構建模型法巧解高考計算題

郭婉婷

摘要：千變萬化的物理習題都是根據一定的物理模型，結合某些物理關系，給出一定的條件，提出需要求的物理量的。而我們解題的過程，就是將題目隱含的物理模型還原、求結果的過程。構建物理模型法在解題中具有決定性的作用，從而達到快速解題的目的。

關鍵詞：解題方法;構建物理模型法;磁聚焦和磁發散

在高考場上，做選擇題只能平均每個題用時90秒，做計算題也要每個題用時盡量不要超過8分鐘，要想能盡最大限度的節省時間解出一個題目，那么我們碰到一個題目，要能盡快建起物理模型，找到規律，就能達到又快又準地解出答案，得到高分的目的，才能在考試中取得勝利。下面我以2021年湖南卷第13題為例，很多學生得到的分數與所花的時間不成正比。因此，對于如何建構物理模型，從而快速巧解此題，得到高分。我撰寫此文以饗讀者。

例題：（2021年湖南省高考卷第13題）帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關鍵技術之一、帶電粒子流（每個粒子的質量為m、電荷量為+q）以初速度v垂直進入磁場，不計重力及帶電粒子之間的相互作用。對處在xoy平面內的粒子，求解以下問題。

（1）如圖（a），寬度為 2r1 的帶電粒子流沿 x 軸正方向射入圓心為A（0，r1）、半徑為r1的圓形勻強磁場中，若帶電粒子流經過磁場后都匯聚到坐標原點O，求該磁場磁感應強度B1的大小;

（2）如圖（a），虛線框為邊長等于2r2的正方形，其幾何中心位于C（0，-r2）。在虛線框內設計一個區域面積最小的勻強磁場，使匯聚到O點的帶電粒子流經過該區域后寬度變為2r2，并沿x軸正方向射出。求該磁場磁感應強度B2的大小和方向，以及該磁場區域的面積（無需寫出面積最小的證明過程）;

（3）如圖（b），虛線框Ⅰ和Ⅱ均為邊長等于r3的正方形，虛線框Ⅲ和Ⅳ均為邊長等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分別設計一個區域面積最小的勻強磁場，使寬度為2r3的帶電粒子流沿x軸正方向射入Ⅰ和Ⅱ后匯聚到坐標原點O，再經過Ⅲ和Ⅳ后寬度變為2r4，并沿x軸正方向射出，從而實現帶電粒子流的同軸控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁場磁感應強度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中勻強磁場區域的面積（無需寫出面積最小的證明過程）。

此題模型構建：是指速率相同的同種帶電粒子，在經過圓形勻強磁場運動的過程中，當粒子運動軌跡半徑與磁場區域半徑相等時所引起的一類會聚與發散現象。

1、磁發散：圓形勻強磁場區域，帶電粒子從圓周上一點沿垂直于磁場方向進入磁場，當帶電粒子做圓周運動的軌道半徑與圓形磁場區域半徑相同時，所有帶電粒子都以平行于入射點磁場區域圓的切線的方向成平行線射出磁場。

2、磁聚焦：若帶電粒子以平行的速度射入磁場，這些帶電粒子在磁場中做圓周運動將會聚通過平行速度方向的圓形區域切線與圓的切點。

【考點】帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動，牛頓第二定律

【解析】【分析】（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，利用圓形磁場的半徑可以求出粒子軌道半徑的大小，結合牛頓第二定律可以求出磁感應強度的大小;

（2）畫出粒子經過O點后從下方圓形區域的最大軌跡，利用軌道半徑的大小結合牛頓第二定律可以求出磁感應強度B2的大小和方向;利用左手定則可以判別磁場的方向，利用運動軌跡結合幾何關系可以求出磁場面積的大小;

（3）畫出粒子在磁場中的運動軌跡，結合軌跡半徑及牛頓第二定律可以求出磁感應強度的大小;利用陰影面積為四分之一圓面積和三角形面積之差，利用幾何關系可以求出勻強磁場面積的大小。

【答案】 （1）解：粒子垂直 y軸 進入圓形磁場，在坐標原點O匯聚，滿足磁聚焦的條件，即粒子在磁場中運動的半徑等于圓形磁場的半徑r1，粒子在磁場中運動，由牛頓第二定律，洛倫茲力提供向心力，解得

（2）解：粒子從O點進入下方虛線區域，若要從聚焦的O點飛入然后平行x軸飛出，為磁發散的過程，即粒子在下方圓形磁場運動的軌跡半徑等于磁場半徑，粒子軌跡最大的邊界如圖所示，圖中圓形磁場即為最小的勻強磁場區域

磁場半徑為r2，根據可知磁感應強度為

根據左手定則可知磁場的方向為垂直紙面向里，圓形磁場的面積為

（3）解：粒子在磁場中運動，3和4為粒子運動的軌跡圓，1和2為粒子運動的磁場的圓周

根據可知I和III中的磁感應強度為

圖中箭頭部分的實線為粒子運動的軌跡，可知磁場的最小面積為葉子形狀，取I區域如圖

圖中陰影部分面積的一半為四分之一圓周與三角形SAOB之差，所以陰影部分的面積為

類似地可知IV區域的陰影部分面積為

根據對稱性可知II中的勻強磁場面積為

通過這道高考計算題的解答過程的探討，我們大家發現碰到一個有難度的題，如果運用常規解法，那正中命題者的初衷，他就是想要通過此題來消耗考生的時間，從而影響其它題的做答，以致達到拉開考生差距，起到選拔性考試的目的，我們為了在高考場上能取得壓倒性的絕對勝利，那么我們平時學習過程中一定要達到兩個“力求做到”，第一個力求做到知識體系化，題目模型化，解題技巧化;第二個力求做到見題有思路，解題有模板，速算有大招。為了要達到這種境界，那并非一日之功，必須要善于向人家學習，廣泛涉獵各種資料，搜集各種解題規律，加強訓練，把別人的東西變成自己的東西。靈活地把物理原理和數學知識進行融合，只有這樣，那我們學習物理就會變得越來越輕松，解題就像吃大餐一樣是一種享受，不再是一種痛苦。最后祝愿大家平時學習勤加思考，總結解題訣巧，構建解題的物理模型，高考場上取得優異成績。