小學(xué)生代數(shù)思維的特征、表現(xiàn)及培養(yǎng)

劉加霞

北京教育學(xué)院初等教育學(xué)院院長(zhǎng)，教育心理學(xué)博士，教授，教育部國(guó)培專家?guī)斐蓡T;提出“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)是一切教學(xué)法的根”“實(shí)證研究學(xué)生是有效教學(xué)的根本”“培訓(xùn)實(shí)質(zhì)是改變與創(chuàng)新”等觀點(diǎn)，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《課程·教材·教法》《中國(guó)教育學(xué)刊》《中小學(xué)管理》《人民教育》《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》《小學(xué)教學(xué)》等期刊發(fā)表論文百余篇，著作有《小學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)》《小學(xué)數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)》《小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)》等。

小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)決定其數(shù)學(xué)思維主要是算術(shù)思維，但教師在算術(shù)教學(xué)中應(yīng)該并能夠滲透代數(shù)思維已成共識(shí)。具體來說，就是讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)與關(guān)系、洞察并把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，而不僅僅指向算出結(jié)果。為實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)，首先需要教師認(rèn)識(shí)到算術(shù)內(nèi)容蘊(yùn)含著代數(shù)思想，且代數(shù)知識(shí)的淺層學(xué)習(xí)未必能培養(yǎng)代數(shù)思維;然后需要教師理解并掌握算術(shù)思維與代數(shù)思維的本質(zhì)特征與行為表現(xiàn)，并在日常教學(xué)中有意識(shí)地滲透代數(shù)思維，幫助學(xué)生克服算術(shù)思維定式。

一、算術(shù)與代數(shù)思維的本質(zhì)區(qū)別

綜述相關(guān)文獻(xiàn)可知，算術(shù)思維主要由程序性思維（procedural thinking）來刻畫，體現(xiàn)于按照某種程序或步驟獲得正確答案的過程。代數(shù)思維則由關(guān)系或結(jié)構(gòu)（relation or structure）來描述，目的是明確內(nèi)容結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)一般化的關(guān)系。代數(shù)思維主要體現(xiàn)在抽象與概括、歸納與推理、模式化與結(jié)構(gòu)化等活動(dòng)中，某種程度上不依賴直觀操作。

算術(shù)思維的對(duì)象主要是具體的數(shù)及其運(yùn)算與靜態(tài)分合;代數(shù)思維的對(duì)象則主要是代數(shù)式及其運(yùn)算與動(dòng)態(tài)變換。值得注意的是，常見的字母符號(hào)表達(dá)不是代數(shù)思維的唯一載體形式，圖表和專門化的語言結(jié)構(gòu)也能表達(dá)，如下題。

一根水管不斷地向水箱里注水。下圖表示的是水箱內(nèi)水的體積和注水時(shí)間的關(guān)系。

1.從圖中可知注水時(shí)間和水的體積成（ ）關(guān)系。

2.照這樣計(jì)算，50分鐘可注水（ ）升。

這個(gè)問題需要整體把握?qǐng)D象所表示的數(shù)量關(guān)系，利用比例解決。比例思維是典型的代數(shù)思維。

小學(xué)階段所學(xué)的方程、正反比例等內(nèi)容具有代數(shù)性質(zhì)，是培養(yǎng)代數(shù)思維的重要載體。但這些內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)中的比重較少且目標(biāo)要求較低，筆者對(duì)此不做重點(diǎn)分析。本文重點(diǎn)研究如何在算術(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維。

基蘭（Kieran）提出，從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡需要滿足以下條件：①聚焦關(guān)系，而不僅僅是數(shù)值運(yùn)算;②聚焦運(yùn)算和逆運(yùn)算，及“設(shè)而不求”的思想;③聚焦對(duì)問題的表征及解決過程，而不只是答案;④聚焦字母符號(hào)，而不只是數(shù)字;⑤重新認(rèn)識(shí)等號(hào)的意義。根據(jù)基蘭的觀點(diǎn)，結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者系統(tǒng)地梳理出算術(shù)教學(xué)中學(xué)生的代數(shù)思維表現(xiàn)，并提出培養(yǎng)小學(xué)生代數(shù)思維的三條路徑。

