“概率論與數理統計”課程教學改革的幾點思考

◎李 昕 (鄭州輕工業大學，河南 鄭州 450000)

“概率論與數理統計”是研究自然界中各種隨機現象的統計規律的一門學科，是高校理工科專業開設的一門非常重要的數學類基礎課，也是考研數學的重要內容[1].在當今社會，概率統計方法的應用已經深入到社會生活的各個領域.如果留心觀察，在我們身邊也處處可見概率統計知識應用的身影.

本課程的內容既抽象又生動.說它抽象，是因為教學內容中充滿著大量的數學公式與運算，擁有非常嚴密的邏輯結構，思維方式體現了強烈的數學特色，因此很多同學在學習過程中感到難以理解，學習不得法，找不到解決問題的正確思路；說它生動，是由于它有別于我們之前接觸到的其他數學課程，總是好像空中樓閣一樣，看不到和我們實際生活的任何聯系，所以學生常常會有這樣的疑問：學數學究竟有什么用？而“概率論與數理統計”從課程一開始，每一個概念的引入都來源于我們日常生活中最普通最常見的隨機現象，比如拋硬幣來看正反面，比如抽撲克牌比較大小，比如猜測路口的紅綠燈，比如等車時比較誰等的車先到等，生活中的隨機事件隨處可見，每一個人都曾接觸或體會過，只是不曾細想其原理而已.作為一門數學課，它不再是一門看不見摸不著的課程，因此，不論從課程的重要性與它的實用性，或者是它的特殊性，作為教師，都應該努力使學生學會它學好它，掌握其中的基本概率思想與統計方法[2].下面簡單談一談在“概率論與數理統計”教學實踐過程中的幾點認識.

一、提前做好教學安排

(一)教學計劃透明化

教學安排或教學計劃是課程設置的整體規劃，是根據一定教學目的和培養目標制定的教學工作的指導文件，因此它制定的質量與教學過程取得的效果息息相關.在每個學期開始之前，任課教師都會制定一個教學日歷，根據課程的教學時數對所需講授的所有內容加以分配，包括每次課堂內容結束之后留給學生的習題也會予以說明.這使得教師可以按照此教學安排表進行教學，盡可能保證了教學過程的順利進行及教學任務的按時完成.但是對于學生來說，對于教學進度是無法把握的，接觸一門陌生的課程，學生本來從心理上可能就會產生一種抵觸的情緒，就像新到一個陌生的環境一樣會有點無所適從，這樣是很難培養學生的學習興趣的，如果能夠在學期初始就把本課程的教學安排透明化，學生能夠大致把握每堂課將要學習的內容，有助于學生達到一個心里有底而不慌不忙的學習狀態.

(二)教學計劃細致化

通常所用的教學日歷，只是大略描述一次課堂教學的主要內容，或者是對章節標題做了一個分配，比如離散型隨機變量，隨機變量的數字特征等，而對其中包含了哪些概率論的基本概念，則完全沒有提及，如果能把計劃做得更加細致，在標題內容下有一個展開，把涉及的概念和問題作以說明，類似于給出一個教學流程圖，那么學生就可以據此來有的放矢地進行預習或復習，有助于提高學習效果.

(三)使用國外的優秀教材作為參考

關于“概率論與數理統計”，國內外都出版了大量的優秀教材，現在我們已經可以容易地找到很多國外高校的教材甚至是完整的教學視頻.由于文化差異與學習習慣不同，國內外的概率統計類教材在內容設置和安排上有很大差異.比如，我們習慣先介紹概念再給出實例說明，而外文教材中往往是先給出實例，提出疑問，進而總結出概念.教師在選用的教材之外，可以介紹一些外文教材，鼓勵學生以此作為參考書，或在課堂教學上轉換一下教學順序，有助于激發學生的學習興趣以及對知識應用的融會貫通.比如在學習連續型隨機變量的分布時，對于均勻分布大家很容易就理解了，但對于指數分布往往覺得抽象.教師可以在上課時提出這樣一個問題：“公交車始發站一般發車時間間隔是相等的，但在中途站點等車時卻感覺公交車的到達時間間隔是不相等的，為什么呢？”相信這樣的體會大多數學生都有過，當然會回答是隨機因素的影響，那么經過影響之后的時間間隔就是一個隨機變量了，這個隨機變量可能服從什么樣的分布呢？通過一個問題使學生對要學習的概念有一個感性認識，更有利于記憶，且后續學習期望概念的時候仍然可以把問題延續下去.

二、合理調整教學內容

(一)加強概念與實例的結合

學生在初接觸“概率論與數理統計”課程的內容時，可能會覺得知識體系復雜，概念繁多，難以理解.但事實上，概率統計中的概念都是來源于實際生活，我們其實每一個人在學習和生活中早就已經應用了這些知識理論.如果能在教學中加強概念與實例的結合，把抽象嚴謹的數學概念講解得通俗一些，學生往往會易于接受，拋棄課本中的陳舊例子，多舉貼近學生生活的實例，教學過程也會有事半功倍的效果.例如，在介紹全概率公式與Bayes公式時，可把完備事件族{A1,…,An}中的每一個事件Ai看成導致事件B發生的一個原因，先驗概率P(B|Ai)是已知原因Ai發生時有結果B的概率，后驗概率P(Ai|B)是已知事件B發生了來求由Ai導致它的概率.這樣空泛的講解，學生可能不易理解，也提不起學習的興趣，若聯系實際則容易得多.比如說某人感冒記為結果B，若治療需對癥下藥，那么病因可記為A1,A2,A3,….再比如某位學生考試不及格記為結果B，可由多種原因導致，假設A1表示學習不努力，A2表示試卷太難，A3表示發揮失常，A4教師改卷發生錯誤，各種情況，可展開討論，增強互動，調節課堂氣氛，調動學生學習的積極性.

