曲線光滑定義及光滑性條件用途解析

李守英　李建華

【摘要】分析了光滑曲線的兩種定義，及定義中非零條件的作用，并利用函數圖對非零條件進行了直觀展示，討論了光滑曲線兩種定義的關系，從而使光滑曲線的概念更加直觀.分別從曲線可求長、曲率的計算及曲線積分的概念和計算三個方面研究了曲線光滑這一條件的作用，有助于大家對光滑曲線這一概念形成更深刻的認識.

【關鍵詞】光滑曲線；可求長曲線；曲率；曲線積分

引 言

光滑曲線一直是數學教學中較難解釋的概念，學生在學習過程中尤其難以理解定義中的非零條件，對不滿足該條件的曲線缺乏直觀感受和認識.在出現曲線光滑條件的章節中也難以理解該條件所起到的作用，無法深入理解曲線光滑的意義.本文通過函數圖及曲線光滑與曲線可求長、曲率的計算及第二型曲線積分的概念和計算等方面的聯系幫助大家對光滑曲線的概念形成全面而深刻的認識.

1.光滑曲線的定義

定義1：設平面曲線C由參數方程：x=x（t），y=y（t），t∈[α，β]給出，如果x（t），y（t）在[α，β]上連續可微，且x′2（t）+y′2（t）≠0，t∈[α，β]，則稱C為一條光滑曲線.

定義2：若函數f（x）在區間（a，b）內具有一階連續導數，則其圖形為一條處處有切線的曲線，且切線隨切點的移動而連續轉動，這樣的曲線稱為光滑曲線.

問題1：若曲線C不滿足定義1中的非零條件，曲線C可能是非光滑的.下面舉例說明.

例1 設擺線（又名旋輪線）C1的參數方程為：x=x（t）=t3，y=y（t）=t2，t∈R.x（t），y（t）在R上連續可微，且x′2（0）+y′2（0）=0，曲線C1在（0，0）點處不光滑，且在該點切線不存在.該曲線在（0，0）點附近圖像如圖1所示.

圖 1

例2 設曲線C2的參數方程為：x=t3cos1t，t≠00，t=0，y=t3sin1t，t≠00，t=0，t∈R.x（t），y（t）在R上連續可微，且x′2（0）+y′2（0）=0，曲線C2在（0，0）點處不光滑.事實上，曲線

C2在（0，0）點附近的切線斜率可以從-∞到+∞，如圖2中左圖所示，圖2中下圖為t∈（0，0.1）時的情形.

圖 2

問題2：若曲線C不滿足定義1中的非零條件，曲線C也可能是光滑的.下面舉例說明.

例3 設曲線C3的參數方程為：x=t，y=t3，t∈R或者x=t3，y=t9，t∈R，x（t），y（t）在R上連續可微，雖然x′2（0）+y′2（0）=0，不滿足定義中的非零條件，但曲線C3在（0，0）點處光滑，且存在切線.該曲線的方程即為大家熟悉的函數y=x3，在（0，0）點附近圖像如圖3所示.

圖 3

問題3：曲線連續是曲線光滑的必要不充分條件，如例1.

問題4：定義2中f′（x）在[-R，R]上連續是曲線光滑的充分不必要條件.下面舉例說明不必要性.

例4 曲線y=f（x）=R2-x2，x∈[-R，R]的參數方程可以表示為x=Rcost，y=Rsint，t∈[0，π]，由參數方程可推知曲線滿足光滑定義，但y=f′（x）=-xR2-x2在點-R及點R處不連續.

問題5：設x=x（t），y=y（t），t∈[α，β]與y=f（x），x∈[-R，R]表示同一條曲線，則定義1與定義2無法互推.即滿足定義1條件，可能不滿足定義2條件，如例3；滿足定義2條件，可能不滿足定義1條件，如例4.

2.光滑與可求長

在敘述曲線可求長條件或者推導弧長公式時，很多教材都會假定“曲線光滑（或分段光滑）”這個條件，以致學生產生只有光滑曲線才能將弧長計算化為定積分的誤解.事實上，由文獻[1]，曲線求長不需要光滑，且只需用x′（t）、y′（t）在區間[α，β]上黎曼可積（而不是連續），就能夠得到弧長計算公式s=∫ β αx′2（t）+y′2（t）dt.

曲線光滑是可用上述公式計算弧長的充分非必要條件，但若不滿足光滑條件，則可能是不可求長的，如例2.

3.光滑與曲率

曲率定義如下：設光滑曲線的參數方程為x=x（t），y=y（t），t∈[α，β]，且x（t）與y（t）二階可導，則有曲率公式：

K=x′（t）y″（t）-x″（t）y′（t）[x′2（t）+y′2（t）]32.（1）

高等數學中曲率公式的給出建立在曲線光滑的條件上，在不滿足光滑條件的點處，曲線的曲率可能不存在，如例1中曲線在（0，0）點處不滿足光滑定義中的非零條件，曲率不存在.

但基于上文中不滿足光滑定義中非零條件的曲線也有可能是光滑的，故曲率公式在使用時也會產生局限性.對于不滿足x′2（t）+y′2（t）≠0條件的點是否能說明該點曲率不存在呢？答案是否定的，如以下例5.

例5 光滑曲線C參數方程為x=t2，y=t2，t∈R，在點（0，0）處有x′2（t）+y′2（t）=0，因而無法用上述求曲率的公式進行計算，但該曲線直角坐標方程為y=x，其在任一點處的曲率均為零.事實上可用下文中公式（2）進行計算.

設曲線的方程是y=f（x），且f（x）具有二階導數就（這時f′（x）連續，從而曲線是光滑的）.則有曲率公式

K=y″（1+y′2）32（2）

對于不滿足y″存在性的點，該點處仍可能有曲率，如例4，曲線y=f（x）=R2-x2，x∈[-R，R]，y′=-xR2-x2在點-R及點R處y′→∞不存在，故y″也不存在，但該曲線在點-R及點R處是光滑的，從而一定有曲率，事實上由其參數方程x=Rcost，y=Rsint，t∈[0，π]，利用公式（2）計算可得，這兩點處的曲率均為1.

對曲線方程為x=g（y）的情況不再討論，與公式（2）類似.

4.光滑與曲線積分的概念和計算

第一型曲線積分定義中要求曲線是可度量的，即可求長，因此需要光滑性條件.第二型曲線積分定義中要求曲線處處存在切向量，因此需要光滑性條件.因為不滿足光滑性條件的點處曲線可能不存在切線.例如對于擺線（例1）在t=0，±2π，±4π，…時，就沒有切線.

【參考文獻】

翁莉娟，韓云瑞.數光滑曲線與可求長曲線[J].數學的實踐與認識，2006，36（5）：308-309.