突破概率統(tǒng)計(jì) 領(lǐng)略變式命題

張 慶

(江蘇省徐州市侯集高級中學(xué) 221300)

變式教學(xué)是一種常見的教學(xué)手段，能夠凸顯問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問題的本源，并對所給問題進(jìn)行深入思考和探索，在平時的復(fù)習(xí)之中，這種模式能夠舉一反三，做到會一題，通一類的目的，本文主要從概率統(tǒng)計(jì)的實(shí)際例題出發(fā)，給出了相關(guān)變式.

一、概率母題分析，緊扣例題延伸

例1 (2021年八省聯(lián)考適應(yīng)性考試)某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機(jī)會，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分：100分)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表1所示.

表1

(1)已知此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N(μ,210)，μ近似為這1000人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)，請利用正態(tài)分布的知識求P(36

(2)在(1)的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案.

(ⅰ)得分不低于μ的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于μ的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi)；

(ⅱ)每次贈送的隨機(jī)話費(fèi)和相應(yīng)的概率見表2.

表2

現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記X為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解析(1)由題意，得μ=(35×25+45×150+55×200+65×250+75×225+85×100+95×50)/1000=65.

點(diǎn)評正態(tài)分布小題的考查主要集中在正態(tài)曲線的性質(zhì)，大題主要結(jié)合概率或統(tǒng)計(jì)圖表進(jìn)行綜合命題，難度中等.解答此類題目的關(guān)鍵在于將待求的問題向(μ-σ，μ+σ)，(μ-2σ，μ+2σ)，(μ-3σ，μ+3σ)這三個區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率，在此過程中依然會用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想.

變式1 若P(Z<30a+50)=P(Z>20a+30)，求實(shí)數(shù)a的值.

解析隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(65，210)，P(Z<30a+50)=P(Z>20a+30)，所以30a+50與20a+30關(guān)于x=65對稱，所以30a+50+20a+30=130，所以a=1.

變式思路根據(jù)母題信息可知，Z服從正態(tài)分布N(65，210)，再此基礎(chǔ)上可繼續(xù)延伸，從而設(shè)計(jì)出求實(shí)數(shù)的值.

變式2 記Y表示這1000人的得分位于區(qū)間(36，79.5)的人數(shù).已知Y服從二項(xiàng)分布B(n,p)，利用(1)的結(jié)果，求E(X).

解析由(1)可知，一人的得分位于區(qū)間(36，79.5)的概率為0.8186，依題意知Y～B(1000，0.8186)，所以E(Y)=1000×0.8186=818.6.

變式思路在第(1)問的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)不同的分布類型，巧妙設(shè)計(jì)二項(xiàng)分布問題.

二、拓展例題模式，設(shè)計(jì)同類問題

例2(2021年廣東潮州一模)某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機(jī)芯片進(jìn)行測評，該公司隨機(jī)調(diào)查了100顆芯片，并將所得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分為[9,10),[10,11),[11,12),[12,13),[13,14)五個小組(所調(diào)查的芯片得分均在[9,14)內(nèi))，得到如圖1所示的頻率分布直方圖，其中a-b=0.18.

圖1

(1)求這100顆芯片測評分?jǐn)?shù)的平均數(shù)(同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替).

(2)芯片公司另選100顆芯片交付給某手機(jī)公司進(jìn)行測試，該手機(jī)公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機(jī)中進(jìn)行初測.若3個工程手機(jī)的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；若3個工程手機(jī)中只要有2個評分沒達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片不合格；若3個工程手機(jī)中僅1個評分沒有達(dá)到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機(jī)中進(jìn)行二測，二測時，2個工程手機(jī)的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；2個工程手機(jī)中只要有1個評分沒達(dá)到11萬分，手機(jī)公司將認(rèn)定該芯片不合格.已知每顆芯片在各次置于工程手機(jī)中的得分相互獨(dú)立，并且芯片公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)與手機(jī)公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)都一致(以頻率作為概率).每顆芯片置于一個工程手機(jī)中的測試費(fèi)用均為300元，每顆芯片若被認(rèn)定為合格或不合格，將不再進(jìn)行后續(xù)測試，現(xiàn)手機(jī)公司測試部門預(yù)算的測試經(jīng)費(fèi)為10萬元，試問預(yù)算經(jīng)費(fèi)是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由.

(2)由題意可知，手機(jī)公司抽取一顆芯片置于一個工程機(jī)中進(jìn)行檢測評分達(dá)到11萬分的概率p=1-0.05-0.25=0.7.設(shè)每顆芯片的測試費(fèi)用為X元，則X的可能取值為600，900，1200，1500.

點(diǎn)評概率與樣本分布作為考查考生應(yīng)用意識的重要載體多與頻率分布直方圖或頻率分布直方表進(jìn)行結(jié)合命題，常常考查平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的相關(guān)計(jì)算、正態(tài)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，有時還會與函數(shù)、數(shù)列等內(nèi)容進(jìn)行交匯考查，命題背景較為新穎.

變式1 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)這100顆芯片測評分?jǐn)?shù)的眾數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù))；

解析由頻率分布直方圖可估計(jì)這100顆芯片測評分?jǐn)?shù)的眾數(shù)為20克，第一組數(shù)據(jù)的頻率為0.05×1=0.05，第二組數(shù)據(jù)的頻率為0.25×1=0.25，第三組數(shù)據(jù)的頻率為0.35×1=0.35，所以中位數(shù)在第三組內(nèi).設(shè)中位數(shù)為11+x，則x×0.35=0.5-0.05-0.25=0.2.所以x≈0.57.所以中位數(shù)為11.57，

變式思路第(1)問設(shè)計(jì)出了求解中位數(shù)的內(nèi)容，因此可根據(jù)本題進(jìn)行深入變式，對于同類的問題還有眾數(shù)和中位數(shù)，因此可聯(lián)系到求解測評分?jǐn)?shù)的眾數(shù)和中位數(shù).

變式2從這100顆芯片中隨機(jī)抽取3個，其中測評分?jǐn)?shù)在[10,11]內(nèi)的芯片個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望(以直方圖中的頻率作為概率).

變式思路本題以芯片為背景，考查了離散型隨機(jī)變量的分布區(qū)列和數(shù)學(xué)期望，因此設(shè)想設(shè)計(jì)不同的概率統(tǒng)計(jì)分布，故此題設(shè)置了二項(xiàng)分布，考查了二項(xiàng)分布的分布列和數(shù)學(xué)期望.

三、掌握變式方式，靈活運(yùn)用教學(xué)

變式練習(xí)的好處在于可以深入對問題進(jìn)行探究，拓展知識層面，能夠較好地使學(xué)生形成概率統(tǒng)計(jì)思想和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的核心素養(yǎng).在平時的教學(xué)中，若能夠通過變式的手段，將變式方案融匯到教學(xué)中，將會促進(jìn)課堂的教學(xué)氛圍更加活躍.

變式教學(xué)若充當(dāng)例題進(jìn)行講解時，可以以題帶面，充分挖掘題目背景，設(shè)計(jì)本章節(jié)的不同類型的試題，這樣能夠?qū)栴}進(jìn)行廣泛探索，讓學(xué)生學(xué)習(xí)舒適的同時更能夠掌握所學(xué)知識.