊界的三角形的邊等效成彈性結構[11]。以圖4(c)為例，圖4(c)中線段1-2、2-3、3-4、4-5、5-6、6-1為固定結構，而線段1-X、2-X、3-X、4-X、5-X、6-X為彈性結構，設定彈性結構每個桿的初始長度和彈性系數，則X節點會在彈性桿的合力作用下移動，當X節點達到受力平衡，此時即完成了網格優化。這種優化算法具有思路清晰、效果顯著、操作靈活的優點，但計算量稍大。

(2) 形心優化法。

因為插入的三角形節點為正三角形，絕大部分網格的形狀質量優秀，所以可以通過形心優化法對節點位置進行調整[12]。同樣以圖4(c)為例，找到X共節點的三角形所構成的多邊形1-2-3-4-5-6的形心，然后用該形心取代X點的坐標。在生成的網格中，非邊界網格節點均應通過此方法進行移動和迭代，迭代公式為

(1)

式中：Ni為內部節點Pi的個數；Pj為與節點Pi相連接的節點。

這種優化算法簡單，計算量小，可以滿足電機電磁場仿真的需求。

2 空氣包剖分

從上述剖分流程可以看出，零部件是作為一個獨立的實體進行剖分的，如果空氣包中包含若干個電機零部件，按照上述剖分流程，需要通過布爾運算除去空氣包中零部件的部分，把空氣包變成一個類似零部件的實體，這樣一方面會導致空氣包中含有大量的孔洞，各個孔洞和空氣包邊界的連接處容易出現干涉，計算中容易出現異常；另一方面如果電機有旋轉零部件，每次旋轉均要進行一次布爾運算，增加了計算量。

為了避免空氣包的布爾運算，考慮采用一種空氣包直接剖分法，思路是：首先不考慮電機零部件，對空氣包進行整體剖分，得到空氣包的三角形初始網格，然后對空氣包網格進行加密，最后刪除電機零部件對應的空氣包網格，即得到了空氣包中的網格。此方法可不進行空氣包的布爾運算而直接對空氣包進行剖分，一方面避免了出現大量孔洞引起異常，另一方面也能夠減少計算量提升計算速度。采用該方法編制了軟件“電機協同設計電磁場有限元仿真軟件EMFTest V1.0”，下面結合軟件建模功能進行說明。

為了便于說明問題，先采用簡易模型加以說明。設定電機某個零部件和電機空氣包的模型如圖6所示。

圖6 簡易模型

以簡易模型的結構，按流程對空氣包剖分，步驟如下。

(1) 生成空氣包的初始網格。

在生成空氣包的初始網格時，暫不考慮零部件結構。首先按照空氣包網格大小將空氣包的邊界分段，并按照“節點切除法”生成空氣包的初始網格，邊界分段和初始網格如圖7所示。

圖7 空氣包初始網格

“節點切除法”切除的節點順序可按照需求選擇，切除順序對最終網格加密效果影響不大。

(2) 插入空氣包網格加密節點。

在空氣包內部插入加密節點，對空氣包內部網格加密。插入的加密節點分為2個部分，一部分是空氣包內部的零部件邊界尺寸分段的節點；另一部分是插入在空氣包范圍內的且不在零部件范圍內的正三角形節點。2部分加密節點如圖8所示。

圖8 插入的2部分加密節點

(3) 生成空氣包加密網格。

以圖8中的加密節點插入到圖7(b)的空氣包初始網格中，通過二叉樹算法得到Delaunay三角網格如圖9(a)所示。

圖9 有缺陷的加密網格

可以看出加密后的網格較為均勻，但會出現缺陷，體現為部分網格橫跨了空氣包和零部件，本例中出現的缺陷網格位置如圖9(b)所示，L1和L2線段均為零部件的邊界，但這2條線段不是任何三角形網格的邊，這顯然與事實不符。

(4) 網格修復。

圖10 修復后的加密網格

找到所有構成零部件邊的分段線段，然后與加密三角形進行對比，找出所有有缺陷的網格。網格修復中，以L1處的網格為例，首先應找到邊與邊界相交的三角形，然后分解相關三角形網格，形成1個包含零部件邊的線段端點的新多邊形a-b-c-d，如圖10(a)所示，最后通過生成初始網格中用到的“節點切除法”，在這個多邊形中重新生成三角形網格，切除節點需要包含端部線段的節點b和d，構成△b-d-a和△b-c-d，如圖10(b)所示。實際應用中模型結構復雜，修復的多邊形包含但不限于四邊形，修復方法相同。

(5) 網格優化。

在加密網格修復完畢后，通過桁架等效優化法或形心優化法對網格的均勻度進行優化，本例中采用的是形心優化法，如圖11所示。