二、理解“=”的雙重功能是形成代數(shù)思維之始

代數(shù)知識(shí)蘊(yùn)含著代數(shù)思維，但學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)并不等于培養(yǎng)代數(shù)思維。例如，計(jì)算[5x+3x]等于[8x]時(shí)主要是算術(shù)計(jì)算，還不是嚴(yán)格意義上的代數(shù)思維，因?yàn)閷W(xué)生計(jì)算時(shí)對(duì)“[x]”幾乎“視而不見”。如何在這樣的算術(shù)計(jì)算中發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維呢？第一步就是對(duì)“=”的雙重認(rèn)識(shí)：不僅表示“程序性計(jì)算的結(jié)果”，更表示“結(jié)構(gòu)性的等量（價(jià)）關(guān)系”。

如果學(xué)生認(rèn)為“=”表示的是要求計(jì)算左邊算式的結(jié)果，其思維處于算術(shù)思維水平，具有程序性、操作性與過程性特征。處于算術(shù)思維水平的學(xué)生認(rèn)為：計(jì)算結(jié)果總在“=”右邊，是一個(gè)具體數(shù)值，如果是“算式”，則多數(shù)學(xué)生不會(huì)認(rèn)可。他們見到算式“7+3”，往往條件反射般地寫上“=10”，等號(hào)被理解成執(zhí)行加法運(yùn)算的標(biāo)志，成為算式與具體數(shù)的“分隔符”。幾乎不會(huì)有學(xué)生寫“=8+2”“=9+1”等。算術(shù)教學(xué)應(yīng)該打破這種思維定式，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“=”所表示的不只是一個(gè)動(dòng)態(tài)的計(jì)算過程，還表示左邊算式與右邊算式的“等量關(guān)系”，能認(rèn)可等號(hào)右邊的項(xiàng)不是具體數(shù)而是算式（含字母的代數(shù)式）。

代數(shù)思維具有關(guān)系性、對(duì)象性與概括性特征。無論“=”左右兩邊所出現(xiàn)的表達(dá)式如何復(fù)雜，具有代數(shù)思維的學(xué)生都能將等式看成一個(gè)整體（對(duì)象），甚至能對(duì)其進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，如恒等變形等。

對(duì)“=”的理解達(dá)不到代數(shù)思維水平，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)這樣一些錯(cuò)誤。例如，將“3+4=（? ）+6”錯(cuò)填為“3+4=（7）+6=13”;將“8=（? ）÷（? ）”錯(cuò)填為“8=（2）÷（16）”（誤認(rèn)為“=”要求執(zhí)行“從右向左”的除法計(jì)算）;脫式計(jì)算時(shí)出現(xiàn)結(jié)果正確但“表達(dá)過程”錯(cuò)誤的現(xiàn)象;解決“蘋果有5個(gè)，橘子是蘋果的2倍還多4個(gè)，橘子有多少個(gè)”的問題時(shí)，錯(cuò)誤地表達(dá)為“5×2=10+4=14”;錯(cuò)誤地用“[4x=14+2=16=4]”的形式解方程等。這些現(xiàn)象從數(shù)學(xué)角度看是錯(cuò)誤的，但從學(xué)生認(rèn)知角度看卻是“正確的”。教師要理解學(xué)生出錯(cuò)的合理性，有針對(duì)性地對(duì)比分析，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“=”表示等量關(guān)系的理解。

學(xué)生處于算術(shù)思維水平時(shí)，判斷“=”成立要進(jìn)行計(jì)算;具有代數(shù)思維時(shí)，則能夠利用運(yùn)算的性質(zhì)、定律等解釋等式成立的理由。如解釋78-49+49=78的理由，學(xué)生能從算式結(jié)構(gòu)思考，運(yùn)用“準(zhǔn)變量”來陳述。

