“聚”還是“散”，都由半徑說了算

冉潔　陳克超

對于帶電粒子在磁場中運動的問題，粒子的初始位置與速度是分析的源頭，初始條件決定了粒子運動的軌道半徑，從而確定粒子運動軌跡。以定圓為基礎的動態圓，是粒子在磁場中運動的重要模型。如果大量粒子在磁場中運動，軌道半徑又是如何決定粒子在磁場中的聚散情形呢？下面，筆者以粒子在圓形磁場中運動的匯聚與發散為例來展開討論。

一、模型剖析

1.模型情景

如圖1甲所示，帶電粒子從圓周上一點P以任意角θ，沿垂直于磁場方向射入勻強磁場中，所有帶電粒子都以平行于入射點磁場區域圓的切線的方向成平行線射出磁場，這就是磁發散;若帶電粒子以平行的速度射入磁場，所有粒子都從磁場邊界上的同一點射出，并且出射點的切線與入射速度方向平行，如圖1乙所示，這就是磁聚焦。

2.模型條件

設磁場圓、軌跡圓兩個圓相交，帶電粒子在P點取任意一個方向射入磁場區域，出射速度方向平行于x軸，如圖2甲所示，由于QO1=PO1，PO2=O2Q，PO1=QO2，四邊形PO2QO1為一個菱形，即可證明軌跡圓的半徑r等于磁場圓的半徑R。據此我們可得，若磁場區域為圓形勻強磁場（或其中一部分），r=R，則符合磁發散與匯聚模型的條件;反之，若出現磁發散與匯聚，則必有r=R，如圖2甲、乙所示。

3.模型特點

粒子以速率v與x軸夾角為θ的方向射入圓形磁場發生偏轉，從磁場邊界射出，偏轉角設為β。根據幾何關系得出：粒子在磁場中偏轉的角度β與夾角θ相等。由圖2甲、乙可以看出，磁發散與匯聚具有可逆性，并均具有幾何對稱性特征。

二、真題在線

【例1】（2021湖南卷）帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關鍵技術之一。帶電粒子流（每個粒子的質量為m、電荷量為+q）以初速度v垂直進入磁場，不計重力及帶電粒子之間的相互作用。對處在xOy平面內的粒子，求解以下問題。

（1）如圖3甲，寬度為2r1的帶電粒子流沿x軸正方向射入圓心為A（0，r1）、半徑為r1的圓形勻強磁場中，若帶電粒子流經過磁場后都匯聚到坐標原點O，求該磁場磁感應強度B1的大小。

（2）如圖3甲，虛線框為邊長等于2r2的正方形，其幾何中心位于C（0，-r2）。在虛線框內設計一個區域面積最小的勻強磁場，使匯聚到O點的帶電粒子流經過該區域后寬度變為2r2，并沿x軸正方向射出。求該磁場磁感應強度B2的大小和方向，以及該磁場區域的面積（無須寫出面積最小的證明過程）。

（3）如圖3乙，虛線框Ⅰ和Ⅱ均為邊長等于r3的正方形，虛線框Ⅲ和Ⅳ均為邊長等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分別設計一個區域面積最小的勻強磁場，使寬度為2r3的帶電粒子流沿x軸正方向射入Ⅰ和Ⅱ后匯聚到坐標原點O，再經過Ⅲ和Ⅳ后寬度變為2r4，并沿x軸正方向射出，從而實現帶電粒子流的同軸控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁場磁感應強度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中勻強磁場區域的面積（無須寫出面積最小的證明過程）。

【解析】（1）帶電粒子在圓形磁場中運動，進入磁場時速度與x軸方向平行，并且粒子在磁場中運動的軌道半徑等于磁場圓的半徑r1，所有粒子將匯聚于一點。根據模型條件與結論，由幾何關系有r=r1，洛倫茲力提供向心力qvB1=，解得BⅠ=。

（2）磁聚焦模型與磁發散模型隱含的重要特征，是粒子運動的軌跡圓的半徑等于圓形磁場的半徑。題中圓形磁場即為最小的勻強磁場區域，如圖4所示。

磁場半徑為r2，根據qvB=m可知磁感應強度為B2=，根據左手定則可知磁場的方向為垂直紙面向里，圓形磁場的面積為S2=πr22。

（3）“圓形磁場具有對稱性”是分析問題的關鍵節點，將磁場圓和軌跡圓關聯在一起，利用比對、歸納等科學思維方法，可知從I射入的帶電粒子在磁場中運動時，3和4為粒子運動的軌跡圓，1和2為粒子運動所在磁場的圓周（如圖5所示），根據qvB=m可知I和III中的磁感應強度為BⅠ=，BⅢ=。

圖5中箭頭部分的實線為粒子運動的軌跡，可知磁場的最小面積為葉子形狀，取I區域為例如圖6。通過計算可知，Ⅱ和Ⅳ中勻強磁場區域的最小面積SⅡ=-r32，SⅣ=-r42。

【例2】如圖7所示，半徑為R的圓形區域內有垂直于紙面向外的勻強磁場，大量比荷為、速度大小范圍為0～的粒子從PM和QK間平行于PM均勻射入圓形磁場區域，PM與圓心O在同一直線上，PM和QK間距離為0.5 R，已知從M點射入的速度為v0的粒子剛好從N點射出圓形磁場區域，N點在O點正下方，不計粒子重力以及粒子間的相互作用。

求：（1）圓形區域磁場的磁感應強度B及帶電粒子電性。

（2）圓形區域內有粒子經過的面積。

（3）①粒子到達N點時速度方向與ON之間夾角θ的最大值;②擋板CN、ND下方有磁感應強度為2B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場，ND=R，直線CD與圓形區域相切于N點，到達N點的粒子均能從板上小孔進入下方磁場，則ND板下表面上有粒子打到的區域長度l;③若發射的粒子束寬度改變為d，在PO與CN之間，到達N點的粒子均能從板上小孔進入下方磁場，ND板下表面有粒子打到的區域長度l′ED=R-粒子占粒子數目的百分比。

【解析】（1）速度為v0的粒子從M點射入，從N點射出，軌道半徑為r，由幾何關系可知r=R，qv0B=m，B=，由左手定則判斷可知粒子帶正電。

（2）速度為的粒子從M射入，射出點為A，如圖8所示，qv0B=m，MO1=r′=R，tanθ==，θ=30°，∠MOA=2（90°-θ）=120°。

MK間入射的速度為0～的粒子能到達的區域為圖中陰影部分，面積S=（πR2-R×R）+[π（R）2-R× R]=πR2-R2。

（3）①如圖9，由幾何關系可知，能到達N點的帶電粒子速度均為v0，半徑均為r=R，△KOB中cos β=== ，即β=60°。從K點射入帶電粒子速度偏轉角β=60°，從

M點入射帶電粒子速度偏轉角為90°，從N點出射的粒子速度與ON的夾角最大值為90°-β=30°。

②擋板下方磁感應強度為2B，粒子均以速度v0進入（如圖10），有qv02B=m，軌道半徑r″=R。ND板下表面被粒子打到的長度為l=lND-lNF=R-2R cos 30°=（1-）R。

③ND板下表面被粒子打到的長度滿足l=R-2R cos θ，而l′ED=R-R，則θ=45°。所以，由幾何關系可知射入磁場區域的寬度d=R-R（1-cos θ）=R，ND板下表面上離D點有粒子打到的區域長度l′ED=R-R粒子占粒子數目的百分比η=× 100%=× 100%=70.7%。