抽離·緊扣·深度·思辨：數學課程優化思想滲透教學實踐

黃竹青

摘 要：“打電話”是“綜合與實踐”的一個知識點，包含的信息量大、承載的數學思想多，思維含量高，在這一內容的教學中時常會出現學生參與度低、思維無法深入、探究淺嘗輒止等困境。文章以優化思想為指引，通過對教材的整理分析，主張在從情境中抽離出困惑的前提下，緊扣“打電話”中的優化內核，在對比中經歷優化過程，構建優化模型，在思辨中升華優化思想，讓學生切實感悟解決問題中所蘊含的數學思想，積累數學經驗，提高數學核心素養。

關鍵詞：數學教學;優化思想;滲透;打電話;建模;核心素養

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2021）36-0099-03

優化思想作為一種重要的數學思想，在解決實際問題、提升綜合能力方面都發揮著重要作用，是數學教學中必備的數學思想。同時，優化思想又是一個很抽象的概念。何為優化思想？為什么要優化？怎樣進行優化？優化的最終目的是什么？優化后的方案真的切實可行嗎？如果不可行，優化的意義何在？這一系列問題，成為教師授課和學生學習過程中繞不開的話題，這也導致優化時常僅僅成為一個“口號”，沒有徹底地貫徹落實下去。為此，本文結合教學實踐，對數學課程優化思想滲透教學策略進行探究。

一、 數學課程優化思想教學現狀

在不同情境中，優化的目的不同。可以是化繁為簡，優化表達方式;可以是節省資源，比如節約時間、節省經費、節省材料等;也可以是提高效率，從根本上解決問題。目的雖然重要，過程亦然。但是目前很多教學環節，是把問題解決作為唯一標準，往往為了最后的結果而忽略過程，使得優化思想滲透的進程被大大縮短，學生被推著進行歸納和總結，對優化過程的感悟不充分、不深刻、不全面。多樣化是優化的基礎，有對比才有差距，才能在呈現的多種方法中選擇最合時宜的方法。如果只有一種方法，也就不存在“優”了。教師有時為了提高課堂教學效率，會引導學生向標準化思考，削減學生生成的多樣性，這樣帶來的結果就是學生思考的范圍被狹隘化，對數學思想的感悟也被弱化。優化貫穿于整個數學學習過程，本身就存在完整的思維體系。它不是單獨割裂的一種思想，也非運用于某一個具體的知識點。在實際教學中，知識點之間缺乏關聯、整體把握不夠是一個擺在眼前的現實問題。教師可能就某一個知識點講解得很透徹，但沒有進行外延，導致優化的片段化，下次換到一個新的知識點，又要從零開始，整體和部分的關聯有待加強。學生對“優化”的理解也往往比較片面，更加注重結果的優化而非過程，對優化還停留在某一個知識點上。

二、 數學課程優化思想教學策略

基于數學課程優化思想滲透的思考和研究，筆者對“打電話”一課進行了設計，分四個步驟，具體如下。

1.抽離困惑，明確優化目的

新人教版教材中對“打電話”給出的情境是：一個合唱隊共有15人，暑假期間有一個緊急演出，老師需要盡快通知到每一個隊員。如果用打電話的方式，每分鐘通知1人，請幫助老師設計一個打電話的方案。對于這個情境，學生是比較茫然的，不知從何下手，他們的困惑集中在以下幾點。

（1）通知方式多樣化。在當下的信息社會，人們交流方式多樣，既然說要盡快通知，學生第一反應想到的肯定不是打電話這個原始方法，而會更傾向于發微信、聊QQ、釘釘等。教材中的這個設計，是否會導致在課堂中，學生花費時間去討論其他通知方法的可行性呢？或者說，如何更好地讓學生領悟“打電話”這個一對一模式的必要性呢？

（2）緊急通知不夠急。即便是選擇用打電話的方式，一個一個地打，最多也就15分鐘，最少為4分鐘，這11分鐘的差距真的值得大費周折地去制定這樣一個方案嗎？這樣的情境，在現實生活中是極少見的，是為了學習這個知識點人為設置的，學生真的認可嗎？

鑒于學生對此情境的諸多困惑，筆者重新設計新的情境：黃老師和李老師需要通知合唱隊的隊員參加緊急演出。為了確保能通知到每一個隊員，他們決定采用打電話的方法，每人負責通知15名隊員。兩位老師決定進行一個比賽，看誰能用最短的時間通知到所有隊員。你能幫助黃老師贏得這個比賽嗎？