三、用好“準(zhǔn)變量”，培養(yǎng)學(xué)生概括歸納與代數(shù)推理能力

有研究認(rèn)為，在算術(shù)教學(xué)中有效運(yùn)用“準(zhǔn)變量”這一概念能促進(jìn)學(xué)生從代數(shù)視角看問題，把握問題結(jié)構(gòu)及其蘊(yùn)含的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的概括歸納與代數(shù)推理能力。

“準(zhǔn)變量”是“一個(gè)或一組數(shù)字語句”，蘊(yùn)含著一個(gè)潛在的數(shù)學(xué)關(guān)系。在這種關(guān)系中，不管它所包含的數(shù)字是什么，語句都是真的。例如，陳述78-49+49=78[是真語句]的理由。當(dāng)學(xué)生不需要計(jì)算，直接通過觀察算式的整體特點(diǎn)做出正確判斷，得出“減去一個(gè)數(shù)，再加上這個(gè)數(shù)，不改變計(jì)算結(jié)果”時(shí)，就是在運(yùn)用準(zhǔn)變量進(jìn)行代數(shù)推理。準(zhǔn)變量可以是語句，也可以是代數(shù)表達(dá)式。例如前述語句在高水平代數(shù)思維下的表達(dá)為[a-b+b=a]。小學(xué)低年級(jí)不要求達(dá)到該水平，但要求用準(zhǔn)變量進(jìn)行計(jì)算或做算理解釋。

準(zhǔn)變量思維的對(duì)象可以是非字母符號(hào)的語句或關(guān)系式，它超越算術(shù)計(jì)算，利用算術(shù)中隱含的數(shù)量關(guān)系與運(yùn)算性質(zhì)識(shí)別并提取關(guān)鍵數(shù)字和關(guān)系性元素，對(duì)潛在的結(jié)構(gòu)進(jìn)行表達(dá)和轉(zhuǎn)換。運(yùn)用準(zhǔn)變量算得結(jié)果或推理時(shí)的數(shù)學(xué)思維已經(jīng)遠(yuǎn)離算術(shù)計(jì)算，其目的不是通過計(jì)算算出答案，而是將“等式”作為思考的對(duì)象。因此，有研究者稱之為“無過程的對(duì)象化”。

例如，一年級(jí)學(xué)生計(jì)算9+6=？一般有數(shù)數(shù)法、拆分湊十法等。如果這些方法只是算出結(jié)果，有明確、具體的計(jì)算步驟和程序，那么這一過程主要是算術(shù)思維。如果教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考“6有多種拆分，為什么只選擇1和5”，整體觀察多種拆分得出的算式特征，進(jìn)而得出“第一個(gè)加數(shù)與‘幾能湊出‘十，就把第二個(gè)加數(shù)拆出‘幾”的規(guī)律，那就是在培養(yǎng)代數(shù)思維。教學(xué)中，有的學(xué)生用“平衡抵消湊十法”思考，即9+6=9+1+6-1=15，如其理由為“加上一個(gè)數(shù)再減去這個(gè)數(shù)，大小不改變”等，就是基于準(zhǔn)變量的思考，有利于培養(yǎng)代數(shù)思維。如果學(xué)生口算71-24的過程是70-20-（4-1）=50-3=47，就發(fā)現(xiàn)了算式蘊(yùn)含的結(jié)構(gòu)和規(guī)律。基于此，口算的重要性顯著地高于筆算。

澳大利亞學(xué)者提出的“有壞鍵的計(jì)算器”問題也非常有價(jià)值：一個(gè)計(jì)算器上的“5”鍵壞了，不用“5”鍵，如何用這個(gè)計(jì)算器計(jì)算525-257？有的學(xué)生用424+101-247-10=268，有的學(xué)生用636-368=268等。此外，探索并運(yùn)用商不變性質(zhì)、分?jǐn)?shù)或比的性質(zhì)以及其他規(guī)律解決問題時(shí)，以準(zhǔn)變量作為橋梁，能促使學(xué)生從算術(shù)思維轉(zhuǎn)向代數(shù)思維。

