一類二階常微分方程組的解

周昀　蘇新衛(wèi)

摘 要： 利用待定系數(shù)法，求解一類常系數(shù)二階非齊次常微分方程組的通解，討論當(dāng)非齊次項(xiàng)為三角函數(shù)與n次多項(xiàng)式的乘積時(shí)，方程組的通解.

關(guān)鍵詞： 待定系數(shù)法 非齊次常微分方程組 三角函數(shù) n次多項(xiàng)式

引言

求解常系數(shù)線性微分方程（組）的解在常微分方程課程中是一項(xiàng)重要內(nèi)容.由線性非齊次微分方程（組）解的結(jié)構(gòu)定理可知，線性非齊次微分方程（組）的通解等于對應(yīng)的齊次方程（組）的通解加上非齊次微分方程（組）的一個(gè)特解[1-2].到目前為止，關(guān)于常微分方程組解的研究已經(jīng)取得了豐碩的成果.例如，可以采用初等變換法、消去法、遞推公式、矩陣解法等求解一階線性微分方程組[3-7].在常系數(shù)微分方程（組）中，當(dāng)非齊次項(xiàng)是某種相對較特殊的形式時(shí)，我們可以用待定系數(shù)法求出非齊次微分方程（組）的一個(gè)特解.文獻(xiàn)[8]給出了非齊次項(xiàng)為n次多項(xiàng)式的通解，文獻(xiàn)[9]給出了非齊次項(xiàng)為二次多項(xiàng)式與三角函數(shù)乘積的通解.本文中，我們將給出非齊次項(xiàng)為n次多項(xiàng)式與三角函數(shù)乘積時(shí)的通解.

1.主要結(jié)果

2.方程組的通解

2.1齊次方程組的通解

2.2非齊次方程組的通解

結(jié)語

本文用待定系數(shù)法求解非齊次線性微分方程組的通解，將文獻(xiàn)的結(jié)論進(jìn)行了進(jìn)一步的推廣，將二次多項(xiàng)式推廣到了任意次多項(xiàng)式.由算例看到，隨著多項(xiàng)式次數(shù)的提高，運(yùn)算會越加繁瑣.因此，如果工程中遇到此類問題時(shí)，可以通過編程實(shí)現(xiàn)求解，使得其運(yùn)用范圍更加廣泛.

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