這樣的設計直接規定了通知方式，能避免無謂的討論，同時增加了比賽環節，讓學生感受到時間的緊迫性，從而明確最終目的——省時。

2.緊扣內核，凸顯優化本質

如何在節省時間的前提下，設計出讓別人看得懂的方案，這對學生是一大挑戰。在表達形式上也應以優化為目的，因此，教師需要在語言表達和圖示表達等方面對學生進行引導。

（1）逐一打：奠定優化基調。五年級的學生，已經積累了一定的生活經驗，基本都能直接排除“一個一個地打”這種方法。這說明這種方法就沒有提及的必要了嗎？筆者認為并非如此?！爸鹨淮颉钡木窒扌栽谀睦铮繉W生都知道是太慢。為什么慢？因為此時只有教師一個人在打電話，沒有人幫他，導致很多時間的浪費。學生在感知到這一層面的時候，會不自覺地往“有人幫忙一起打會更快”這個方向去思考，也為接下來的“同時打”模式奠定了基礎。

（2）同時打：開啟優化之門。學生在經歷“逐一打”之后，最先想到的就是分組打，這也是大部分學生設計方案的主要思路。

一是平均分組，感知同時打的優化。筆者這里并沒有規定學生的表示方式，目的也是希望學生通過自己的操作，從多種表示方式中尋求最優的一種。無論是分成3組，還是分成5組，都可以大大縮減時間至7分鐘。關于這個7分鐘的來源，學生有一番探討。教學片段1。師：你們這個“3+4”是什么意思？“3”指什么？“4”又指什么？生：“3”是老師打電話通知3個組長需要3分鐘，“4”是4個組長每人通知4名隊員，又要4分鐘，而他們是同時打的，所以只要加一個4就行了。師：這個“4”，是最先接到通知的組長打完電話的時間，還是最后一個組長打完電話的時間？生：最后一個組長，因為這時最先接到通知的組長已經打完電話了。師：也就是說，最終需要多少時間，取決于最后打完電話的時間。這里強調“最后打完電話的時間”，是告訴學生一個信息：就算有人打完了，也要等其他人全部打完，所有人都接到消息才算結束。

二是差異分組，體會同時打的局限。教學片段2。師：同樣是分組打，老師這里有一個不一樣的方案，請這位同學跟大家說說想法。生：我發現同學1打完4個電話時，同學2還剩1個電話沒打，而同學3還剩2個電話，這樣同學1就空下來了，可以把同學3的1個組員分給同學1，這樣他們三個就可以一起打完電話，只需要6分鐘就可以了。師：同學們聽懂他的設計方案了嗎？他為什么要把同學3的隊員分1個給同學1？生：因為同學1空下來了，就浪費時間了。師：是啊，看來要節約時間，不光要同時打，還……生：不能空下來。

三是不空閑：反思優化過程。教學片段3。師：剛才同學們說不能空下來，回顧一下我們剛才的幾個方案，他們在哪些地方浪費時間了呢？又在哪一分鐘空閑下來了呢？師：為了不空下來，我們要怎樣做？生：每個接到電話的人都馬上幫忙通知下一個人，所有知道消息的人都要打電話。師：你能重新設計一下方案嗎？按照這樣的方法，我們一共需要幾分鐘就能通知到所有隊員？同樣是4分鐘，你更喜歡哪種表達方式，為什么？

最優方案的設計是本節課的一個難點，學生一開始很難想到“同時打、不空閑”這個優化本質，因此在對比的過程中不能一蹴而就，而應循序漸進引導學生逐步發現“有人空下來”這個問題，從而歸納出“所有知道消息的人都在打電話”這個優化核心。同時在方案的表示上也要時刻遵循優化原則，用圖形、數字等符號簡化設計方案，表現出變化規律，為模型的建立提供線索。

四是有空閑：加深優化認知。教學片段4。師：如果要通知16名隊員，至少需要幾分鐘？（5分鐘）為什么只多了一名隊員，就要多1分鐘呢？生：因為通知15名隊員至少需要4分鐘，這時候所有人都在打電話，沒有人空下來，所以通知第16名隊員時，還要再花一分鐘。師：看來這一分鐘是沒法節省了，那誰給他打呢？其他人呢？生：可以隨便指定一個知道消息的人給他打電話，其他人只能空下來了。師：既然這5分鐘肯定要花了，那最多能通知幾個人呢？生：4分鐘的時候，加上老師一共有16人知道消息，第5分鐘最多可以再通知16人，一共通知到31人。

這一環節的設計，筆者將“不空閑”和“有空閑”對立起來，構成沖突，讓學生面臨不是每次人數都正好的情境，這時即使“有空閑”，也是最優方案。同時通過“第五分鐘最多可以通知幾人”的探討，讓學生體會到通知的人數是一個區間數，不是定值，體會“打電話”的靈活性。