前述例子的共同特點(diǎn)是學(xué)生都將“算式”作為思維對(duì)象而不是數(shù)字運(yùn)算。對(duì)算術(shù)問題進(jìn)行“代數(shù)思考”，其所蘊(yùn)含的等價(jià)、抵消與恒等變形等思想是重要的代數(shù)思想，為正式學(xué)習(xí)代數(shù)內(nèi)容、形成代數(shù)思維搭建了腳手架。教師應(yīng)該有意識(shí)地讓學(xué)生直覺地、隱性地利用運(yùn)算的性質(zhì)與定律，即用好準(zhǔn)變量求得算式結(jié)果或進(jìn)行代數(shù)推理，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注算式或等式的結(jié)構(gòu)與規(guī)律，為學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)材料和解釋、交流的機(jī)會(huì)。

四、列而不算，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題的結(jié)構(gòu)與規(guī)律

不承認(rèn)算式（代數(shù)式）表示結(jié)果，可以說是培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維的最大阻礙。例如，蘋果每千克8元，買a千克需要多少元？學(xué)生順利列出8[×]a，但有很大一部分學(xué)生會(huì)無意識(shí)地繼續(xù)寫上“=”并試圖算出結(jié)果，即使寫出“8a”仍疑惑地問教師“到底花了多少元”，即使教師告之“就是8a元”，仍有很多學(xué)生表現(xiàn)出疑惑的表情。

其實(shí)不止小學(xué)生這樣，很多成年人也不接受含有字母的算式能表示結(jié)果。教師應(yīng)該讓學(xué)生感受“8a”既體現(xiàn)出“單價(jià)[×]數(shù)量=總價(jià)”的數(shù)量關(guān)系，更是所花錢數(shù)的一般化表達(dá)。

要想突破該思維難點(diǎn)，教師在算術(shù)教學(xué)中就要重視列而不算、不急于算出具體答案、研究算式特點(diǎn)與規(guī)律等代數(shù)活動(dòng)。例如，用“列而不算”法解決“握手問題”無須歸納得到公式[n（n-1）2]，更能培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維。先從簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)開始，學(xué)生通過模擬握手、畫圖等方式得到算式。如，5個(gè)人握手次數(shù)是4+3+2+1，只列算式不計(jì)算結(jié)果，再來一人，因?yàn)槠渌酥g已經(jīng)握過手，只需要在5人握手次數(shù)基礎(chǔ)上再加5，即列式為5+4+3+2+1，依此類推，就可以得到握手次數(shù)的算式。也可以反過來提出問題：如果握手次數(shù)是10+9+8+7+6+5+4+3+2+1時(shí)，一共有多少人握手呢？通過算式結(jié)構(gòu)而不是具體次數(shù)的更容易發(fā)現(xiàn)握手過程的“規(guī)律”，凸顯列而不算的代數(shù)價(jià)值。

需要注意的是，思維對(duì)象中是否有字母符號(hào)并不是代數(shù)思維的本質(zhì)特征。柯利斯（Colis）將字母在數(shù)學(xué)中的用法分為6類：①給字母賦值。如：若a+4=6，則[a=]（?? ）。②忽略字母。字母被忽略或被視為無意義，如：當(dāng)[a+b=6]時(shí)，求[a+b+2]的值。③把字母當(dāng)成物體。如：5a+3a=（?? ）a。④特定未知數(shù)。如：小明[a]歲，媽媽比小明大30歲，則媽媽[（a+30）]歲。⑤廣義的數(shù)。字母是一種表示法，不只是代表一個(gè)數(shù)，如：若[a+b=6]，且[a

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