通過題型管理提升教學實效

江蘇省南京市成賢街小學 王 恒

高年級的數學試題，通常具備這些特點：知識范圍廣、思維難度深、解題方法活、規范格式嚴、題型變化多。在這樣的環境下，一味地多訓練，采取題海戰術顯然不合理。筆者意識到，作為教師，要深入研究各類數學試題，帶領學生一起“管理”不同題型，歸納和總結的過程中，不僅能夠提高效率，科學地保障學習實效，而且能夠提高數學能力，發展數學素養，一舉多得。

一、題型管理的意識萌發

初步復習長方體和正方體的表面積時，有這樣一道題讓學生煩惱：

從一個棱長5厘米的正方體木塊上，挖去一個棱長2厘米的小正方體，剩下部分的表面積是多少平方厘米？

想要以合理的思路方法解決此題，難度是較高的。課堂上一部分學生的神情，說明他們沒有見識過這樣的問題，題型視野不夠寬闊。

小高率先發言：“這很明顯表面積不變啊，挖掉3個面又多出來3個面，只要計算原來的表面積。”

小姜：“那你不能只計算原來的表面積，還要將挖去的3個面減掉，再加上凹下去那里多出來的3個面，體現出這個挖的過程。”

幾個看破端倪的學生點點頭看向筆者等待老師的點評，其他學生也發出了醒悟的驚嘆，他們已經知道為什么表面積不變了。然而，仍有一些平時極為活躍的學生覺得不對勁，反常地沉寂在那里。

……

正當筆者假意繼續進行下一環節的時候，小肖突然冒出一句，“也有可能表面積會變。”此時教室的其他幾個方向也發出了共鳴“對！”“而且是變大。”“而且不止一種情況。”……

小姚向大家解釋：“剛才不變的情況是最簡單的情況，即假設挖的這個小正方體剛好在大正方體的角上。但是也有可能在棱中或者在面中。如果在棱中，那么只能挖去2個面，卻多出了4個面。如果在面中，那么只能挖去1個面，卻多出了5個面。表面積都是變大的。”

余下的時間，學生自主畫圖、解題。

對于初步接觸長方體和正方體表面積計算的學生而言，這道題不易解決，大致有以下兩個原因。

其一，思維難度大幅提高。長方體和正方體單元是小學階段學生第一次系統地學習空間體，概念、計算等內容是全新的。相對于平面幾何，空間幾何的知識和思維難度有質的飛躍。空間想象和空間意識較為薄弱的學生容易一頭霧水。這道題恰好出現在學完表面積和表面積計算的拓展練習課上，不易應對。

其二，題型視野不夠寬闊。如果說知識難度是客觀因素，那么題型視野是可以靠自身努力去拓寬的。其實班級里有兩位幾乎不發言的優秀學生，從他們一慣的表情就看出早就掌握了此題，只是配合老師“演戲”罷了。除了自身聰明以外，更重要的是他們倆在課外訓練中，通過經驗培養出了足夠寬闊的數學題型視野。近幾年，關于數學新題型的研究層出不窮，學生將面臨各類拓展問題發出的挑戰，有些數學題在數理上并不是多難，只是學生沒有見識過。所以，每個學生都需要有一定的題型視野，特別是在這種容易出難題、易錯題、經典題的單元。

二、題型管理的背景意義

一個月后的期中復習，又一道題讓人覺得似曾相識：

從一個棱長5厘米的正方體木塊上，挖去一個長5厘米，寬2厘米，高1厘米的小長方體，剩下部分的表面積是多少平方厘米？

批閱結果讓筆者喜憂參半，喜在，看出來上一次講解類似題目時，學生都理解了。憂在，沒幾個學生完全解對。既然理解了，又為何不是全對呢？課上，筆者將上次的那道題搬過來對比給學生看：

①從一個棱長5厘米的正方體木塊上，挖去一個棱長2厘米的小正方體，剩下部分的表面積是多少平方厘米？

②從一個棱長5厘米的正方體木塊上，挖去一個長5厘米，寬2厘米，高1厘米的小長方體，剩下部分的表面積是多少平方厘米？

原來，一個月前是挖正方體，一個月后是挖長方體。

小姜提醒：“正方體由于6個面完全相同，只有1種面。而此題中的長方體，只有相對的面相同，所以有3種面，就要考慮清楚挖去了哪種面，多了哪種面。”

受前一次的思維定式影響，部分學生習慣地認為解題思路是“在角上、在棱中、在面中”，所以寫出了三種情況。然而這道題的情況更為復雜，由于是挖去小長方體，且它的長和大正方體棱長相等，所以除了“1×5”這個面可以在棱中，“2×5”這個面也可以在棱中。“在面中”的情況，3種面都有可能，但是“2×5”這個面過大，所以只有“1×5”（斜著）和“1×2”兩種面可以在面中去挖。

這件事之后，筆者的憂患意識有所提升。

第一，題型視野的弊端。數學題的拓展和變化，讓人防不勝防。特別是可以在這樣的難題上，繼續變化、創新出更難的“兄弟題”。雖然早在一個月前，筆者認為每個孩子都需要有“題型視野”，但這道題似乎在洋洋得意地宣告，視野拓寬的速度永遠比不上它變異的速度。所以，適度訓練是必需的，但是大量題海式訓練，往往有可能事倍功半。