(二)培養學生的學習興趣

都說興趣是最好的老師，有了興趣也就有了學習動力.基于概率統計理論在現實生活中的廣泛應用，相比于其他數學課程，在教學上是相對靈活與有優勢的.例如在介紹概率起源的時候，利用非常著名的賭本分配問題：在17世紀的歐洲，有一次兩名賭徒賭博，兩人各拿出相同數目的錢作為賭本，然后擲骰子，規定五局三勝，贏的人可拿走所有的錢，可只進行了三局，當甲兩勝一負時，警察來了，兩人匆匆按當時結果分配了賭本，甲占三分之二，乙占三分之一，這樣的分配合理嗎？像這樣的一些小故事可以引發學生的好奇心，而要想弄明白，就要學習概率的相關理論.當然，更多的，是激發學生自發地去尋找自己身邊的一些隨機現象與概率統計理論之間的聯系.比如學生高考填寫志愿表，會打聽各學校各專業前幾年的錄取分數，以此作為依據來調整志愿，判斷自己被錄取的可能性，這其實就是數理統計中點估計的概念的應用.再比如學校中教學檢查周聽某位教師的課，通過一次聽課來對教師的課堂教學情況給出一個大致的評判，這不正是抽樣理論的應用嗎？如此實例，舉不勝舉，只要有心，會發現我們每個人早在每天的日常生活中應用這些不同的統計規律了.因此，可在聯系實例講解一個概念或定理之后，啟發學生，讓學生自己尋找相關的應用，學生有了學習的興趣，自然能有良好的學習效果.

三、探索新的教學方式

(二)利用好現代化的教學手段

隨著計算機技術的發展與應用，以及去年疫情期間對網絡教學方法的推廣，目前很多課程都采用了線上線下教學相結合的教學模式，這在一定程度上提高了教學效率，使得課堂時間能夠被充分利用，避免過多重復勞動，同時微課由于其短小精悍的特點，易于存儲，易于下載，因此可把教材中的一些難點、重點，比如說全概率公式，隨機變量的含義，大數定律，中心極限定理或者復習專題等分別制作成微小課件，學生隨時需要，隨時學習，學習的靈活性大大增加，學習過程可延伸到學生的生活之中.但實際的教學實踐結果表明，很多學生并沒有充分利用線上的學習資料，甚至基本沒有使用，比如有些同學線上測試成績只有不到10分，嚴重影響了綜合成績，這就與我們的初衷背道而馳了.

因此，怎樣在科技進步后，有了更多的手段和方法后，把它們有機地結合起來，更重要的是讓學生認可、接受并習慣這樣的學習模式，是目前亟待解決的問題.有一些方法已經或正在嘗試，比如增加線上成績在綜合成績中的比重，在線上設置章節測試作為任務，參與討論給予積分等，對于提高學生的參與度有一定效果但仍需進一步完善.以學生為主體的學習，絕不是教師的放手，而是要引導學生學會學習.

(三)實驗教學與軟件操作相結合

“概率論與數理統計”作為一門與實際生活聯系緊密的應用型學科，它所有的定理結論都來源于現實中的隨機現象，但我們在教學過程中，常常會忽視這一點，總是不厭其煩地給學生講解那些定律公式的使用，告訴學生如何去計算出想要的數值，卻不小心把它變成了一門空中樓閣式的數學課程，學期沒到一半，學生就已經有了畏學情緒.如果能夠在教學過程中適當安排一些實驗活動，讓學生自己去觀察我們身邊的隨機現象背后的統計規律，從直觀的背景中了解某些結論的產生過程，會對學生的學習狀態產生深刻影響，比如幾何概型中蒲豐投針的試驗，可以讓學生自己動手操作一下，而不僅僅是教師的口頭介紹；在學習隨機變量的分布時，可以讓學生計算一下班級的成績分布，看看自己所處的位置；在講解數字特征時，可以讓學生每人拿一袋鹽或一個雞蛋，稱稱它們的質量，計算一下均值和方差，會有一個更感性的認識.在學習統計知識時，可以讓學生自己通過觀察、測量去理解，比如估計一分鐘內學校門口的車流量，食堂某個窗口午餐時的平均就餐人數，所在班級本學期的出勤率等，通過一些自主的實踐活動，學生會主動參與到課程的學習之中，能夠根據自己觀察到的結果自己去問“為什么”，自己去尋求解答，這對于學生學習能力的培養、綜合素質的提高都有重要作用.

任何定量分析課程的最終目標，都應該是教會學生建立定量模型的方法，從而對現實的決策問題給出建議.而我們的教學通常是在拋開了現實背景的復雜化后的理想條件下進行的，其典型結果是，即使那些在考試中表明已熟練掌握概念定理的學生，也常常不清楚如何把那些概念運用到現實世界.“概率論與數理統計”相關教材中，應用Excel表格做運算已是家常便飯，但是絕大多數學生對這些如何進行依舊是一無所知，如果我們真的希望學生在課程中學習到的知識的實用價值最大化，學生應該掌握簡單的Excel計算概率問題的方法[3].

四、結束語

對“概率論與數理統計”課程的教學改革，涉及教學過程的各個環節，目標是為了提升教學效果，但卻決不僅限于此，更重要的是激發學生學習的積極性，培養學生的學習能力，使學生在以后的學習工作中能夠具有自主學習、自發學習的能力.對于任課教師而言，除了提高自己的教學水平，在教學內容、教學方法等客觀方面不斷探索，更重要的是對教學工作的熱愛與熱情，對學生的認同與理解.