多角度破解圓錐曲線非對稱問題

于 洋

(江蘇省南京師范大學附屬中學 210003)

在解決高中數學圓錐曲線問題的過程中，學生經常會遇到一類問題，將問題表征為數學代數結構式之后，利用韋達定理不能直接代入，從而導致學生無法解決此問題.本文以下面問題為例，總結了五種解決圓錐曲線非對稱問題的策略.

一、問題呈現

(1)求橢圓的標準方程；

(2)設P(0,1)，A,B為橢圓的左、右頂點，過A作斜率為k1的直線交橢圓于點E，連接EP并延長交橢圓于點F，記直線BF的斜率為k2，若k1=3k2，求直線EF的方程.

二、問題聚焦

又因為y1=kx1+1，y2=kx2+1,

所以(kx1+1)(x2-2)=3(kx2+1)(x1+2).

化簡,得2kx1x2+(2k+3)x1+(6k-1)x2+8=0.

①

此時，許多同學面對①式束手無策，因為由韋達定理得到x1+x2，x1x2無法直接代入①式.如果x1前面的系數和x2前面的系數相等，則能夠順利代入韋達定理，問題迎刃而解，所以我們把這類x1前面的系數和x2前面的系數不相等的情況稱之為圓錐曲線的“非對稱問題”.

三、多角度解決問題

角度1 借助求根公式，突破運算障礙.

所以直線EF的方程為y=x+1.

角度2 發掘對象關系，降低運算難度.

角度3 結合二級結論，構造對稱結構.

即6(kx1+1)(kx2+1)=-(x1-2)(x2-2).

化簡,得(6k2+1)x1x2+(6k-2)(x1+x2)+10=0.

角度4 利用曲線方程，突破思維定式.

②

因為E(x1,y1)，F(x2,y2)在橢圓上，

③

所以直線EF的方程為y=x+1.

反思在解決直線與橢圓的位置關系中，我們往往借助直線方程進行消元，忽視了橢圓方程也可以起到消元的作用.通過化簡發現這種方法也實現了將非對稱結構轉化為對稱結構，從而能夠使用韋達定理快速求解，突破了學生固有的解題認知.

角度5 算思深度融合，做實解題過程.

在問題的解決過程中，我們要重視學生的思路，順勢而為，在學生的最近發展區幫助學生進一步思考與運算，破解圓錐曲線的非對稱問題.