3.深度建模，提煉優化方法

“打電話”優化方案中蘊含著一個數學模型，可以用數學符號構建模型，表示其中的數量關系和變化規律，也就是說，我們不能為了優化而優化，而應通過模型的構建引導學生尋找解決問題的策略。

（1）數形結合，深入分析數據。在設計方案時，學生通過對比，會選擇用圖示法來呈現。在用圖形和數字表示的時候，教師要提示學生表示出數量之間的關系和變化規律，將數據整理成表格的形式，數形結合，便于更直觀地發現其中的規律。

在整理時，表1的每一個數據都應和圖示對應起來，比如第三分鐘新通知4人，在圖中指的是哪一塊？第4分鐘已經通知15人，又是指向哪里？只有弄清楚這些，深入溝通數據和圖形之間的關系，才能更好地發現其中的規律。

（2）發現規律，感受幾何倍增。通過觀察—猜想—驗證—歸納，學生很容易發現其中隱藏的規律：新通知人數和共知道總人數，每一分鐘都在乘2，是因為前一分鐘知道的人數，后一分鐘都在打電話;已經通知總人數要比共知道總人數少1，這個1指的是老師。這里面的關鍵是感受幾何倍增，而且這種倍增隨著時間的變化，對全局的影響也呈幾何增長，是一種神奇的力量。

（3）深度建模，抽象優化策略。規律的發現不是難事，如何將其抽象成數學模型才是挑戰。這里不要求學生能用“N分鐘一共可以通知2的N次方減1”這種表述方式，理解意思即可。完成建模后，教師還要為學生提供運用模型解決問題的機會，增加課堂練習，鞏固學生對模型的認知，體驗模型對于提高效率、優化策略的作用。構建數學模型，一方面可以促進學生對優化方案的理解和應用，提高學生分析問題和解決問題的能力;另一方面，從優化方案中構建模型，本身就是優化的過程，可以提煉出解決類似問題的一般方法，提高優化的運用廣度和深度。

4.思辨升華，感悟優化思想

（1）思辨方案，分析可行性。整節課的學習都圍繞“打電話”最優方案的尋求展開，但是學生也不免有疑惑，這個方案真的切實可行嗎？它的可操作性又如何？怎樣保證在通知的時候不會重復打或漏打呢？對此，教師應鼓勵學生大膽質疑，同時引導學生從不同角度對方案進行綜合評估，不能單一考慮某一方面因素，要從中選擇最合適的方法，這才是真正的優化。只有這樣，學生對優化思想才有比較具體的理解和感悟，為優化思想的運用打下扎實基礎。

（2）升華思想，感悟便捷性。在課堂總結時，教師可讓學生暢談對優化的理解，借此讓學生充分理解數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，感悟運用數學思想解決實際問題的便捷性，提高解決問題的能力。

三、結語

總之，數學課程優化思想滲透教學實踐要做到抽離困惑，明確優化目的;緊扣內核，凸顯優化本質;深度建模，提煉優化方法;思辨升華，感悟優化思想。除了優化思想，“打電話”還蘊含了很多其他知識點，比如符號意識、建模思想、轉化思想、推理能力等。同樣，優化思想又不止體現在這個課時，很多知識點都有優化的體現。因此，在數學教學過程中，教師要時刻記得溝通知識點之間的聯系，構建知識體系，讓學生學會綜合運用數學思維思考問題、解決問題，培養學生自主學習能力和自主探究能力，提升學生數學核心素養。

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Separation， Fastening， Depth and Speculation： the Infiltration of Mathematics Curriculum Optimization Thought into Teaching Practice

Huang Zhuqing

（Renhe Central Primary School， Yuhang District， Hangzhou City， Zhejiang Province， Hangzhou 310000， China）

Abstract： "Calling" is a knowledge point of "synthesis and practice"， it contains a large amount of information， carries a lot of mathematical ideas and has a high content of thinking， there are often some difficulties in the teaching of this content， such as low student participation， unable to think deeply， shallow exploration and so on. Guided by the optimization thought and through the sorting and analysis of teaching materials， this paper advocates that on the premise of extracting confusion from the situation， closely follow the optimization core in "calling"， experience the optimization process in comparison， build an optimization model， sublimate the optimization thought in speculation， let students truly understand the mathematical thought contained in solving problems and accumulate mathematical experience， improve the core competence of mathematics.

Key words： mathematics teaching; optimization thought; infiltration; calling; modeling; core competence