試析中學平面幾何與解析幾何、立體幾何的內在聯系

李啟玲

【摘 要】本文主要分析了中學數學中平面幾何與解析幾何、立體幾何之間的內在關聯，凸顯了平面幾何教學的重要性。

【關鍵詞】平面幾何;解析幾何;立體幾何;關聯

隨著我國教育部制定的義務教育《數學課程標準》、《普通高中數學課程標準》（2017年版）的頒布與實施，我們可以看到對中學數學教學內容、教學模式、教學目標都進行了修正，對教師綜合素質的要求進一步提高。在目前仍然以教師為主導的課堂教學活動中，教師教學能力的重要性不言而喻。如何提高教師的綜合素質？如何讓教師不僅僅是講好一堂課、一門課，而是對教學內容有著更為深刻的認識理解，并在整個教學活動中游刃有余？這就需要教師站在更高處，宏觀地看待整個中學數學的理論體系，并且能夠深刻的認識到各部分內容的內在聯系，從而形成網狀的知識體系。

一、平面幾何與解析幾何的內在聯系

中學數學中關于幾何部分的內容分為平面幾何、解析幾何、立體幾何。我們知道平面幾何部分的內容主要來源于《幾何原本》最基礎的部分，旨在通過讓學生認識點、線、面等圖形，并對其性質特征進行刻畫。眾所周知，由于《幾何原本》理論體系建立在五個公設基礎之上，由于這五個公設的描述、刻畫欠缺一定的嚴密性，就造成了平面幾何中某些知識欠缺嚴密性。例如，教材中定義兩個圖形全等，是通過平移其中一個圖形使得兩個圖形重合。實際上這種定義要在平移時物體做剛體運動不產生形變下才能做到。究其原因是因為圖形的位置問題造成了這一定義的不嚴密性。但是如果在解析幾何的觀點下，每一個點都是唯一的，從而由點構成的幾何圖形也是唯一的，那么在解析幾何下如何定義兩個圖形全等呢？我們可以借助函數來解決這一問題：圖形平移與旋轉來刻畫。由于初中階段學生對函數知識認識不足，造成了我們無法用解析幾何中更嚴密的理論來刻畫圖形的全等性，而借助圖形的平移更具直觀性，也更有利于學生直觀想象能力的培養。平面幾何中關于圖形的相似性，如果用拓撲學中的同胚來刻畫也更為準確，即由一個圖形能連續形變到另一個圖形。但是同胚中所包含的情形要遠比相似更為復雜，任意一條封閉曲線與任意一個三角形是同胚的，但與三角形相似的圖形只能是三角形。另外，如果從拓撲的角度，把同胚的集合都看作同一個集合，那么所有相互相似的三角形就只有一個，使得我們需要研究的對象大大減少。

為什么關于三角形的性質特點的討論占據了平面幾何的大部分內容呢？首先，三角形是由直線段圍成的所有封閉圖形中最為簡單的圖形。其次，對三角形的研究既涉及到了線段長度的問題，又涉及到了角度的問題（對應于解析幾何中點的極坐標表示），并且兩者相互關聯。最后我們可以借助三角形的性質討論由直線段圍成的其他幾何圖形的性質。我們知道，三角形有兩大構成要素：三條邊、三個角。在研究討論三角形的基本性質時，必須要思考三個問題：第一，滿足什么關系的三條邊才能構成一個三角形？第二，三角形的三個角應滿足什么條件？第三，邊與角之間有什么關系？

首先我們知道三角形三邊的關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。如果設三角形ABC的邊長分別為a、b、c，如圖所示：

則上述命題可以表示為：a-b∠B，則a>b。這三個命題為三角形的邊角性質進行了最基本的刻畫。從數學的角度，我們可以看出第三個命題的刻畫最為準確，而對其他兩個命題我們用到的是一個直觀但是較為粗糙的描述。如何使這兩個命題如同第三個命題一樣準確呢？這就需要在特殊情況下來討論。例如對直角三角形ABC，如圖所示：

所以a-bA >B，則有sinC > sinA >sinB，并且a=c·sinA/sinC，b=c·sinB/sinC，同時使得三角的關系更為準確（同樣也可以討論其他類型的三角形）。

在討論三角形基本性質的基礎上，可以借助三角形的這些性質對其他多邊形的性質進行研究。例如通過將多邊形分割成多個三角形，討論多邊形邊與邊、邊與角的關系：多邊形的內角和、面積的計算方法等問題。我們一起來看看下面這道高考題。

二、平面幾何與立體幾何的內在聯系

在新課標中，立體幾何的教學目的主要是培養學生的空間想象能力、邏輯思維能力，其教學內容主要包括空間中點、直線、平面、立體的位置關系及各自的基本性質，其知識點的教學方法處處都建立在平面幾何的基礎之上。

在立體幾何的教學活動中，幾乎所有涉及到點、線、面之間的位置關系都處理成平面幾何中點、線之間的關系。例如為了解決點到直線的距離問題，我們首先將點和直線放到同一個平面上，將問題轉化為平面上點到直線的距離。在解決異面直線的位置關系時，通過固定其中一條直線，平行移動另外一條直線，使得兩條直線共面，從而確定兩條直線的夾角。在處理線面、面面夾角的問題時，我們也是先將問題轉化為共面的線線夾角的問題進行討論。這與我們處理高維空間的問題類似，將高維空間的問題轉化為低維空間的問題進行處理，借助已有的工具解決新的問題。在此以浙江省2020高考試題為例分析如何將立體幾何的問題轉化為平面幾何的問題進行處理。

三、結束語

平面幾何在數學及其數學教育中的重要性不言而喻，是數學的出發點，是數學這棵參天大樹的萌芽。在我們的日常生活中無處不在，長方形的課本、黑板，圓形的車輪、鐘面、花臺、各種水果，三角形的支架，諸如此類。課標要求通過平面幾何的學習，培養學生的直觀想象能力、邏輯思維能力。如何在數學教學中講好平面幾何，不僅需要老師們對教學內容熟悉，更需要老師們對幾何（包括平面幾何、立體幾何、解析幾何，甚至非歐幾何）之間的關系有著較為全面及深刻的認識，拓展教師的知識面，加深教師對知識理解，才能提高教學質量，實現教學目標。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.《數學課程標準》（2011年版）[M].北京師范大學出版社，2012.

[2]中華人民共和國教育部.《普通高中數學課程標準》（2017年版）[M].人民教育出版社，2018.

[3]義務教育教科書.《數學》（八年級）[M].人民教育出版社，2014.

[4]普通高中教科書.《數學》（必修第一冊）[M].人民教育出版社，2019.

[5]普通高中教科書.《數學》（必修第二冊）[M].人民教育出版社，2019.