第二，思維定式的影響。題型在不斷變化和創新，學生舉一反三、觸類旁通能力告急的問題不容忽視。不可否認的是相當一部分學生在學習數學時，仍然存在明顯的解題定式、思維定式，也就是所謂的依葫蘆畫瓢。做基礎題尚可，想拿高分卻很難。特別是如何讓一些思維滯后的學生，也能夠慢慢發掘這樣的能力，成了筆者必須要去想辦法解決的問題。

第三，數學題組的必要。這兩道題的背景相同、數字簡單，為何難度大相徑庭？其本質在于數學知識的關鍵處有區別，即長方體和正方體本身特征不同。所以在這種知識的關鍵處，很容易拓展出針對性題組。比如這兩道題就是一組“針對性數學題組”，一個針對長方體特征，一個針對正方體特征。那么在復習過程中，教師要善于設計“題組”，使學生在對比思辨中，提升思維能力，盡可能地打破思維定式。

三、題型管理的方法初探

時間來到期末復習階段，這一次，伴隨著前面產生的憂患意識，筆者主動出擊，將這組題拋給學生思考：

①從一個棱長5厘米的正方體木塊上，挖去一個棱長2厘米的小正方體，剩下部分的表面積是多少平方厘米？

②從一個棱長5厘米的正方體木塊上，挖去一個長5厘米，寬2厘米，高1厘米的小長方體，剩下部分的表面積是多少平方厘米？

③從一個棱長5厘米的正方體木塊上，挖去一個長4厘米，寬2厘米，高1厘米的小長方體，剩下部分的表面積和體積是多少？

筆者隨即巡視每個學生的思考過程和結果。經過檢查，個別數學能力薄弱的學生，能將第①小題完整解決，②③兩小題寫出不止一種想法。大部分學生幾乎能夠完整解決三道題。

第③小題，筆者將小長方體的長減少了1厘米，如果在面中挖“1×2”，那么深度只有4厘米，不會被挖通透，而第②小題此情況會挖通透。此外，還要求孩子求出體積，雖然不難，但相信放在這樣的題組里，會提升孩子的辨析能力。

隨后筆者請了兩位能力很強的學生給全班講解這幾題的思路，并且總結做題技巧。大致思路就是先看位置“角、棱、面”，再看圖形特征區別，分析具體情況。

忽然第一排蹦出一句“這組題不就是在挖嗎？我們也學過拼和切啊。反正都是動作……”還是小姜，她總是在不合適的時間，說出合適的話，給人深度思考的空間。

沒錯啊！那么多參考書、教輔書，都是例1、例2這樣按部就班的編制，既然是空間體，為什么不能用這樣形象化的語言去設計題目呢？拼和切的問題也碰見過很多次，每次結果都不盡如人意。如果每一類題型，都能像挖的問題一樣整合、分析、總結，學生解題的正確率會提高不少，思考能力也會大幅提升。

經過一個中午的深思熟慮以后，筆者布置了這樣一個作業：每個學生回家搜集你本學期第一單元所有的課內練習，像“挖”一樣找出同樣類型的題目，整合在一起，并說明這類題目的特征，至少整合出兩類。

第二天的兩節課，用來分享大家的整理結果，結果讓人眼前一亮。后續筆者將自己和全班同學的成果進行整理，發現所接觸過的關于長方體和正方體這個單元的題目共計十六種題型：展開圖問題、棱長和問題、側面積問題、缺口問題、不規則組合問題、鍛造熔鑄問題、拼切挖等。此外還根據學生能力差異進行了微調，加入提示，由易到難，層層推進。

經歷了大半個學期的波折，筆者更堅定了要幫助學生學會利用題型管理的方式輔助復習的決心，筆者將從以下幾個方面做起。

1.作為教師要不斷學習，率先行動。當下數學題型的拓展、創新速度極快，教師需要不斷學習，與時俱進。既要給學生提供充足的學習資源、搭建合適的學習平臺，豐富學生的題型視野，也要在題型管理的工作上率先行動和嘗試，搭建自我的題型管理平臺，形成資源庫，為后續工作做鋪墊。

2.善于利用數學題組，巧妙設計。教材上有許多基本的數學題組，不能蜻蜓點水式孤立它，忽略它的價值。而要學會利用不同的題組，比如，在知識關鍵處設計比較型題組，加強對本質的理解；以舊知為基礎學習新知時，利用聯結型題組，培養學生從高位串起數學知識的意識；整理出類型相同但難度差異較大的遞進型題組，有助于培養學生觸類旁通、舉一反三的能力，打破思維定式，培養做題技巧。

3.注重落實題型總結，畫龍點睛。待題型整理完畢、學生認真思考過后，如果沒有落實良好的題型總結，會有缺少臨門一腳的感覺。應當讓學生學會用自己的語言描述題型特點、描述解決此類問題的大致思路、描述解題技巧等。只有這樣，才能充分發揮題型管理的價值，提升數學學習的高度。比如，小姚同學在總結“拼切”問題時這樣寫道：“每拼一次，少2個面，少8條棱。每切一次，多2個面，多8條棱。”小張同學面對組合立體圖形時這樣描述：“看起來不規則，實際上三視圖能說明一切。”這樣的點睛之筆，總比雜亂無章做試卷，顯得少而精。

題型管理是一個復雜、困難而漫長的過程。但是效果遠比漫無目的地做題復習要卓越。筆者將繼續研究、嘗試，用科學合理的方式提高學生的思考能力和復習效率，同時也促使自身快速成長。