課程思政之定積分的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計

董培佩

摘?要：本文對課程思政之定積分的應(yīng)用進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計，并通過案例進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞：課程思政;定積分的應(yīng)用;教學(xué)設(shè)計

中圖分類號：G4?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2021.35.069

定積分的應(yīng)用（一）教學(xué)目的、要求：（1）鞏固定積分的幾何意義及計算;（2）掌握用定積分（微元法）求直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的方法;（3）綜合運用知識分析解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思維能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力;（4）通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及邏輯推理能力，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力。

教學(xué)重點：（1）微元法的基本思想和步驟;（2）利用定積分求解平面圖形的面積。

教學(xué)難點：（1）微元法的理解;（2）適當(dāng)選擇積分變量利用定積分求解平面圖形的面積。

教學(xué)方法：分組討論法、講練結(jié)合法、行為引導(dǎo)法、分層教學(xué)法。

課前準(zhǔn)備：學(xué)習(xí)通上上傳數(shù)學(xué)家牛頓、萊布尼茲等數(shù)學(xué)家的簡介及在微積分領(lǐng)域、微元法的研究和貢獻(xiàn)。

課堂教學(xué)程序：（1）分組討論線上預(yù)習(xí)視頻：數(shù)學(xué)家萊布尼茲和牛頓的在微積分中的研究簡介、微元法簡介;（2）介紹用定積分的幾何意義、微元法求解求平面圖形面積的方法及公式;（3）舉例;（4）課堂討論、小結(jié);（5）線上線下作業(yè)布置。

1?分組討論預(yù)習(xí)內(nèi)容

同學(xué)們分組討論學(xué)習(xí)通中觀看視頻會對微積分、微元法的理解，以及對兩位數(shù)學(xué)家的評價。

課程思政元素：萊布尼茨與牛頓流數(shù)術(shù)的運動背景不同，萊布尼茨對微積分的研究是從幾何方面進(jìn)行的，他在研究不規(guī)則曲線的切線和不規(guī)則曲線所圍的面積時開始了對微積分的研究。我們現(xiàn)在使用的積分符號就是求和“sum”的首寫字母“S”拉長后得到的。除此之外，還有很多數(shù)學(xué)符號都是萊布尼茨引入的，如微積分中的dx、dy等符號，這些符號簡潔、方便，一直沿用至今。盡管牛頓與萊布尼茨各自從不同的方向創(chuàng)立了微積分但殊途同歸，他們對微積分的創(chuàng)立和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)，在優(yōu)先權(quán)問題上我們不做過多評價和論述，我們認(rèn)為他們的貢獻(xiàn)是相同的。要以開放、包容的心態(tài)去看待事物，在待人接物時要有一顆海納百川的心。

2?定積分應(yīng)用的引入

創(chuàng)設(shè)情境，引出新課。用多媒體展示多張圖片拋出問題：拱形橋橋面的面積？不規(guī)則湖泊及田地的占地面積？

課程思政元素：通過以上問題，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)和我的生活息息相關(guān)，無時無刻不存在我的生產(chǎn)生活中，讓學(xué)生感受所學(xué)知識定積分的實際意義和作用，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的巨大作用及魅力，激發(fā)學(xué)生對本次課以及《微積分》的興趣，提高同學(xué)的學(xué)習(xí)熱情。 利用以上實例，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會把理論知識和實際問題聯(lián)系起來，再引出本節(jié)課的課題：定積分的應(yīng)用——用微元法解決平面圖形的面積。

3?定積分的微元法

利用微元法解決曲邊梯形面積問題的方法如圖1：

課程思政元素：微元法的數(shù)學(xué)思想可以概括為“分割（化整為零）、取近似（以直代曲）、求和（積零為整）、取極限（精確化）”。這個思想在多個科學(xué)領(lǐng)域都有涉及，無論是對學(xué)生的學(xué)習(xí)，還是對老師都有很大的啟示，比如我在生活中學(xué)習(xí)中、在做作業(yè)的時候，碰到問題、碰到難題，當(dāng)沒有辦法解決時，我可以嘗試將大問題分解成若干個小問題，分步驟各個擊破，先解決每一步的小問題，從而最終解決大問題。微元法讓我知道，學(xué)術(shù)上、生活中很多復(fù)雜的問題都是由若干個簡單的問題組合起來的，需要不斷思考探索，利用所學(xué)的知識合理科學(xué)地去分解問題、解決問題。

4?平面圖形的面積的求法及舉例

利用微元法或定積分的幾何意義求平面圖形的面積。

讓學(xué)生自己分析練習(xí)以上例題3和例題4：（1）學(xué)生根據(jù)例題探究的過程來歸納解題思路及過程;（2）教師簡單點評，幫助學(xué)生修改、提煉，強(qiáng)調(diào)注意要根據(jù)積分變量的選擇把函數(shù)變形成用x表示y的函數(shù)或用y表示成x的函數(shù);（3）也可以使用“微元法”求以上例題的面積。

課程思政元素：為什么無界區(qū)域的面積確是一個定值呢？這個結(jié)果肯定讓在座的同學(xué)都感到驚訝，在我的認(rèn)知中，無界區(qū)域的面積應(yīng)該是無窮大的，為什么無界區(qū)域的面積確是一個定值呢？這會引發(fā)同學(xué)的討論和爭論，活躍了課堂氣氛并很大程度地激發(fā)了同學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。此時數(shù)學(xué)的奇異美展現(xiàn)在同學(xué)面前;數(shù)學(xué)的辯證美展現(xiàn)在同學(xué)面前。此時教師自然而然地說：學(xué)習(xí)《微積分》不僅僅是因為開了這門課，為了學(xué)習(xí)而學(xué)習(xí)，更不是為了期末考試，重要的是讓同學(xué)體會到數(shù)學(xué)的魅力，體會數(shù)學(xué)的美好，幫助同學(xué)提高分析問題和解決問題的能力……在我平時的工作、生活和學(xué)習(xí)中，我可以將很多事情看成是一個“反常積分”，我往往認(rèn)為某件事情憑我自己的能力是無法完成的，但實際上只要找對方法，我是有這個能力去很好地解決這些問題的?！胺闯７e分”及無窮區(qū)域的面積為有限值這個問題不僅僅是存在于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在日常生活中我所面對的很多問題其實也一樣。所以我平時做事情不能一味地靠主觀判斷，要學(xué)會用科學(xué)的、理性的思維方法去思考，要辯證地看問題，不能被事物的表象迷惑，不能以偏概全，不能輕易下結(jié)論，解決問題的方式既要創(chuàng)新，又要邏輯縝密。

國內(nèi)外很多知名的數(shù)學(xué)家同時也是哲學(xué)家，同學(xué)可以多讀讀數(shù)學(xué)家的傳記，例如，大家課前預(yù)習(xí)視頻中的牛頓、萊布尼茲、亞里士多德、笛卡爾等，我所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，比如定積分都不是憑空產(chǎn)生的，都是來自于實際生產(chǎn)生活中的問題。所以同學(xué)在生活中要做個有心人，用心去體會生活、感受生活，要善于發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)生活中的問題、再提煉問題、解決問題。

5?課堂練習(xí)、思考、討論

6?結(jié)論

（1）微元法用于求區(qū)間a，b上不均勻可加量，主要步驟為：①局部求“微元”;②整體求“積分”。

（2）適當(dāng)選擇積分變量利用微元法解決平面圖形的面積問題。

最后，在線上、線下作業(yè)布置。

參考文獻(xiàn)

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